مبرهنة الكاشي

شكل. 1 - المفاهيم المستعملة في مثلث ما.

مبرهنة الكاشيأوقانون جيب التمام هي مبرهنة خاصة بهندسة المثلثات وهي تعميم لمبرهنة فيتاغورس في المثلثات التي ليست لها زاوية قائمة: وهي تربط الضلع الثالث لمثلث بالضلعين الآخرين وجيب تمام الزاوية المكونة لهما. وقد سميت بهذا الاسم نسبة إلى العالم غياث الدين الكاشي.

نعتبر مثلث ABC, حيث نستعمل المفاهيم الموجودة في الشكل1: من جهة α, β وγ بالنسبة للزوايا, ومن جهة أخرى a, b وc بالنسبة للأضلاع. مبرهنة الكاشي هي:

${\displaystyle \,c^{2 =a^{2 +b^{2 -2ab\cos \gamma$ .

وبشكل مساومن الممكن كتابة العلاقة السابقة بالأشكال التالية:

{\displaystyle b^{2 =c^{2 +a^{2 -2ca\cos(\beta ),\,

{\displaystyle a^{2 =b^{2 +c^{2 -2bc\cos(\alpha ),\,

{\displaystyle \cos(\gamma )={\frac {a^{2 +b^{2 -c^{2 {2ab \ .\,

تاريخ

شكل. 2 - مثلث ABC مع ازدياد BH

في كتاب العناصر لإقليدس، نجد مقاربة هندسية لتعميم مبرهنة فيثاغورس: نجد في الكتاب2 العبارتين 12 و13, حيث يتم التطرق لحالة مثلث عادي بزاوية منفرجة وفي مثلث عادي بزوايا حادة. لكن عدم وجود الدوال المثلثية (آنذاك) وكذلك الجبر أدى إلى استعمال المساحات.

فالعبارة 12 : مربع الضلع الذي يحمل الزاوية المنفرجة أكبر من مربعي الضلعين الآخرين: وباستعمال المثلث ABC بزاوية منفرجة في A وازدياد H (شكل2) الصيغة تصبح: AB² = CA² + CB² + 2 CA CH.

وكان يجب انتظار العرب المسلمين لتظهر الدوال المثلثية لرؤية المبرهنة في تطورها: فالفلكي والرياضي البتاني عمم نتيجة إقليدس في الهندسة الفضائية والتي مكنت من القيام بحساب المسافات بين النجوم. وفي نفس الوقت تم إنشاء جداول للدوال المثلثية والتي أتاحت للعالم غياث الدين الكاشي صياغة المبرهنة في شكلها النهائي.

تطبيقات

مبرهنة الكاشي في تعميم لمبرهنة فيتاغورس, عندما تكون الزاوية : ${\displaystyle \gamma$ قائمة, أوعندماقد يكون: ${\displaystyle \cos \gamma =0$ , المبرهنة تصبح: ${\displaystyle \,c^{2 =a^{2 +b^{2$ , وعكسيا.

شكل. ثلاثة - تطبيق المبرهنة :الكاشي زاوية أوضلع مجهول.

النظرية تستعمل في المثلثات(انظر شكل. 3)حل مثلث، أي تحديد:

الضلع الثالث لمثلث نعهد فيه زاوية والضلعين المكونين لها:

{\displaystyle \,c={\sqrt {a^{2 +b^{2 -2ab\cos \gamma

;

زوايا مثلث نعهد فيه الأضلاع:

{\displaystyle \,\gamma =\arccos {\frac {a^{2 +b^{2 -c^{2 {2ab

.

البرهان

بتقسيم المساحات

من بين طرق البرهنة حساب المساحات، حيث يتم ملاحظة ما يلي:

${\displaystyle a$
${\displaystyle a$

شكل. 4أ - البرهنة بالنسبة للزوايا الحادة : « كيفية التقسيم ».

الشكل 4أ (جانبه) يقسم سباعي بكيفيتين مختلفتين حيث تتم البرهنة في حالة زاوية حادة. يدخل هنا :

بالوردي, lالمساحات ${\displaystyle a^{2$ , ${\displaystyle b^{2$ في اليسار, والمساحات ${\displaystyle 2ab\cos \gamma$ و ${\displaystyle c^{2$ في اليمين ;
بالأزرق, المثلث ABC, في اليمين كما في اليسار ;
بالرمادي, بعض المثلثات الإضافية, متطابقة مع المثلث ABC وبنفس العدد في التقسيمين.

تساوي المساحات في اليمين واليسار يعطي

{\displaystyle \,a^{2 +b^{2 =c^{2 +2ab\cos \gamma

.

شكل. 4ب - البرهنة بالنسبة للزوايا المنفرجة : « كيفية التقسيم ».

الشكل 4ب (جانبه) يقسم سداسي بكيفيتين مختلفتين بكيفية برهن في حالة زاوية منفرجة. الشكل يبين

بالوردي، المساحات ${\displaystyle a^{2$ , ${\displaystyle b^{2$ و ${\displaystyle -2ab\cos \gamma$ في اليسار, والمساحات ${\displaystyle c^{2$ في اليمين ;
بالأزرق, مرتين المثلث ABC, في اليمين كما في اليسار.

تساوي المساحتين يمينا ويسارا يعطي

{\displaystyle \,a^{2 +b^{2 -2ab\cos \gamma =c^{2

.

باستعمال نظرية فيتاغورس

شكل.خمسة - البرهنة باستعمال العلاقات المثلثية

الشكلخمسة (جانبه) يبين طريقة البرهنة باستعمال مبرهنة فيتاغورس في مثلث قائم الزاوية ناتج عن طريق الارتفاع : ${\displaystyle \,c^{2 =(a\sin \gamma )^{2 +(b-a\cos \gamma )^{2$