الموجة المتناوبة: هي تعبير عن فلطية أوتيار متغيرة بشكل متكرر بتغير الزمن، بحيث تكون قيمتها موجبة تارة، وسالبة تارة أخرى. لها أنواع مختلفة، مثل الموجات المستطيلة، الموجات الجيبية، والموجات المثلثية.

يستخدم الرمز AC للدلالة على التيار المتناوب Alternate Current بينما يستخدم الرمز DC للدلالة على التيار المستمر Direct Current.

ما الذي يمتاز به التيار المتناوب عن التيار المستمر،يا ترى؟ في الحقيقة قد لا توجد له ميزات في التطبيقات التي تستخدم فيها الكهرباء لتبديد الطاقة على شكل حرارة. لكن هذا الأمر يختلف عند التحدث عن التطبيقات الأعقد. فمن أجل نقل الطاقة على مسافات بعيدة، يمكننا التحكم بمطال التيار، فنحمل مطال الفلطية إلى قيمة عالية بحيث تصبح قيمة مطال التيار منخفضة، وهذا ما يخفف بشكل كبير من الاستطاعة التي تستهلكها مقاومة الأسلاك، إذا ما قارناها بالاستطاعة المستهلكة عندماقد يكون التيار مستمرا.

الموجة الجيبية

الموجة الجيبية هي فلطية أوتيار تتغير بشكل جيبي مع الزمن ، يمكن تمثيل أية موجة بعلاقة من الشكل:

${\displaystyle a(t)=A\sin(\omega t+\theta )\,\,$

بما حتى القيمة العظمى التي يصلها التابع الجيبي هي الواحد، فسيكون المعامل المضروب به A هوالقيمة العظمى التي تأخذها الموجة، أي مطال أوسعة الموجة، ويكون مقدرا بالفولط أوبالآمبير.

المقدار${\displaystyle (\omega t+\theta )\,\,$ هوصفحة الموجة، ويقدّر بالراديان.

أما بالنسبة لـ ${\displaystyle \omega \,\,$ فهونبض الموجة. ويقدر بالراديان/ثا. والمقدار خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): {\displaystyle θ\,\, يسمى الطور (الصفحة الابتدائية للموجة) ويقدر بالراديان. سنتناول الآن بالشرح هذه المفاهيم.

نبض الموجة

حتى نستطيع استيعاب المدلول الفيزيائي لهذا المفهوم علينا حتى ننتظر حتى نتعهد على كيفية تمثيل الموجة الجيبية. وسنكتفي الآن حتى نشير إلى هذا المقدار يرتبط بكل من دور وتواتر الموجة الجيبية وفق العلاقة:

${\displaystyle \omega =2\pi f={\frac {2\pi {T \,\,$

دور الموجة T هوالمدة الزمنية التي تفصل بين مرورين متعاقبين للموجة من الصفر (أوأية قيمة أخرى)، ويقدر بالثانية.

تواتر (تردد) الموجة f هومقلوب الدور، ويقدر بالهرتز، ويعبر عن عدد المرات التي تتكرر فيها الموجة في الثانية واحدة.

الموجة الجيبية التي تستخدم في التغذية الكهربائية للمدينة ذات تردد 50Hz ومطال 220V.

الطور

في اللحظة الزمنية t = 0 تكون صفحة التابع الجيبي: ${\displaystyle \omega t+\theta =0+\theta =\theta \,$ . فالطور يعبر عن الصفحة الابتدائية للموجة الجيبية.

لنحاول حتى نفهم الطور بطريقة مختلفة. لتكن لدينا موجة جيبية أخرى هي${\displaystyle a_{0 (t)=A\sin(\omega t)\,$. يعبر الطور هنا عن فرق الصفحة بين الموجة المدروسة ${\displaystyle a\,$ والموجة الأخرى${\displaystyle a_{0 \,$ والتي غالبا ما تسمى بالموجة المرجعية. لهذافالطور مقدار نسبي وليس مقدارا مطلقا خاصا بالموجة، وفي حال كانت موجبة، نقول أن${\displaystyle a\,$ متقدمة بالطور${\displaystyle a_{0 \,$ على (كما هوالحال في الشكل)، وفي حال كانت خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): {\displaystyle θ\, سالبة، نقول حتى ${\displaystyle a\,$ متأخرة بالطور عن ${\displaystyle a_{0 \,$.

تمثيل الموجة الجيبية

يمكن تمثيل الموجة الجيبية بشعاع طويلته هومطال الموجة A، يدور بعكس اتجاه عقارب الساعة بسرعة زاوية هي نبض الموجة. في الشكل أدناه قمنا بتمثيل الموجتين السابقتين: و.

يمثل الشكل الأول وضع الموجتين الجيبيتين في اللحظة ${\displaystyle t=0\,$. عندها تكون صفحة التابع ${\displaystyle A_{0 \,$ مساوية للصفر، لذلك فإنهقد يكون منطبقا على المحور الأفقي. أما بالنسبة للتابع ${\displaystyle a\,$ فإن صفحته ستكون وهي نفسها الزاوية التي يصنعها الشعاع مع المحور الأفقي. وبما حتى الشعاعان يدوران بنفس السرعة الزاوية ، فإنهما بعد فترة زمنية ما ${\displaystyle t\,$ سيأخذان الوضع المبين في الشكل الثاني، حيث نجد حتى الزاوية التي يصنعها جميع من الشعاعان السابقان ازدادت بالمقدار نفسه${\displaystyle \omega t\,$ فيما حافظ جميع من الشعاعين على الوضع النسبي بينهما (لاحظ حتى الفرق الزاوي بينهما بقي ). ولهذا السبب فإن تمثيل الموجات الجيبية في اللحظة الزمنية${\displaystyle t=0\,$.قد يكون كافيا تماما من أجل توصيف الدارة.

من الشكل أيضا يتبين لنا وضوح معنى تقدم أوتأخر موجة جيبية على أخرى، فعندما تكون موجة ما متقدمة على موجة أخرى، فإن الشعاع الممثل للموجة الأولى "سيسبق" الشعاع الممثل للثانية.

المطاور

بما حتى دور التيارات المتناوبة غالبا ما تكون قصيرة جدا (1/50 ثا مثلا) فإننا غالبا ما لا نكترث بالتمثيل الزمني الآني للموجة المتناوبة، بل نقصر اهتمامنا على مطال (سعة) الموجة A وطورها ، ولهذا يمكن حتى نصف موجة ما باستخدام هذين المقدارين الذين يخطان ككتلة واحدة تسمى المطاور بالشكل التالي: ${\displaystyle A{\angle \theta \,$ .

مثال: لتكن لدينا الموجة التالية:${\displaystyle a(t)=1.273\sin(\omega t+30^{o )\,$، فيكون المطاور في هذه الحالة${\displaystyle 1.273{\angle 30^{o \,$ وبما أنه من الشائع استخدام القيمة المنتجة (وهي السعة مقسومة على${\displaystyle {\sqrt {2 \,$ وسنشرحها بعد قليل إذا شاء الله)، فإن المطاور يصبح بالشكل: ${\displaystyle 0.9{\angle 30^{o \,$.

القيمة الوسطى لمقدار جيبي

لتكن لدينا الموجة الجيبية التالية: ${\displaystyle a(t)=A\sin(\omega t)\,$.

نلاحظ حتى القيمة المتوسطة لهذه الموجة على دور واحد ${\displaystyle T\,$ ستكون صفرا. لأن الموجة في نصف الدور الثاني ستكرر نفسها ولكن بقيم سالبة. (حاول حتى تتأكد من ذلك بنفسك!).

لهذا السبب، نعهد القيمة الوسطية ${\displaystyle A_{a v\,$ للمقدار الجيبي ${\displaystyle a\,$ على أنها القيمة الوسطية للموجة المقومة على دور كامل. وبالتالي نجد أنها:

${\displaystyle A_{\mathit {av ={\frac {2 {T \int _{0 ^{t {A\sin(\omega t) {\mathit {dt ={\frac {2A {\pi \,$

القيمة المنتجة لموجة جيبية

تعهد القيمة المنتجة (أوقيمة الجذر المتوسط التربيعي rms) لتيار متناوب على أنها قيمة التيار المستمر الذي لومر في المقاومة لقدم إليها ذات الاستطاعة التي يقدمها التيار المتناوب. أولنقل بشكل أبسط أنها قيمة التيار المستمر الذي لومر في المقاومة نفسها لقام بتوليد كمية حرارة مماثلة خلال الزمن ذاته.

نفهم حتى الاستطاعة التي تستهلكها مقاومة ${\displaystyle R\,$ إذا مر فيها تيار متناوب ${\displaystyle i\,$ هي: ${\displaystyle p={\mathit {Ri ^{2 \,$

وبالتالي تكون الاستطاعة الوسطية المستهلكة خلال دور واحد:

${\displaystyle P={\frac {1 {T \int _{0 ^{T {{\mathit {Ri ^{2 {\mathit {dt ={\frac {R {T \int _{0 ^{T {i^{2 {\mathit {dt \,$

أما الاستطاعة التي يقدمها تيار مستمر ${\displaystyle I_{e ff\,$ لهذه المقاومة: ${\displaystyle P={\mathit {RI _{\mathit {eff ^{2 \,$

وبالتالي نجد حتى قيمة التيار المنتجة: ${\displaystyle I_{\mathit {eff ={\sqrt {{\frac {1 {T \int _{0 ^{T {i(t) ^{2 {\mathit {dt \,$

وبالطريقة ذاتها نجد حتى القيمة المنتجة للفلطية هي: ${\displaystyle V_{\mathit {eff ={\sqrt {{\frac {1 {T \int _{0 ^{T {v(t) ^{2 {\mathit {dt .\,$

ومن أجل ${\displaystyle i(t)=I_{m \sin(\omega t)\,$ نجد أن: ${\displaystyle I_{\mathit {eff ={\frac {I_{m {\sqrt {2 \,$ وبطريقة مماثلة نجد حتى ${\displaystyle V_{\mathit {eff ={\frac {V_{m {\sqrt {2 \,$

ملاحظة: سنحصل على النتائج نفسها من أجل: ${\displaystyle i(t)=I_{m \sin(\omega t+\theta )\,$

تمثيل مقدار جيبي بقيمة عقدية

لواضطررت للتعبير عن المسافة بين مدينتين، لكان بإمكاني حتى أقدّم جوابا مؤلفا من رقم واحد، مرفقا بواحدة الميل أوالكيلومتر أوأية واحدة طول أخرى. أما لواضطررت حتى أعبر تعليمات السفر من مدينة لأخرى فلن يكفي عندها ما ذكرته آنفا: ففضلا عن مسافة السفر، يجب حتى أذكر شيئا عن الاتجاه.

يسمى نوع المعلومات الذي يعبّر عن مقدار أحادي البعد (المسافة الخطية في مثالنا) بالمقدار السلمي. والأعداد السلمية هي ذلك النوع من الأعداد الذي استخدمناه في معظم التطبيقات الرياضية التي تفهمناها حتى الآن. فالفلطية التي تولّدها البطارية في دارة تيار مستمر مقدار سلمي، ومثلها مقاومة سلك نحاسي (أوم)، والتيار المار به (آمبير).

لكننا نجد أننا وعند تحليل دارات التيار المتناوب، فإن مقادير الفلطية والتيار والممانعة كلها لم تعد مقاديرا أحادية البعد كما اعتدناها حتى تكون في دارات التيار المستمر، فبما أنها مقادير "ديناميكية" (أي متناوبة الجهة والطويلة) فإنها تمتلك أبعادا أخرى يجب مراعاتها: والتواتر والطور هما من المقادير التي يجب مراعاتها،

لهذه الأسباب سنتعامل مع تقانات وكائنات رياضية تستطيع تمثيل هذه المقادير متعددة الأبعاد، وسنستخدم لهذا الأمر الأعداد العقدية بدلا عن الأعداد السلمية الحقيقية. تماما كما في إعطاء تعليمات السفر بين مدينتين، فكما مر معنا لكل مقدار في التيار المتناوب سعة (تشابه المسافة)، وطور (تشابه الجهة)، والعدد العقدي يستطيع التعبير هذين البعدين، أي السعة والطور، في الوقت ذاته. سنقوم الآن ببعض العمليات الرياضية وبالاعتماد على علاقة أويلر للتوصل إلى التمثيل العقدي للتيار المتناوب.

ليكن لدينا التيار التالي: ${\displaystyle i(t)=I_{m \sin(\omega t+\theta )\,$

نفهم حتى أي عدد عقدي يخط بالشكل التالي: ${\displaystyle z=[r,\theta ]=r(\cos \theta +j\sin \theta )\,$

وحسب علاقة أويلر يمكننا أيضا حتى نخط: ${\displaystyle e^{j\theta =\cos \theta +j\sin \theta \,$

وبالتالي فمعادلة التيار المعطاة بدلالة التابع تمثل الجزء التخيلي من عدد عقدي. يمكننا حتى نعبر عن كلامنا هذا بالتالي:

${\displaystyle I_{m \sin(\omega t+\theta )={\mathit {Ima (I_{m (\cos(\omega t+\theta )+j\sin(\omega t+\theta )))={\mathit {Ima (I_{m e^{j(\omega t+\theta ) )\,$

سنستخدم العدد العقدي ${\displaystyle I_{m e^{j\theta \,$ للتعبير عن التيار. لاحظ حتى صيغة التمثيل هذه هي ذاتها صيغة تمثيل المطاور. فعند تمثيل هذا العدد العقدي بيانيا في المستوي العقدي، سنحصل على العدد العقدي الممثل بالشعاع ذي الطويلة${\displaystyle I_{m \,$ وذي الزاوية ${\displaystyle \theta \,$ .

نلاحظ أننا أسقطنا الزمن في التمثيل العقدي للتيار المتناوب، وهذا سليم. فالتمثيل ${\displaystyle i(t)\,$ هوالتمثيل الزمني، أما التمثيل العقدي ${\displaystyle I\,$ المطاور فهوالتمثيل في الحقل الترددي (رغم عدم ظهور التردد فيه).

ومن خلال الطريقة ذاتها، نجد أنه بإمكاننا تمثيل الفلطية ${\displaystyle i(t)=I_{m \sin(\omega t+\theta )\,$ بالعدد العقدي ${\displaystyle V_{m e^{j{\phi \,$.