لوغاريتم

في الرياضيات، الأَسِيْس أواللوغاريتم (بالإنجليزية: logarithm)‏ هي الدالة العكسية للدوال الأسية ويُعرَّف لوغاريتم عدد ما بالنسبة لأساس ما، بأنه الأس المرفوع على الأساس والذي سينتج ذلك العدد. عملى سبيل المثال فلوغاريتم 1000 بالنسبة للأساسعشرة هوثلاثة لأن 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³. وعموما، يمكن القول أنه إذا كان x = b^y فإن لوغاريتم x بالنسبة للأساس b هوy يعبر عن ذلك رياضياً بالعلاقة:

log_bx=y

وبالرجوع إلى المثال يصبح:

log₁₀(1000) = 3.

يعهد اللوغاريتم العشري بأنه لوغاريتم عدد ما بالنسبة للأساسعشرة والذي يستخدم بشكل كبير في حساب التطبيقات الفهمية والهندسية. الأسس أواللوغاريتم هي العملية العكسية للدوال الأسية ويُعرَّف اللوغاريتم الطبيعي بأنه لوغاريتم عدد بالنسبة لأساس هوالعدد النيبيري (e) والذي له تطبيقات كثيرة في الحسابات الهندسية والفهمية وفي الرياضيات البحتة وخاصة في التفاضل والتكامل. في حين يعهد اللوغاريتم الثنائي لعدد ما بأنه لوغاريتمه بالنسبة للأساس 2 ويستخدم بشكل كبير في فهم الحاسوب والدارات المنطقية.

كان اللوغارتم معروفا لدى العرب نسبة إلى العالم الخوارزمي، ولقد أدخل مفهوم اللوغاريتمات إلى الرياضيات في أوائل القرن السابع عشر على يد العالم جون نابير وسيلةً لتبسيط الحسابات، ليعتمد عليها بعد ذلك الملاحون والفهماء والمهندسون والفلكيون وغيرهم لإنجاز حساباتهم بسهولة أكبر، مستخدمين المساطر الحاسبة والجداول اللوغاريتمية. وتعود حدثة اللوغارتم إلى العالم العربي الخوارزمي حيث يرد أسمه في اللغة الإنجليزية بحدثة Algorism وalgorithm واللتان تنبعان من حدثة Algoritmi، الشكل اللاتيني لاسمه الخوارزمي. كما استفادوا من خواص اللوغاريتمات باستبدال عمليات الضرب لإيجاد لوغاريتم جداء عددين بخاصية الجمع وفق الخاصية:

{\displaystyle \log _{b (xy)=\log _{b (x)+\log _{b (y).\,

قام ليونهارت أويلر في القرن الثامن عشر بربط مفهوم اللوغاريتمات بمفهوم التابع الأسي ليتوسع مفهوم اللوغاريتمات ويرتبط بالتوابع.

كما يستفاد من المقياس اللوغاريتمي من التقليل من التمثيل البياني لمجالات واسعة من الكميات إلى مقياس أصغر. عملى سبيل المثال الديسيبل هووحدة لوغاريتمية لقياس ضغظ الصوت ونسبة الفولط. كما يستخدم الأس الهيدروجيني (وهومقياس لوغاريتمي) في الكيمياء لتحديد حمضية محلول ما وذلك من خلال العلاقة التالية:

${\displaystyle {\rm {{pH =-\log {\rm {[H_{3 O^{+ ]$

الأساس والتعريف

لقد أتت فكرة اللوغاريتم على أنها العملية العكسية للحمل، وهي حمل رقم لأس، على سبيل المثال حمل الرقم 2 للأس ثلاثة هو8، لأن الـثمانية تنتج عن ضرب 2 بنفسها ثلاثة مرات أي:

{\displaystyle 2^{3 =2\times 2\times 2=8.\,

وبالتالي تكون العملية العكسية للحمل هي : لوغاريتم الـثمانية بالنسبة للأساس 2 هي ثلاثة أي:

log₂ 8 = 3.

الحمل

يمكننا القول حتى ناتج حمل رقم ما b إلى الأس ثلاثة هوحاصل ضرب الرقم b بنفسه ثلاث مرات، وبالتعميم فإن ناتج حمل الرقم b إلى الأس n هوحاصل ضرب b بنفسه n مرة أي:

{\displaystyle b^{n =\underbrace {b1\times b2\times \cdots \times bn _{n{\text{factor .

التعريف

يعهد لوغاريتم عدد ما x بالنسبة للأساس b بأنه الأس الذي يجب حتى يحمل له b لينتج عنه x أويمكننا القول بأن لوغاريتم x بالنسبة للأساس b هوالأس y في المعادلة:

{\displaystyle b^{y =x.\,

وتخط العبارة (لوغاريتم x بالنسبة للأساس b) رياضياً بالشكل:

{\displaystyle \log _{b \!\left(x\right)

وناتج هذه المعادلة هوالأس y

{\displaystyle \log _{b \!\left(x\right)=y

ولتعريف اللوغاريتم يجب حتىقد يكون الأساس عدد حقيقي موجب لايساوي الصفر وx عدد موجب.

الحساب

من السهل حساب اللوغاريتم في بعض الحالات، مثل log10(1,000) = 3. لكن بالعموم يمكن حساب اللوغاريتم باستخدام متسلسلة القوى أوباستخدام الهندسة الحسابية بالوسائل التقريبية أومن خلال ايجاده تقريبياً من خلال الجداول اللوغاريتمية. كما تستخدم طريقة نيوتن-رافسون التكرارية في حساب اللوغاريتم لأن استخدام هذه الكيفية تمكن من ايجاد التابع العكسي والتابع الأسي بشكل فعال. وتستخدم طريقة منزلة بمنزلة لحساب اللوغاريتمات إذا كانت العملية المتاحة فقط هي إضافة وتحويل منزلة. بالإضافة إلى استخدام طريقة حساب اللوغاريتم ثنائي لـ lb(x) والتي تقوم على الاستنادىء الذاتي لمربع x وتكرار العملية والاستفادة من ذلك.

{\displaystyle \log _{2 (x^{2 )=2\log _{2 (x).\,

متسلسلة القوى

متسلسلة تايلور

من أجل ${\displaystyle x\in ]0,2[$ ، عندها يمكن كتابة العلاقة:

{\displaystyle \ln(x)=\sum _{n=1 ^{\infty {(-1)^{n+1 {{\biggl ( {\frac {(x-1)^{n {n {\biggl ) =(x-1)-{\frac {(x-1)^{2 {2 +{\frac {(x-1)^{3 {3 -{\frac {(x-1)^{4 {4 +\cdots

مثال إيجاد تقريب لـ ${\displaystyle \ln {\biggl ( {\frac {3 {2 {\biggl )$

{\displaystyle \ln {\biggl ( {\frac {3 {2 {\biggl ) \approx {\biggl ( {\frac {3 {2 -1{\biggl ) -{\frac {{\biggl ( {\frac {3 {2 -1{\biggl ) ^{2 {2 +{\frac {{\biggl ( {\frac {3 {2 -1{\biggl ) ^{3 {3 -{\frac {{\biggl ( {\frac {3 {2 -1{\biggl ) ^{4 {4 +{\frac {{\biggl ( {\frac {3 {2 -1{\biggl ) ^{5 {5 \approx {\frac {391 {960 \approx 0.40

متسلسلات أخرى

بإستعمال تحويلات أولير على متسلسلة تايلور نحصل علة المتفاوتة التالية :

من أجل جميع عدد حقيقي ${\displaystyle x$

{\displaystyle \ln(x)=\sum _{n=1 ^{\infty {{\frac {1 {n {\biggl ( 1-{\frac {1 {x {\biggl ) ^{n ={\biggl ( 1-{\frac {1 {x {\biggl ) +{\frac {1 {2 {\biggl ( 1-{\frac {1 {x {\biggl ) ^{2 +{\frac {1 {3 {\biggl ( 1-{\frac {1 {x {\biggl ) ^{3 +\dots

خواص وقوانين اللوغاريتم الطبيعي

اللوغاريتم الطبيعي والتكامل

${\textstyle \ln(x)=\int _{1 ^{x {\frac {1 {t dt$ حيث ${\displaystyle x>0$ ومنه فإن ${\textstyle \ln(1)=\int _{1 ^{1 {\frac {1 {t dt=0$

الدالة الأصلية للوغاريتم الطبيعي ${\textstyle \int \ln(x)=x\ln(x)-x+c$ حيث ${\displaystyle c$ عدد حقيقي

خصائص جبرية

إن من بين أبرز خصائص دالة اللوغاريتم الطبيعي هي خاصية تحويل الجداء إلى مجموع.

${\displaystyle \ln {\biggl ( \coprod _{i=1 ^{n {a_{i {\biggl ) =\sum _{i=1 ^{n {\ln(a_{i )$ حيث ${\displaystyle a_{1$ و ${\displaystyle a_{2$ و ${\displaystyle a_{3$ و... و ${\displaystyle a_{i$ أعداد حقيقية موجبة بترا.

تاريخ اللوغاريتمات

اللوغاريتمات قديماً

نشر عالم الرياضيات الاسكتلندي جون نايبير أول درس وجدول للوغاريتمات عام 1614م. وقد اكتشف السويسري جوبست برجي اللوغاريتمات على نحومستقل في نفس الوقت تقريبا. وفي أوائل القرن السابع عشر، قدم الإنجليزي هنري برجز للرقم الأساسي 10، وبدأ في وضع جدول به 14 خانة للوغاريتمات العشرية، ثم أكمل الهولندي أدريان فلاك العمل الذي بدأه برجز. وحوالي عام 1622م، وضع الإنجليزي إدموند جنتر، تصورًا لفكرة كتابة الأعداد على مستطيلات رفيعة وفقًا للوغاريتم الخاص بكلٍ منها، وضربها وقسمتها عن طريق انزلاق مستطيل على الآخر. وتمثل هذه الفكرة أساس المسطرة المنزلقة. استمر استخدام جداول برجز - فلاك حتى تم وضع جداول لوغاريتمات عادية بها 20 خانة في بريطانيا في الفترة من 1924 وحتى 1949م .

اللوغاريتمات حديثاً

أدى استخدام الحواسيب والحاسبات الإلكترونية إلى إلغاء الحاجة إلى استخدام اللوغاريتمات في العمليات الحسابية. ومع ذلك، فإن اللوغاريتمات لها أهميتها في الأغراض النظرية .

إستخدامات اللوغاريتمات

الضرب، لضرب رقمين باستخدام اللوغاريتمات، ابحث عن اللوغاريتم الخاص بكل من الرقمين في الجدول، وإجمع هذين اللوغاريتمين للحصول على لوغاريتم حاصل ضرب هذين الرقمين، ثم ابحث عن الرقم الذيقد يكون لوغاريتمه هولوغاريتم حاصل ضرب الرقمين، مستخدمًا الجدول مرة أخرى.
القسمة، لقسمة رقم على آخر، ابحث عن اللوغاريتم الخاص بكلٍ من الرقمين في الجدول، واطرح لوغاريتم المقام من لوغاريتم البسط، ثم استخدم الجدول مرة أخرى لفهم الرقم الذيقد يكون اللوغاريتم الخاص به هولوغاريتم حاصل عملية الطرح هذه. هذا الرقم هوحاصل القسمة المطلوب.
حمل الرقم إلى قوة معينة، لكي تحمل رقمًا إلى قوة معينة، ابحث في الجدول عن لوغاريتم هذا الرقم وإضرب هذا اللوغاريتم في أُس القوة، ثم ابحث في الجدول عن الرقم الذيقد يكون اللوغاريتم الخاص به هونفس لوغاريتم حاصل عملية الضرب هذه. هذا الرقم هوالقوة المطلوبة للرقم الأول.
إيجاد الجذر، لفهم جذر رقم ما، ابحث عن لوغاريتم الرقم في الجدول، وإقسم هذا الرقم على أُس الجذر، ثم استخدم الجدول مرة أخرى لفهم الرقم الذيقد يكون اللوغاريتم الخاص به مساويًا لحاصل عملية القسمة، ويكون هذا هوالجذر المطلوب للرقم.

أنواع اللوغاريتمات

تقسم اللوغاريتمات إلى خمس أقسام- بحسب أنواعها -:

لوغاريتمات عادية: تستخدم جميع الأعداد عدا العشرة والاثنين والعدد النيبيري والأعداد المركبة.
لوغاريتمات ثنائية: تستخدم العدد 2.
لوغاريتمات عشرية: تستخدم العدد 10.
لوغاريتمات طبيعية: بحيث تستخدم الرقم 2.72 في هذه العملية وهوما يسمى بالعدد النيبيري.
لوغاريتمات مركبة: تستخدم الأعداد المركبة.

الأصل اللغوي

أصل حدثة لوغارتم Logarithm هوحدثتان إغريقيتان هما لوغوس (Logos) والتي تعني نسبة وأريتموس (Arithmos) والتي تعني عدد.

لوغاريتم هي حدثة إنجليزية أُخذت من اسم العالم العربي الخوارزمي. أما الأسس فهي حدثة ذات أصل عربي وهي متناسقة مع الأس والذي يعني وضع الأساس. فالتعبير x4 يعني x تُبنى وتُحمل أربعة مرات أي تضرب أربعة مرات في نفسها.

طالع أيضاً

الجبر
العدد النيبيري
الضرب
القسمة
الجمع
الطرح
لوغاريتم طبيعي

مصادر ومراجع

^ "Al-Qamoos القاموس | English Arabic dictionary / قاموس إنجليزي عربي". web.archive.org. 2019-04-13. مؤرشف من الأصل في 22 أبريل 2020. اطلع عليه بتاريخ 13 أبريل 2019.
^ "إنجليزي عربي أسيس ترجمة". web.archive.org. 2019-04-13. مؤرشف من الأصل في 22 أبريل 2020. اطلع عليه بتاريخ 13 أبريل 2019.
^ Team, Almaany. "ترجمة ومعنى logarithm بالعربي في قاموس المعاني. قاموس عربي انجليزي مصطلحات صفحة 1". www.almaany.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل فيثمانية أكتوبر 2017. اطلع عليه بتاريخ 07 أكتوبر 2017.
^ Kate, S.K.; Bhapkar, H.R. (2009), , Pune: Technical Publications, ISBN CS1 maint: ref=harv (link), chapter 1
^ Muller, Jean-Michel (2006), Elementary functions (الطبعة 2nd), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN CS1 maint: ref=harv (link), sections 4.2.2 (p. 72) and 5.5.2 (p. 95)
^ Hart, Cheney, Lawson; et al. (1968), Computer Approximations, New York: John Wiley Explicit use of et al. in: |author= (مساعدة)صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون (link) CS1 maint: ref=harv (link), section 6.3, p. 105–111
^ Zhang, M.; Delgado-Frias, J.G.; Vassiliadis, S. (1994), "Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation" (PDF), IEE Proceedings Computers & Digital Techniques, 141 (5): 281–292, doi:10.1049/ip-cdt:19941268, ISSN 1350-387 تأكد من صحة قيمة |issn= (مساعدة) CS1 maint: ref=harv (link), section 1 for an overview
^ Meggitt, J. E. (1962), "Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes", IBM Journal, doi:10.1147/rd.62.0210 CS1 maint: ref=harv (link)
^ Kahan, W. (May 20, 2001), Pseudo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials CS1 maint: ref=harv (link)
^ Abramowitz & Stegun, eds. 1972, p. 68
^ تاريخ اللغويتمات القديم نسخة محفوظة 25 أبريل 2020 على مسقط واي باك مشين.
^ تاريخ اللغويتمات الحديث نسخة محفوظة 25 أبريل 2020 على مسقط واي باك مشين.
^ Le théorème du parapluie, Mickaël Launay, page 48