توزيع بواسون

**توزيع بواسون**
دالة الكثافة الاحتمالية
دالة التوزيع التراكمي
المؤشرات	${\displaystyle \lambda \in [0,\infty [$
الدعم	${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots \$
د.ك.ا	${\displaystyle {\frac {e^{-\lambda \lambda ^{k {k! \!$
د.ت.ت	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda ) {\lfloor k\rfloor ! \!{\text{ for k\geq 0$
المتوسط	${\displaystyle \lambda \,$
وسيط	${\displaystyle {\text{عادة يقارب \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor$
المنوال	${\displaystyle \lceil \lambda \rceil -1$
تباين	${\displaystyle \lambda \,$
ميلان	${\displaystyle \lambda ^{-1/2 \,$
كورتوسيس	${\displaystyle \lambda ^{-1 \,$
الاعتلاج	${\displaystyle \lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!e^{-\lambda \sum _{k=0 ^{\infty {\frac {\lambda ^{k \ln(k!) {k!$
د.م.ع	${\displaystyle \exp(\lambda (e^{t -1))\,$
الدالة المميزة	${\displaystyle \exp(\lambda (e^{it -1))\,$

في فهمي الإحصاء والاحتمالات، توزيع بواسون (Poisson) هوتوزيع احتمالي منفصل يمثل النموذج التالي:

في مدّة زمنية T، يحصل الحدث بمعدل λ مرّات (λ أقل منخمسة مثلا ) . لنرمز بX المتغير العشوائي الذي يمثل عدد المرّات التي سيحصل فيها الحدث في X . T يمكن حتى يساوي 0، 1، 2...

يتبع هذا المتغير العشوائي القانون التالي:

{\displaystyle p(k)=P(X=k)=\mathrm {e ^{-\lambda {\frac {\lambda ^{k {k! \,

مهما كان العدد الطبيعي k.

λعدد حقيقي موجب
( p( k : احتمال حصول الحدث k في T.

هذا ما يدعى توزيع بواسون (أوقانون بواسون) ذا المفهمة λ.

حساب ( p( k

يقام حساب هذه الكمية نتيجة عن العمل بتوزيع ثنائي ذا المفهمتين ( T ; λ/T ). إذا اعتبرنا T كبيرا، فيمكن تبيين حتى التوزيع الثنائي نهايته في اللانهاية هوتوزيع بواسون.

القيمة المتسقطة ، التباين والانحراف المعياري

القيمة المتسقطة لتوزيع بواسون هي λ
تباين توزيع بواسون λ
الانحراف المعياري لتوزيع بواسون هو ${\displaystyle {\sqrt {\lambda$

ميادين الاستعمال

غالبا ما استخدم توزيع بواسون لحساب أحداث النادرة كانتحار الأطفال، وصول البواخر إلى المرسى أوالحوادث الناتجة عن ركالات الأحصنة في العساكر (دراسة لاديسلاوس بورتكيفيكز)

أما منذ بعض عشرات السنين، امتد استعمال توزيع بواسون إلى ميادين أخرى. فهويستعمل كثيرا الآن في تكنولوجيات الإتصال (حساب عدد المواصلات في مدّة معينة)، مراقبة الجودة الإحصائية، وصف بعض الظواهر التابعة لميدان التفكيك النووي المشع (تفكيك النواة المشعة يتبع دالة أسية ذات معملة تدعى أيضا λ) وفهم الأحياء والرصد الجوي...

الرسوم البيانة ذات الأعمدة

ككل توزيع قائم على احتمال منفصل، يمكن تمثيل توزيع بواسون برسوم بيانية ذات أعمدة. هنا تحت، تمثل الرسوم البيانية توزيع بواسون ذا المفهمات 1 و2 و5.

رسم توزيع بواسون ذا العاملخمسة بدأ يشبه بعض الشيء التوزيع الطبيعي (أوالتوزيع الغاوسي) ذا القيمة المتسقطةخمسة التباين 5. ولذلك إذا كانت λ أكبر من 5، نخير استعمال نموذج التوزيع الطبيعي.

بعض الخاصيات

إذا كانتا X وY متغيران عشوائيان مستقلاّن يتبعان توزيع بواسون ،الأولى مع المفهمة λ والثانية المفهمة μ فإنّ X+Y متغير عشوائي يتبع توزيع بواسون ذا المفهمة λ+μ.