مسألة مونتي هول بالإنگليزية: Monty Hall problem هي لغز احتمالات ظهرت في البرنامج التلفزيوني الأمريكي للألعاب دعونا نعقد صفقة بالإنگليزية: Let's Make a Deal. أتى اسم هذه المسألة من اسم المضيف مونتي هول. هذه المسألة تسمى أيضًا مفارقة مونتي هول بالإنگليزية: Monty Hall paradox. فبما أنها مفارقة حقيقية فإن طريقة حلها غير قابلة للتوقُع.

نشر التعبير المشهور لهذه المسألة في مجلة باريدبالإنگليزية: Parade:

فبما حتى اللاعب لا يعهد ما وراء تلك الأبواب، ولا يعهد ما باب الفوز من البابين المتبقيين، سيفترض أكثر الناس بأن لدى جميع باب نفس عدد الاحتمالات، وبالتالي سيعتقد بأن تغيير إختياره المبدئي لن يفيده مطلقاً. في الحقيقة، من المفترض على اللاعب حتى يغير اختياره، لأن بعمله ذلك سيضاعف احتمالية فوزه بالسيارة من 1/3 إلى 2/3.

فبمعنى أبسط،قد يكون لدى اللاعب احتمال مقداره 2/3 لاختيار الماعز. فاللاعب الذي يختار وأصر على إختياره بدون تغيير، سيكون لديه فرصة مقدارها 1/3 للفوز بالسيارة. أما اللاعبون الذي يغيرون إختيارهم فسيحصلون على عكس ما يتسقطونه، سيكون لديهم فرصة مقدارها 2/3 للفوز بالسيارة.

عندما ظهرت المسألة وحلها في مجلة باريد خط ما يقارب من 10,000 قارئ - ومن ضمنهم قرابة 1,000 إنسان من حملة شهادات الدكتوارة - إلى المجلة مدعين بأن الحل المنشور في المجلة هوحل خاطئ. كان سبب بعض ذلك الجدال هوحتى نسخة المسألة التي كانت موجودة في مجلة باريد غامضة فنياً. بالإضافة إلى أنها لم تذكر بعض الجوانب التي يسلكها المضيف، فمثلاُ ما إذا كان على المضيف حتى يفتح الباب أوعليه حتى يقدم عرضًا لتغيير الاختيار. نسخ مختلفة من هذه المسألة التي تنطوي على هذه الافتراضات وبعض الافتراضات الأخرى -مثل حتى يختار المضيف السيارة بدلاً من الماعز- تمت مناقشتها في بعض الأدبيات الرياضياتية.

إن مسألة مونتي هول المعيارية هي مكافئة رياضياتية لمسألة السجناء الثلاثة. كلتا هاتين المسأتين تكافئان مسألةً أكثر قدمًا وهي مفارقة صندوق بيرتراند. إذا هذه المسائل، وبعض المسائل الأخرى التي تنطوي على توزيع غير متساوي من الاحتمالات، مشهورة بصعوبتها على الناس العامة بأن يوجدوا حلها بشكل سليم. فتمت الكثير من الدراسات النفسية حول هذه المسائل، فأعطي حل مسألة مونتي هول، تفسيراتها، محاكياتها، وبراهينها الرياضياتية الرسمية لعديد من الناس، وكانت النتيجة بإن الكثير منهم يختارون جوابهم السليم بعدم ثقة.

المسألة

خط ستيف سيلفين رسالة إلى أمريكان ستاتيستيشين بالإنگليزية: The American Statistician في عام 1975 يصف فيها بأن المسألة تعتمد بشكل مطلق على برنامج الألعاب "دعونا نعقد صفقة Selvin 1975a". ثم أطلق على هذا المسألة في رسالة لاحقة اسم "مسألة مونتي هول" (Selvin 1975b). المسألة هي مكافئة رياضياتية (Morgan et al., 1991) لمسألة السجناء الثلاثة التي وصفت في عمود الألعاب الرياضياتية لمارتن غاردنر في ساينتفك أمريكان في 1959 (Gardner 1959a).

أُعيدت صياغة مسألة مونتي هول إلى شكلها المشهور بواسطة سيلفين في رسالة إلى عمود أسأل مارلين بالإنگليزية: Ask Marilyn لمارلين فوس سافانت في مجلة باريد:

هناك بعض الغموض في صياغة هذه المسألة: فهي لم توضح فيما إذا كان على المضيف دائماً حتى يفتح باباً آخراً أولا، أوهل عليه دائماً حتى يعرض الفرصة للاعب للقيام بالتغيير، أوهل يمكن للمضيف فتح الباب الذي يوجد وراءه السيارة أولا (Mueser and Granberg 1999). يفترض التحليل المعياري لهذه المسألة بأن المضيف دائماً مقيد بفتح الباب الذي وراءه الماعز، وهومجبر أيضاً بالعرض على اللاعب فرصة لتغيير أختياره، ويُجبر أيضاً بفتح واحد من البابين المتبقيتين بشكل عشوائي إذا اختار اللاعب الباب الذي وراءه السيارة (Barbeau 2000:87). ولذلك سيكون التعبير الأكثر دقةً للمسألة هوكالتالي:

لاحظ بأن اللاعب قد يختار مبدئياً أي من الأبواب الثلاثة (ليس فقط الباب ذوالرقم 1)، ولاحظ بأن المضيف سيفتح لك باباً آخر كاشفاً لك الماعز (ليس بالضرورة بأنقد يكون الباب ذوالرقم 3)، ولاحظ بأنه سيعطي للاعب فرصة ثانية بين البابين المفتوحين المتبقيين. فمهما أختلف أرقام الأبواب، فهي ستؤدي في النهاية إلى نفس النتيجة.

الحل الشعبي

توضع السيارة والماعزتين خلف الأبواب الثلاثة، بحيث يوضع السيارة بشكل عشوائي خلف أحد الأبواب وتوزع الماعزتين خلف البابين المتبقيين، ثم يختار اللاعب أحد الأبواب مبدئياً. في التحليل الشعبي،قد يكون أرقام الأبواب غير مأخوذة في عين الاعتبار؛ حيث لدى اللاعب، الذي قد اختار احدى هذه الأبواب، 1/3 فرصة لربح السيارة، ولديه أيضاً 1/3 فرصة للفوز لكل ماعز. من المفترض بأنه إذا فتح المضيف أحد الأبواب المتبقية لكشف الماعز، فلنقد يكون هناك أي معلومة جديدة حول ما وراء الباب الذي قد أختاره اللاعب، لأن "البايزية السليمة" بالإنگليزية: proper Bayesian ترى ان احتمالية كون السيارة خلف الباب الذي اختاره هي 1/3، لكن تكون احتمالية العثور على السيارة خلف الباب المتبقي هو2/3. لذلك إذا غير اللاعب اختياره ستكون فرصة فوزه بالسيارة عالية مع فرصة مقدارها 2/3. لذلك على اللاعب دائماً حتى يقوم بتغيير الباب الذي اختاره مسبقاً (Wheeler 1991; Mack 1992; Schwager 1994; vos Savant 1996:8).

إنتقادات للحل التقليدي

الأساليب الموجودة في الأعلى تنطبق على جميع اللاعبين في بداية اللعبة بغض النظر عن أي باب سيختاره المضيف، وعلى وجه التحديد، قبل حتى يفتح المضيف الباب ويعطي للاعب الخيار بتغيير إختياره (Morgan et al. 1991). هذا يعني أنه لواختار عدد كبير من اللاعبين الأبواب عشوائياً وخُيّر لهم بإما الإبقاء على إختيراهم أوتغييرها، فسيكون هناك قرابة 1/3 منهم سيختارون البقاء على أختيارهم المبدئي و2/3 منهم سيختارون التغيير للفوز بالسيارة. تم التحقق من هذه النتيجة تجريبياً وذلك باستعمال الحواسيب وتقنيات المحاكاة الأخرى (أنظر المحاكاة في الأسفل). ومع ذلك، ينتقد بعض الإحصائيين هذا الحل لأن هذا الجوابقد يكون خاطئاً للمسألة التي تم ذكرها في الأعلى، بالإضافة إلى أنها لا تُقيَم احتمال اللاعب بالفوز بالتغيير في ضوء المعلومات الإضافية التي أُعطيت من الباب الذي فتحه المضيف كاشفاً الماعز. عملى سبيل المثال وكما ذُكر في المسألة، إذا أختار اللاعب الباب ذوالرقم 1 والمضيف فتح الباب ذوالرقم 3؛ فمن المحتمل حتى يقدم الباب الذي فتحه المضيف معلوماتاً أكثر للاعب عن احتمالية كون السيارة خلف الباب الذي أختاره اللاعب أصلاً، هذا إذا كان لدى اللاعب نموذج احتمالي لكيفية اختيار المضيف للأبواب عندما يختار اللاعب الباب الذي وراءه السيارة.

تحت تأثير بعض المجموعات من الافتراضات في اللعبة، التي من ضمنها اختيار المضيف عشوائياً بين البابين المتبقيين بنسب احتمالية متساوية، فلن يحصل المتسابق على أي معلومات جديدة التي تجعله يفوز باحتمال 1/3 بالبقاء على الأختيار المبدئي (Granberg 1996)، وبالتالي ينطبق هذا الحل أيضاً بشكل سليم على القرارات وعلى إحتمالات الفوز بعد حتى يفتح المضيف الباب الذي وراءه ماعز. وكذلك، إذا كانت الشروط أكثر عمومية، إياُ كانت، فسوف نحتاج أيضاً إلى حلول أكثر عمومية (Morgan et al. 1991).

الحل الشرطي

الحل الشعبي الذي ذُكر في الأعلى يقول بأن احتمال الفوز لأي لاعب يقوم بتغيير إختياره المبدئي إلى إختيار آخر هو2/3، ولكن هذا لا يعني بالضرورة بأنقد يكون إحتمالية الفوز بالتغيير هي 2/3 دائماً فهذه الاحتمالية تعتمد على الباب الذي سيفتحه المضيف. هذه الاحتمالية هي نوع من الإحتمالات الشرطية (Morgan et al. 1991; Gillman 1992; Grinstead and Snell 2006:137). فالإختلاف موجود فقط في التحليل المذكور في الأعلى، فيما إذا كان التحليل يأخذ جميع السيناريوهات بعين الاعتبار أوفقط السيناريوهات التي يفتح فيها المضيف باباً محدداً. أوبتعبير مختلف، هل يأخذ التحليل بعين الإعتبار الوقت الذي يقوم فيه اللاعب بتغيير إختياره، أي قبل حتى يفتح المضيف الباب، أوأنه سيقرر بعد رؤية الباب الذي سيفتحه المضيف (Gillman 1992). الاحتمال الشرطي قد يختلف عن الاحتمال الإجمالي وذلك اعتماداً على الصيغة الدقيقة للمسألة.

الاحتمالات الشرطية للفوز يمكن حتى تُعهد وذلك اعتماداً على أي باب سيفتحه المضيف، فالشكل الموسع الموجود أدناه أوالمخطط الشجري الموجود في اليسار يمكن حتى تبين إحتمالات الفوز والقرارات المتكافئة (Chun 1991; Grinstead and Snell 2006:137-138). عملى سبيل المثال، إذا فتح المضيف الباب ذوالرقم ثلاثة وغير اللاعب اختياره، فإن اللاعب سيفوز باحتمالية إجمالية مقدارها 1/3 إذا كانت السيارة خلف الباب ذوالرقم 2 وسيخسر باحتمالية إجمالية مقدارها 1/6 إذا كانت السيارة موجودة خلف الباب ذوالرقم 1 —هذا الشرح سيكون خاطئاً إذا فتح المضيف الباب ذوالرقم 2-. لكي نقوم بتحويلها إلى احتمالات شرطية، علينا حتى نقوم بتقسيمها على مجموعها، وبالتاليقد يكون الاحتمال الشرطي للفوز بالتغير عندما يختار اللاعب الباب ذوالرقم 1 وعندما يفتح المضيف الباب ذوالرقم ثلاثة هي (1/3)/(1/3 + 1/6)، التي تساوي 2/3. هذا التحليل يعتمد على تقييد المضيف الذي ذُكر في حالة المسألة الواضحة عندما يختار اللاعب السيارة مبدئياً، ويضظر فيها بأن يختار أي باب عشوائياً ليقوم بفتحه.

لقد عرض مورگان وآخرون (1991) وجيلمان (1992) حل أكثر عموماً وذلك عندماقد يكون فيه المضيف غير مقيد بالاختيار عشوائياً إذا اختار اللاعب السيارة مبدئياً، وقاما يتفسير واضح لللتعبير المشهور للمسألة التي ذُكرت في مجلة باريد. ففيها يعبران عن السيناريوالذي سيختار فيه المضيف الباب الذي يحب عليه حتى يفتحه، ورمزا الأفضلية بالاحتمال q، التي تمتلك قيمة بين 0 و1. إذا اختار المضيف عشوائياً فأن q سيكون بمقدار 1/2 ويكون إحتمالية الفوز بالتغيير هو2/3 بغض النظر عن أي باب سيفتحه المضيف. وإذا اختار اللاعب الباب ذوالرقم 1 فإن أفضلية المضيف للباب ثلاثة هي q، إذاً، في حالة فتح المضيف للباب ذوالرقم ثلاثة سيكون الاحتمال الإجمالي للفوز بالتغيير هو1/3 هذا إذا كانت السيارة خلف الباب ذوالرقم 2، ويكون الاحتمال الإجمالي للخسارة هو(1/3)q عندما تكون السيارة خلف الباب ذوالرقم 1. إذا الاحتمال الشرطي للفوز بالتغيير الذي يختار فيه المضيف الباب ذوالرقم 3 هو(1/3)/(1/3 + (1/3)q) التي تُبسط إلى 1/(1+q). حيثقد يكون q متراوحة بين 0 و1 وبالتالي يتراوح الاحتمال الشرطي هنا بين 1/2 و1. هذا يعني أنه حتى ولولم نقم بتقييد المضيف بالاختبار العشوائي إذا أختار اللاعب مبدئياً السيارة، فإن اللاعب ليس أسوأ حالاً عندما يقوم بالتغيير.

مصادر الارتباك

عندما عرضت مسألة مونتي هول لأول مرة كانت الأغلبية الساحقة من الناس قد افترضت بأن لدى جميع باب احتمال متساوي والنتيجة هي حتى تغيير إختيارهم الأولي لا يؤثر على النتيجة (Mueser and Granberg, 1999). في إحدى الدراسات، تم اختبار 228 إنسان في هذه المسألة، وكانت النتيجة هي حتى 13% منهم فقط قد قرروا بتغيير اختيارهم المبدئي إلى خيار آخر (Granberg and Brown, 1995:713). اقتبست فوس سافانت في كتابها قوة التفكير المنطقي بالإنگليزية: The Power of Logical Thinking، (في 1996:15) ما نطقه عالم النفس الإدراكي ماسيموبياتيللي-بالماريني "... بأنه لا يوجد هناك لغز إحصائي آخر يقترب جميع ذلك القرب من خداع جميع الناس طوال ذلك الوقت" و"حتى إذا فيزيائيين الذين حصلوا على جائزة نوبل يعطون الإجابة الخاطئة بشكل نظامي، وهم أيضاً يصرون عليها، ويكونون مستعدين أيضاً لجميع أنواع التوبيخ التي سيتلقونها في مطبوعات أولئك الذين يقترحون الجواب السليم."

كما إذا أكثر تعابير هذه المسألة، وخصوصاً تلك التعبير التي ذُكرت في مجلة باريد، لا تتطابق مع قوانين برنامج الألعاب الحقيقي (Krauss and Wang, 2003:9)، ولا توصف سلوك المضيف بشكل كامل، حتى أنها لم تذكر بأن مسقط السيارة عشوائي (Granberg and Brown, 1995:712). تسقط كلاً من كراوس ووانغ (2003:10) بأن الناس يقومون بافتراضات معيارية وحتى وإن لم يذكروها صراحةً. فبالرغم من حتى هذه القضايا لها أهمية رياضياتية كبيرة، إلا أنه حتى ولوتحكمنا بتلك العوامل فسيبقى تقريباًً جميع الناس يعتقدون بأن لكل باب غير مفتوح له احتمال متساوي، ويكون إختيارهم هوحتى التغيير لا يؤثر على النتيجة (Mueser and Granberg, 1999). إذا افتراض "الاحتمالات المتساوية" لها جذور بديهية (Falk 1992:202). يميل الكثير من الناس بقوة بان الاحتمالات موزعة بالتساوي سواءً كانت تلك الأبواب مجهولة أوكانت معلومة (Fox and Levav, 2004:637).

إن هذا النوع من الحدسيات لها جذور عميقة في البديهيات التي نحدث في مسابقة مسألة مونتي هول، والتي هي تعبير عن الإعتقاد بإن المعلومات التي تظهر في إثناء المسابقة لن تقوم بتغيير قيم الإحتمالات المعروفة مسبقاً (Falk 1992:207). لذلكقد يكون هذا الحدس هوالأساس لوجود هذه المسألة التي تقوم بإثبات بأن المضيف إذا فتح باباً فلن يعتقد اللاعب بأن الإحتمال 1/3 سيتغير. إذا تم ذكر المسألة بشكل كامل، فإن هذا الافتراض الخاطيء سيقود إلى الجواب السليم عددياً، فمثلاُ هناك فرصة مقدارها 2/3 للفوز بالسيارة عن طريق التغيير، لكنها تقود إلى نفس الحل إذا أُعطيت متغيرات أكثر حيثقد يكون خيار التغيير جواباً غير سليم (Falk 1992:207).

إن المصدر الآخر للإرتباك هوسؤال الصياغة المعتادة للتعبير هذه المسألة عن الاحتمال الشرطي للفوز، مع فهم أي باب سيفتحه المضيف، بدلاً من حتى تسأل عن الاحتمال الإجمالي أواللاشرطي. هذه المسائل تكون مختلفة رياضياتياً ويمكن حتى تكون لها أجوبة مختلفة اعتماداً على كيفية اختيار المضيف لأي باب سيقوم بفتحه إذا اختار اللاعب السيارة مبدئياً (Morgan et al., 1991; Gillman 1992). عملى سبيل المثال، إذا فتح المضيف الباب ذوالرقم ثلاثة -أياً كان الباب الذي سيختاره اللاعب- فسيكون احتمال الفوز بالتغيير للاعب الذي يختار الباب ذوالرقم 1 مبدئياً هو2/3 إجمالياً، ولكنها ستصبح 1/2 إذا اختار اللاعب الباب ذوالرقم 3. لم تحدد صيغة هذه المسألة المعتادة جميع هذه التفاصيل لسلوك المضيف، جاعلةً الإجابة هي حتى الفوز بالسيارة عن طريق التغيير هي 2/3 دون أي مبرر رياضياتي. تعالج الكثير من الحلول الشائعة التي تمت إقتراحتها مسبقاُ الاحتمال اللاشرطي، متجاهلةُ الباب الذي سيفتحه المضيف؛ لكن مورغان وآخرون سموا هذه الحلول "بالحلول الخاطئة" (1991).

مساعدات للفهم

لماذا لاقد يكون الاحتمال هو1/2

إن أكثر الاعتراضات الصوتية شيوعاً لهذا الحل هي تلك الاعتراضات التي تقول بأنه علينا تجاهل الماضي عندما نقوم بتقييم الاحتمالات—حيث أنه لا يوجد هناك أي علاقة بين الباب الذي أختاره اللاعب مبدئياً أوالباب الذي سيفتحه المضيف بقيم الإحتمالات. على أية حال، في المسألة الأصلية، الاختيار المبدئي لللاعب سيقوم بتأثير كبير على قيم الإحتمالات التي يقدمها المضيف للاعب.

هذه الاختلافات ظهرت بسبب وجود التناقض الحاصل بين المسألة الأصلية والنسخ الأخرى لها الموجودة في عمود فوس سافانت في نوفمبر 2006. في أحد النسخ التي قدمتها فوس سافانت، ينسى مونتي هول أي بابقد يكون وراءه السيارة. فيقوم بفتح إحدى الأبواب عشوائياً وسيسعد عندما ينكشف الماعز. ورداً على السؤال ما إذا كان ينبغي على المتسابق بأن يغير إختياره المبدئي، ردت فوس سافانت بشكل سليم، قائلةً بأنه "إذا كان المضيف جاهلاً عما وراء الأبواب، فلنقد يكون هناك أي اختلاف سواءً أبقى على اختياره أوقام بالتغيير. أما إذا كان يفهم، فلنقد يكون هناك أي اختلاف عند التغيير (vos Savant, 2006).

في هذه النسخة من اللغز،قد يكون لدى اللاعب فرص متساوية للفوز سواءً أقام بالتغيير أولا. فلنفترض بأن اللاعب اختار الباب ذوالرقم 1، فسيكون هناك ستة نتائج محتملة يمكن لها حتى تحدث، جميع واحدة منها لها احتمال مقداره 1/6:

كما هومشروح في الجدول الموجود أعلاه، هناك حالتين فقط يكشف فيها المضيف عن السيارة، وما يحدث في هاتين الحالتين لا زال ماجهولاً —ربما يفوز المتسابق مباشرةً أوقد يخسر. على أية حال، المسألة الأصلية تقول بأنه يجب على المضيف حتى يكشف الماعز، لذلك سيكون هناك أربعة حالات فقط محتملة من أصل ستة حالات، وهذه الإحتمالات تكون متساوية في المقدار. في حالتين من تلك الأربعة حالات، يؤدي التغيير إلى الفوز، وفي الحالتين الأخرتين، يؤدي التغيير إلى الخسارة. وعند البقاء على الاختيار المبدئي فأنها تعطي نفس قيم الإحتمالات: فالخسارة تحدث في حالتين والفوز تحدث في حالتين.

إن احتمالات اللاعب بالفوز تزداد إلى 2/3 في المسألة الأصلية لأن في الحالتين الموجودتين أعلاه حيث يكشف فيها المضيف عن السيارة لا تكون موجودة، لأنه مضطر إلى الكشف عن الماعز المتبقي بدلاً من حتى يكشف عن السيارة. في الجدول أدناه، تم تسليط الضوء على تلك الحالتين:

هذا التغير في سلوك المضيف قد سبب في تضاعف احتمالية الفوز بالسيارة، فنسبة الإحتمال تتضاعف عندما تكون السيارة خلف "الباب الثالث" أو"الباب الثاني"، وسبب تضاعف إحتمالية الفوز بالتغيير هو"فهم المضيف" لمتغيرات المسألة.

زيادة عدد الأبواب

قد يحدث من الأسهل تقييم الحل بأخذ نفس المسألة لكن نجعل من عدد الأبواب مليوناً بدلاً من ثلاثة أبواب فقط (vos Savant 1990). ففي هذه الحالة سيكون هناك 999,999 باب وراءها مواعز وباب واحد سيكون خلفه الجائزة. اللاعب سيختار إحدى الأبواب. بعد ذلك سيغتح مضيف اللعبة 999,998 من الأبواب المتبقية كاشفاً 999,998 ماعز—تخيل المضيف يبدأ بفتح الباب الأول إلى الباب الأخير ذوالرقم 1,000,000، ويفتح جميع واحد منها، متخطياً الباب الذي اختاره اللاعب والباب الآخر الذي يوجد وراءه الماعز. ثم يعرض المضيف على اللاعب الفرصة بالتغيير إلى الباب الغير مفتوح. على حسب الإحتمالات، سيكون هناك إحتمال مقداره 999,999 من أصل 1,000,000 مرةقد يكون الجائزة وراء الباب المتبقي الغير مفتوح، كما حتى هناك إحتمال مقداره 999,999 من أصل 1,000,000 مرة يفوز فيه اللاعب بالماعز عند البقاء على إختياره المبدئي. اللاعب العقلاني سيقوم بالتغيير. بالحديث بديهياً، على اللاعب حتى يسأل نفسه ما مدى حظه، من بين مليون باب، يختار فيها الباب السليم.

أقترح ستايبل وآخرون (2008) بأن مطلب الذاكرة العاملة تقوم بإجبار الناس عند اختبارهم في مسألة مونتي هول "بتهديم" اختياراتهم إلى اختيارين فقط لهما الاحتمالان متساويان. كما أنهم أقترحوا بأنه إذا تم زيادة عدد الاختيارات إلى ما فوقسبعة اختيارات (7 أبواب) يميل الناس إلى التغيير أكثر من قبل، على أية حال لا يزال هناك البعض يبقون في إعتقادهم بأن هذا الجواب غير سليم وإن احتمال الفوز ستتقسم إلى 50/50.

دمج الأبواب

بدلاً من القيام بإختيار إحدى الأبواب ليتبين لك لاحقاً بأنها تؤدي إلى الخسارة، فأنه من الممكن القيام بحركة مكافئة لها وهي دمج البابين الغير مختارين إلى باب واحد فقط. وبما حتى اللاعب لا يستطيع، ولن يستطيع، اختيار الباب المفتوح، فستنتقل قيمة إحتمال الباب المفتوح وتنجمع مع الباب المغلق التي تم دمجها معها (Adams 1990; Devlin 2003; Williams 2004; Stibel et al., 2008). وبالتالي سيكون لدى اللاعب الخيار إما حتى يبقى على اختياره المبدئي للباب مع 1/3 إحتمال للفوز بالسيارة، أوأنه يختيار البابين الآخرين المندمجتان اللتان لديهما 2/3 إحتمال كما هوموجود في الصورة التوضيحية.

إن افتراضات اللعبة تلعب دوراً مهماً هنا—فالفوز بالتغيير يكافئ أخذ البايين المندمجين إذا وفقط إذا كان مضيف اللعبة يعهد ما وراء الأبواب، وأنه يضطر لفتح الباب الذي وراءه الماعز فقط، وأنه يختار بين البابين المتبقيين اللذان وراءهما ماعز بشكل عشوائي مع إحتمالات متساوية.

الاختلاف الوحيد بين تبديل الباب الواحد ببابين مندمجين وبين تبديل باباً واحداً بباباً واحداً أخر هوحتى المضيف سيفتح أحد البابين المندمجين حيث حتى نسبة الإحتمال للباب المفتوح سينتقل للآخر، بينما إذا قام اللاعب بوضع جميع باب على حدة فلنقد يكون هناك أي أفضلية له. فبفتح إحدى الأبواب سيعرض لنا جميع الأبواب التي يجب حتى تكون خلفها السيارة، فتكون السيارة خلف إحداهما. على الأقل يجب حتىقد يكون وراء إحدى البابين الغير مختارين الماعز، سيكون لدى المضيف احتمالات متساوية لفتح إحداهما إذا كان وراء كلا البابين الماعز، ففتح إحدى هذين البابين لن يعطي معلومات إضافية؛ وبمعنى آخر ففتح إحدى هذه الأبواب لن يغير احتمالية 2/3 في حتى السيارة خلف إحدى تلك الأبواب (Devlin 2003).

المحاكاة

هناك طريقة بسيطة لتوضيح حتى إستراتيجية التغيير تؤدي إلى احتمال الفوز في المتوسط مرتين من أصل ثلاث مرات وذلك بمحاكاة اللعبة عن طريق أوراق اللعب (Gardner 1959b; vos Savant 1996:8). فلتُستعمل ثلاث أوراق من مجموعة عادية ونعتبرها ثلاثة أبواب؛ سنجعل من أحدها ورقة 'مميزة' مثل ورقة البستوني بالإنگليزية: Ace of Spades ونعتبرها الباب الذي خلفه السيارة، ونجعل من الورقتين المتبقيتين ورقتان عاديتان، على سبيل المثال ورقتين حمراوتين، ولنعتبرها الأبواب التي خلفها الماعز.

هذه المحاكاة، وباستعمال الإجراء التالي، يمكن حتى تُعاد عدة مرات لمحاكاة دورات عديدة من اللعبة. فبالنسبة 'للاعب' عليه حتى يقوم باختيار إحدى البطاقات عشوائياً، لكي يعتبرها الباب الذي سيختاره اللاعب مبدئياً. بعد ذلك، يبقى بطاقتين مقلوبتين، يراهما المضيف ويجب حتىقد يكون هناك بطاقة حمراء واحدة على الأقل، يسحب 'المضيف' البطاقة الحمراء. إذا كانت البطاقة المتبقية التي ليست في يد المضيف هي ورقة البستوني، فسيتم تسجيل هذا كدورة يفوز فيها اللاعب بالتغيير؛ أما إذا كان الورقة المتبقية في الطاولة هي البطاقة الحمراء الأخرى، فسيتم تسجيل هذا كدورة يفوز فيها اللاعب بالبقاء على اختياره المبدئي.

حسب قانون الأعداد الكبيرة، فمن المرجح حتى هذه التجربة ستحدد تقريبياً إحتمالات للفوز، فبإعادة هذه التجربة عدة مرات كافية فأنها لن تثبت فقط بأن اللاعب سيفوز بالتغيير مرتين من أصل ثلاثة مرات، بل أنها ترينا أيضاً سبب ذلك. بعد حتى يختار اللاعب إحدى البطاقات التي سنعبر عنها كورقة الإختيار المبدئي، ستكون النتيجة محتمة مسبقاً حيث حتى التغيير سيؤدي إلى الفوز بإحتمالاً كبير؛ وهي مرتين من أصل ثلاث مراتقد يكون فيها البستوني الورقة المختارة بالتغيير.

إذا لم يكن هذا مقنعاً، فيمكن حتى تُعمل هذه المحاكاة على مجموعة أوراق كاملة، يختار فيها اللاعب إحدى البطاقات ويبقي 51 ورقة المتبقية(Gardner 1959b;Adams 1990). في هذا النسخة من المحاكاة تكون احتمالية اختيار المضيف لبطاقة البستوني هي 51 مرة من أصل 52، وسيبقى هذه الإحتمال في إزدياد حدثا أزداد عدد البطاقات اللا-بستونية التي سيتم كشفها.

التبديل بعد الإزالة سيؤدي إلى تبديل الإحتمالات بين جسمين مختلفين

هنالك طريقة آخرى لفهم المسألة وهي اعتبار حتى تبديل الاختيار بعد الإزالة (أي إزالة فرص الخسارة) هي تعبير عن تبديل الإحتمال بين الجسم المختار مبدئياً والجسم المتبقي. بمعنى آخر إذا أُختير الماعز مبدئياً فإحتمال الفوز بها سينتقل إلى السيارة بعد إزاالة الماعز الآخر والعكس سليم. أي حتى احتمال الفوز بالماعز هي الضعف قبل حتى يقوم اللاعب بالإزالة وبقي على اختياره، وينتقل احتمال الفوز إلى السيارة بمقدار الضعف بعد حتى تتم إزالة أحد الماعزين وقام اللاعب بتغيير إختياره المبدئي.

متغيرات أخرى للمسألة

سلوكيات أخرى للمضيف

في بعض النسخ من مسألة مونتي هول، لا يُذكر فيها سلوك المضيف بشكل كامل. عملى سبيل المثال، النسخة التي نُشرت في مجلة باريد في 1990 لم تذكر تحديداً بأن على المضيف دوماً القيام بفتح الباب الآخر، ولم تذكر بأن المضيف سيعرض الفرصة للتغيير دائماً، حتى أنها لم تذكر بأن المضيف لن يكشف السيارة أبداً. إذا لم يتم تحديد هذه القواعد، فأن اللاعب لنقد يكون بمقدوره الاستنتاج بأن لديه إحتمال الثلثين للفوز بالسيارة (Mueser and Granberg, 1999). يعرض الجدول الموجود أدناه سلوكيات المضيف المحتملة وتأثيرها على مقدار الفوز.

لتحديد ما هي أفضل إستراتيجية عندما لا يعهد اللاعب سلوك المضيف في اللعبة هواستخدام إحدى الطرق لحل المسائل المعروفة باسم نظرية الألعاب. عملى سبيل المثال، قد يفترض اللاعب بأن المضيف شخصاُ ماكر ويكثر في عرض الفرص للتغير إذا سقط اختيار اللاعب المبدئي على السيارة. على العموم، الإجابة على هذا النوع من الأسئلة تعتمد دوماً على افتراضات معينة حول سلوكيات المضيف، قد تتراوح من "تجاهل المضيف تماماً" إلى 'أرمي بالعملة وقوم بالتغيير إذا كان الوجه على أعلى".

الأبواب N

اقترح دي. إل. فيرگوسون (1975 في رسالة إلى سيلفين وردت ذكرها في Selvin 1975b) بتعميم عدد الأبواب N في المسألة الأصلية يقوم فيها المضيف بفتح الأبواب الخاسرة ذوالعدد p وبعدها يعرض على اللاعب الفرصة للتغيير؛ في هذه النسخة المتنوعة من المسألة تكون احتمالية الفوز بالتغيير هي (N-1)/N(N-p-1). حتى إذا فتح المضيف باباً واحداً فمن الأفضل له يأن يقوم بالتغيير، لكن هذه الإجابية ستقارب الصفر حدثا أزداد عدد الأبواب N بشكلاً كبير (Granberg 1996:188). وعلى الطرف الآخر، إذا فتح المضيف جميع الأبواب إلا باباً واحداً يؤدي إلى الفوز، فأن فرصة الفوز بالتغيير ستقارب الواحد حدثا أزداد عدد الأبواب.

أقترح كلاً من بيبسويرا راووراو (1992) نسخة مختلفة لمسألة الأبواب ذوالعدد N حيث يفتح فيه المضيف باباً خاسراً مختلف عن الذي اختاره اللاعب وسيعطي للاعب الفرصة للتغير بعد جميع باباً يفتحه حتى يتبقى في النهاية بابين فقط. بوجود أربعة أبواب فقط تكون الإستراتيجية المثلى هي الاختيار مرة واحدة والقيام بالتغيير فقط عندما يتبقى بابين. بوجود الأبواب N تكون احتمالية الفوز بهذه الإستراتيجية هي (N-1)/N كما تم الإثبات رياضياتياً بأن هذه الإستراتيجية هي الإستراتيجية المثلى.

يبدوحتى هذه المسألة تشابه لحد كبير طريقة برنامج العروض Deal or No Deal؛ على أية حال، مع جميع اختيار يقوم به لاعب في برناكد Deal or No Deal تكون احتمالية الفوز بالجائز متساوية لإحتمالية الخسارة. مونتي، من جهة أخرى، يعهد المحتويات ويُمنع منعاً باتاً من من حتى يكشف عن الخيار الفائز. وبافتراض حتى الجائزة الكبرى لا تزال متروكة في الصندوقين المتبقيين، سيكون لدى اللاعب في Deal or No Deal فرصة مقدارها 50/50 لاختيار الصندوق الذي توجد تحته الجائزة الكبرى.

النسخة الكمومية

إن النسخة الكمومية لهذه المفارقة قد قامت بتوضيح بعض النقاط حول العلاقة بين المعلومات الكلاسيكية أواللا-كمومية والمعلومات الكمومية بالإنگليزية: Quantum information، كما تم تكويدها في حالات الأنظمة الميكانيكية الكمومية. تعتمد صياغة هذه المسألة بشكلاً مطلق على نظرية الألعاب الكمومية بالإنگليزية: Quantum game theory. تم فيها تبديل الثلاثة أبواب بأنظمة كمومية يسمح بوجود ثلاثة بدائل؛ ترجمت فيها فتح الباب والنظر على ما وراءه كالقيام بعملية الملاحظة من المراقب. يمكننا ذكر قواعد اللعبة بهذه الطريقة، لمرة أخرىقد يكون للاعب الاختيار في حتى يبقى على اختياره المبدئي، أوحتى يقوم بالتغيير إلى خيار "متعامد" آخر. نجد أيضاً حتى الطريقة الثانية-أي التغيير- تؤدي إلى مضاعفة فرص الفوز مرتين، تماماً كما هوموجود في الحالة الكلاسيكية. على أية حال، إذا لم يقم مضيف العرض بتوزيع أماكن الجوائز عشوائياً على الطريقة الميكانيكية الكمومية التامة، فأنه يمكن للاعب القيام بعمل أفضل، حتى حتى بإمكانه تحديد مكان الجائزة بكل ثقة (Flitney and Abbott 2002, D'Ariano et al. 2002).

تاريخ المسألة

إن أقدم لغز احتمالات التي لها علاقة بمسألة مونتي هول هي مفارقة صندوق بيرتراند، التي قام بها جوزيف بيرتراند في عام 1889 في مطبوعته حساب الاحتماليات (Barbeau 1993). في هذا اللغز نجد ثلاثة صناديق: صندوق يحتوي على عملتين مضىيتين، وصندوق آخر يحتوي على عملتين فضيتين، وصندوق آخر يحتوي على عملة مضىية وعملة فضية. بعد اختيار أحد الصناديق عشوائياً وأخذ عملة واحدة منها عشوائياً ليتبين لنا أنها مضىية، سيكون السؤال هوما احتمالية حتى تكون العملة الأخرى مضىية،يا ترى؟ كما في مسألة مونتي هول،قد يكون الجواب البديهي هو1/2، لكن الحقيقة هي حتى الاحتمالية تساوي 2/3.

إن مسألة السجناء الثلاثة، التي نُشرت في عمود الألعاب الرياضياتية لمارتن غاردنر' في ساينتفك أمريكان في 1959 (1959a, 1959b)، تشابه لحد كبير مسألة مونتي هول. يوجد في هذه المسألة ثلاثة سجناء لكل واحد منهم اسم مستعار، تم اختيار أحدهم وأعفي عنه بشكل سري. يطلب أحد السجناء الثلاثة من الحارس بأن يخبره عن اسم أحد الشخصين الآخرين الذي سيتم إعدامه، فلنفترض جدلاً بأن الحارس سيوافق حيث إذا ذاك السجين قد أقنعه بأن كشفه للاسم لن يقدم أي معلومات عن مصير ذاك السجين إلا أنها ستزيد فرصته بأنقد يكون المعفوعنه من 1/3 إلى 1/2. يوافق الحارس، وبعد ذلك يرمي (وبشكل سري) عملة ليقرر أي اسم سيخبره إذا كان السجين الذي سأل هوالمعفوعنه. السؤال هوإذا عهدنا جواب الحارس هل سيتغير فرصة السجين ليكون المعفوعنه،يا ترى؟ هذه المسألة مكافئة لمسألة مونتي هول؛ يبقى للسجين الذي سأل السؤال 1/3 فرصة ليكون المعفوعنه لكن لدى رفيقه الذي لم يُذكر اسمه 2/3 فرصة.

طرح ستيف سيلفين مسألة مونتي هول في زوج من الرسائل إلى دورية أمريكان ستاتيستيشين في 1975 (1975a, 1975b). تقوم الرسالة الأولى بعرض المسألة في نسخة تشابه المسألة المذكورة في مجلة باريد التي أتت بعد 15 عام من أرسالها. أما الرسالة الثانية فقد ظهر فيها الاستعمال الأول لمُسمى "مسألة مونتي هول". في الواقع هذه المسألة مأخوذة من برنامج الألعاب. يقوم مونتي هول بفتح الباب الخاطئ لإغراء اللاعب، لكنه -في هذه المرة- سيعرض على اللاعب جائزة مالية أقل من الجائزة الرئيسية —على سبيل المثال $100 نقداً— بشرط ألا يقوم بتغيير الأبواب. وكما خط مونتي هول إلى سيلفين:

وإذا لم تأخذ أبداً بعروضي، ستزداد قواعد اللعبة عليك صرامةً— لذلك لا تقوم بالتفيير بعد الاختيار.(Hall 1975)

نُشرت إحدى النسخ المسألة في قسم الألغاز لدورية المنظورات الاقتصادية، وهذه النسخة تشبه كثيراً لما هومذكور في مجلة باريد التي أتت بعدها بثلاثة سنوات في عام 1987 (Nalebuff 1987).

قدمت الموضوعة التي خطها فيليب مارتن في عام 1989 في إحدى أعداد مجلة بريدج توداي بعنوان "فخ مونتي هول" (Martin 1989) مسألة سيلفين، مع ذكر الحل السليم، والتي أعتبرها كمثال لكيفية سقوط اللاعب في فخ معالجة المعلومات اللا-عشوائية كما لوكانت عشوائية. من ثم منح مارتن بعض الأمثلة الموجودة في لعبة الجسر حيث يسيئ اللاعبون عادةً تقدير الاحتمالات، وذلك بالسقوط في نفس الفخ، مبدأ الاختيار المقيد هي أحد تلك الأمثلة. في السنة التالية ونظراً للجدل الذي قد نشأ حول هذه المسألة، صرح مارتن بعدم قدرته على فهم الغيب عندما نطق، "هنا [في مسألة مونتي هول] يمكن حتى نكتشف الفخ بسهولة. لكن يمكن للفخ حتى يقوى أكثر وبخبث في وضع لعبة الجسر."

ظهرت النسخة المعدلة لمسألة سيلفين في عمود سؤال-و-جواب أسأل مارلين لمارلين فوس سافانت في مجلة باريد سبتمبر في عام 1990 (vos Savant 1990). بالرغم من حتى فوس سافانت أعطت الإجابة السليمة بأن التغيير يؤدي إلى الفوز بإحتمال مقداره ثلثين، إلا أنها أستقبلت ما يقارب 10,000 رسالة ومن ضمنها ما يقارب 1,000 رسالة مسقطة من أشخاص لديهم شهادة الدكتوراة، الكثير من هذه الرسائل هي خطابات قادمة من أقسام الرياضيات والعلوم الطبيعية، وبالتالي، أعربت فوس سافانت بأن حلها كان خاطئاً (Tierney 1991). وبسبب هذه الردود الساحقة، نشرت مجلة باريد أربعة أعمدة لم يسبق لها مثيل حول هذه المسألة (vos Savant 1996:xv). ونتيجةً لهذه الشعبية، أُستخدم اسم بديل للمسألة -مارلين والمواعز.

في نوفمبر عام 1990، وعلى نفس قدر الجدال الحاصل من منطقة فوس سافانت، وقع نقاش طويل في عمود سيسيل ادامز المسمى ذا سترايت دوب (Adams 1990). أجاب فيه ادامز، وبشكل خاطئ، بأن فرص الأبواب المتبقية هي واحد من أثنين -أي بمقدار النصف. بعد حتى خط القراء الرسائل لتسليم العمليات الرياضياتية التي كانت موجودة في تحليل ادامز، أقر ادامز بأنه أخطأ في تلك العمليات، لكنه نطق بأن نسخة باريد هجرت بعض القيود الحرجة بدون حتى تقوم بذكرها، وبدون هذه القيود، لن تكون بالضرورة فرصة الفوز بالتغيير هي 2/3. خط الكثير من القراء رسائل مدعين فيها بأن ادامز "محقاً ولأول مرة" وأن الفرصة الحقيقية للفوز هي واحد من أثنين.

حظي عمود باريد والردود عليها اهتماماً كبيراً من قبل الصحافة، حتى أنها تمت كتابة سيرة حول هذا العمود في الصفحة الأولى من جريدة نيويورك تايمز (Tierney 1991) وقد أٌُستقبل فيها مونتي هول نفسه. وكان يظهر مدركاً للمسألة بشكل جيد، حيث أنه أجرى عرض تجريبي بمفاتيح السيارة أمام الصحفي، وقد قام بشرح كيف من الممكن أن حتى اللعبة في برنامج فلنعقد صفقة Let's Make a Deal مختلفة عن قواعد الألغاز الأخرى.

كما تم نشر أكثر من 40 ورقة دراسية حول هذه المسألة في الدوريات الأكاديمية وفي الصحافة العامة(Mueser and Granberg 1999).

تستمر المسألة في الظهور خارجاً عن الدراسات الأكاديمية. تتميز برنامج NPR المتزامن كار توك "بألغازها" الأسبوعية، حيث يظهر الجواب مشروح بشكل واضح في الأسبوع اللاحق، وقد تم عرض حلقة خاصة لهذه المسألة (Magliozzi and Magliozzi, 1998). ذكر الرياضياتي باول إيردوس هذه المسألة مع القيام بأول محاولة له لحلها بالحسابات الرياضياتية في المنشورة الرجل الذي عشق الأعداد فقط بالإنگليزية: The Man Who Loved Only Numbers—مثل الكثير من الآخرين، فقد أخطأ في أولى محاولاته. أضافة إلى ذلك، فقد تمت المناقشة حول المسألة من منظور طفل مصاب بمتلازمة آسبرجر، في "The Curious Incident of the Dog in the Night-time"، وهي رواية من عام 2003 خطها مارك هادون. وتمت إيضاً إضافة المسألة في محاضرة للشخصية تشارلي ايبس في أحد الحلقات لبرنامج CBS الدرامي NUMB3RS (وتحديداً في الحلقة 1.13) وفي كتاب دارين براون من عام 2006 المسمى خدع الذهن بالإنگليزية: Tricks Of The Mind. كما شرح بين جيليتيه مسألة مونتي هول في حلقة "الحظ" من السلسلة الإذاعية لبوب ديلان المسمى "Theme Time Radio Hour". كما ظهرت مسألة مونتي هول في فيلم 21 (Bloch 2008). كما حدد الاقتصادي إم. كيث تشين العيب الكامن في المئات من التجارب المتعلقة باللاتوافق الاستعرافي بالإنگليزية: Cognitive dissonance التي تُستعمل لتحليل القضايا المشابهة لما هوموجود في مسألة مونتي هول الأصلية (Tierney 2008).

التحليل البايزي

تقترح تحليل المسألة بأن نقوم باستعمال الصياغة النظرية لللإحتمالية البايزية (Gill 2002) بقاعدة لافتراضات الموجودة ضمن المسألة.

في الحدود البايزية، تكون الاحتمالية ${\displaystyle P(A|I)\,$ هي عدد في الفترة ${\displaystyle [0,1]\,$ المرتبطة بالافتراض ${\displaystyle A\,$. يحدد ذلك العدد درجة الاعتقاد في الحقيقة ${\displaystyle A\,$, وذلك اعتماداً على ما إذا كانت المعلومات الأساسية ${\displaystyle I\,$ قد حدثت وأصبحت معلومة.

بالنسبة لهذه المسألة، تأتي المعلومات الرئيسية من قواعد اللعبة، أما قيم الافتراضات التي تؤدي إلى نتيجة مغينة فهي:

${\displaystyle C_{i \,$ : حيث تكون السيارة خلف الباب i، وi تساوي 1، أو2 أو3.

${\displaystyle H_{ij \,$ : حيث يفتح فيه المضيف الباب j بعد حتى يختار اللاعب الباب i، وتكون الأعداد i وj مساوية 1، أو2 أو3.

عملى سبيل المثال، ${\displaystyle C_{1 \,$ تشير إلى الافتراض بأن تكون فيه السيارة خلف الباب ذوالرقم 1، وتشير ${\displaystyle H_{12 \,$ إلى الافتراض الذي يفتح فيه المضيف الباب ذوالرقم 2 بعد حتى يختار اللاعب الباب ذوالرقم 1.

تكون الافتراضات التي تقوم على التفسير الشائع للغز مونتي هول المذكورة رسمياً على النحوالتالي:

أولاً، يمكن حتى تكون السيارة خلف أي باب، وحميع الأبواب لها نفس الاحتمالات البديهية لأن مسقط السيارة غير معروف. ومن هذا السياق،قد يكون معنى بديهي أي قبل حتى تُقام اللعبة، أوتعني قبل رؤية الماعز. لذلك، تكون الاحتمالية البديهية للافتراض ${\displaystyle C_{i \,$ هي:

${\displaystyle P(C_{i |I)\,={\frac {1 {3 .$

ثانياً، يفتح المضيف دائماً الباب الذي لا يوجد خلفه السيارة، وذلك باختيار إحدى البابين الذين لم يفتحهما اللاعب. إذا كان البابين المتبقيين لا يوجد خلفهما السيارة، فكل واحدة منهما لها نفس المقدار من الاحتمالات. بذلك يحدد هذه القاعدة الاحتمال الشرطي للافتراض ${\displaystyle H_{ij \,$ أعتماداً على مكان السيارة — بمعنى آخر، أنها مشروطة على الافتراض ${\displaystyle C_{k \,.$ وعلى وجه التحديد، تكون:

يمكن حتى تُحل المسألة الآن بتسجيل جميع استراتيجية بواسطة احتمالياتها اللاحقة المرتبطة بالفوز، مع احتمالياتها المعتمدة على فتح المضيف لأحد الأبواب. وبدون فقدان العمومية، افترض، وبإعادة ترقيم الأبواب إذا كنت ترغب ذلك، بأن اللاعب قد اختار الباب ذوالرقم 1، وافترض بأن المضيف أتى بعدك وقام لفتح الباب ذوالرقم 3، كاشفاً بذلك الماعز. وبتعبير أخرى، يجعل المضيف من الافتراض ${\displaystyle H_{13 \,$ قيمة حقيقية.

الاحتمال اللاحق للفوز بعدم تغيير الاختيار، وذلك باعتماد على قواعد اللعبة والافتراض ${\displaystyle H_{13}}$

${\displaystyle P(C_{1 |H_{13 ,\,I)={\frac {P(H_{13 |C_{1 ,\,I)\,P(C_{1 |I) {P(H_{13 |I) .$

وبسبب الافتراض المذكور أعلاه،قد يكون البسط الموجود في الجهة اليمنى هي:

${\displaystyle P(H_{13 |C_{1 ,\,I)\,P(C_{1 |I)={\frac {1 {2 \times {\frac {1 {3 ={\frac {1 {6 .$

يمكن حتى يُقدر ثابت الاستنظام في المقام عن طريق توسيعها باستعمال تعاريف الاحتمالية الحافية والاحتمالية الشرطية:

خطأ رياضيات (وظيفة مجهولة): {\displaystyle \begin{array {lcl P(H_{13 |I) &{ = &P(H_{13 ,\,C_1 | I) + P(H_{13 ,\,C_2|I) + P(H_{13 ,\,C_3|I) \\ &{ = &P(H_{13 |C_1,\,I) \, P(C_1|I)\, + \\ &&P(H_{13 |C_2,\,I) \, P(C_2|I)\, + \\ &&P(H_{13 |C_3,\,I) \, P(C_3|I) \\ &{ = &{\displaystyle \frac12 \times \frac13 + 1 \times \frac13 + 0 \times \frac13 \ = \ {\displaystyle\frac12\. \end{array

وبقسمة ثابت الاستنظام على البسط، ينتج:

${\displaystyle P(C_{1 |H_{13 ,\,I)={\frac {1 {6 \,/\,{\frac {1 {2 ={\frac {1 {3 .$

لاحظ بأن الناتج يساوي الاحتمالية البديهية لكون السيارة خلف الباب المختار مبدئياً، مما يعني بأن حركة المضيف لم تساهم بأي معلومات جديدة بالنسبة إلى هذا الاحتمال. في الواقع، يوضح البرهان القادم بأن حركة المضيف تقوم بإعادة توزيع احتمالات في كون السيارة خلف إحدى البابين المتبقيين بشكل كلي.

من الممكن تقييم احتمالية الفوز بالتغيير إلى الباب 2، ${\displaystyle P(C_{2 |H_{13 ,\,I)$، بشرط حتى يُضاف الاحتماليات اللاحقة لجميع الافتراضات ${\displaystyle C_{i \,$ إلى العدد 1. وتكون:

${\displaystyle 1=P(C_{1 |H_{13 ,\,I)+P(C_{2 |H_{13 ,\,I)+P(C_{3 |H_{13 ,\,I).$

وبما حتى السيارة لاتوجد خلف الباب ذوالرقم 3، لأن المضيف قد قام بفتحها بالعمل، فيجب حتىقد يكون الحد الأخير مساوياً للصفر. ويكمن حتى تُبرهن باستعمال مبرهنة بايز مع النتائج السابقة:

خطأ رياضيات (وظيفة مجهولة): {\displaystyle \begin{align P(C_3|H_{13 ,\,I) &= \frac{P(H_{13 |C_3,\,I)\,P(C_3|I) {P(H_{13 |I) \\ &= \left(0\times\frac13\right) /\, \frac12 = 0\. \end{align

ولذلكقد يكون:

${\displaystyle P(C_{2 |H_{13 ,\,I)=1-{\frac {1 {3 -0={\frac {2 {3 .$

هذا يظهر بأن الإستراتيجية المناسبة للفوز هي بتبديل الاختيار إلى الباب ذوالرقم 2. كما أنها تقوم بتوضيح بأن كشف المضيف للماعز -الذي كان خلف الباب -3 قد قامت بتأثير على النتيجة، وذلك بنقل 1/3 فرصة للفوز من الباب ذوالرقم ثلاثة إلى الباب المرتبط بها بشكل بديهي -الباب الذي لم يتم فتحه-، وهذا ما يجعل لديه الاحتمال الأكبر للفوز.

انظر أيضًا

• مبرهنة بايز
• متناقضات

مسائل مشابهة

• مفارقة صندوق بيرتراند، المعروفة أيضاً باسم مسألة البطاقات الثلاث، بالإنگليزية: Three cards problem.
• مفارقة فتى أوفتاة، بالإنگليزية: Boy or Girl paradox
• مسألة السجناء الثلاثة
• مسألة المظروفين بالإنگليزية: Two envelopes problem

المصادر

وصلات خارجية

• مسألة مونتي هول في مسقط letsmakeadeal.com
• مسألة برنامج الألعاب–السؤال الأصلي والأجوبة في مسقط مارلين فوس سافانت.
• مونتي هول at the Open Directory Project
• "مفارقة مونتي هول" تأليف ماثيور. ماكدوغال، مشروع تظاهرات ولفارم (محاكاة).
• مسألة مونتي هول في صحيفة النيويورك تايمز (محاكاة).