تعريف

الدارة الخطية من الدرجة الأولى: هي الدارة التي تحكمها معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى من الشكل:

حيث جميع من وثوابت، وتابع للفلطية أوالتيار بالنسبة للزمن.

يمكن تمثيل جميع دارة خطية ثنائية القطب من الدرجة الأولى بثنائي قطب مكافئ مكون من عنصرين أساسيين: مقاومة ووشيعة، أومقاومة ومكثفة، مربوطتين على التسلسل والتفرع. سنقوم في هذا الفصل بدراسة التراكيب المتنوعة لهذه الدارات، عند تطبيق نوعين مختلفين من الإشارة: الإشارة الخطوية والإشارة الجيبية.

تابع المستوى

ملف:Unitfunction.png يعطى تابع المستوى بالعلاقة أدناه، حيث يعطي قيمة ثابتة E من أجل t > 0 وقيمة معدومة من أجل t < 0.

أولا: دارة RC تسلسلية

دارة الشحن

لتكن لدينا الدارة المبينة في الشكل. نقوم بإغلاق القاطعة عن t = 0، نفرض حتى المكثفة غير مشحونة في البداية، وبالتالي تكون القيمة الابتدائية للفلطية على طرفي المكثفة معدومة . نقوم بتطبيق قانون كرشوف للفلطية فنجد:

ونفهم حتى التيار في الدارة يعطى بالعلاقة: ،نعوض في معادلة كرشوف فنحصل على المعادلة التفاضلية: وحلها (حاول حتى تتحقق منه!) هو:

A هوثابت المكاملة الكيفي، نقوم باستخدام القيمة الابتدائية ونعوّضها في المعادلة السابقة فنجد حتى وبالتالي تصبح معادلة الفلطية: .

وبالتالي يمكننا الحصول على معادلة التيار:

نقوم برسم المخطط البياني لكل من الفلطية والتيار بالنسبة للزمن. لاحظ كيف من الممكن أن تتزايد قيمة الفلطية بين طرفي المكثفة من الصفر لتبلغ نظريا القيمة العظمى لها E في اللانهاية. أما بالنسبة للتيار، فهويأخذ قيمة عظمى في البداية E/R ثم تتناقص مع مرور الزمن لتبلغ الصفر في اللانهاية.

لنحاول إيجاد معادلة المماس لمنحني الفلطية في اللحظة 0. نحصل على الميل من معادلة المشتق، وهوالتيار، فنجد حتى المماس يبتر المقارب E في النقطة .

عندما نكون في اللحظة الزمنية نلاحظ حتى الفلطية تصبح: . يرمز لهذا الزمن والذي تشحن فيه 63% من المكثفة على النحوالتالي: ، ويسمى الثابت الزمني للدارة.

يمكننا حتى نلاحظ أيضا أنه ومن أجل زمن ، تصبح الفلطية: . فالمقدار مقدار مميز للدارة RC ويستخدم في الكثير من التطبيقات.

تعطى شحنة المكثفة بالعلاقة: ، فبعد زمن ستصل شحنة المكثفة إلى 99% بالمئة من قيمتها النهائية.

دارة التفريغ

في هذه الدارة نقوم بقصر منبع الفلطية، لتتكون الدارة المبينة بالشكل، وبتطبيق قانون كرشوف للفلطية نحصل على المعادلة التفاضلية:

وحلها: ، وبما حتى القيمة الابتدائية للفلطية بين طرفي المكثفة المشحونة هي E فتكون معادلة الفلطية: .

وكما عملنا في دارة الشحن نحصل على تعبير التيار من خلال العلاقة:

نقوم من حديث بدراسة التمثيل البياني لكل من التابعين.

لاحظ كيف من الممكن أن تتغير قيمة التيار فجأة من E/R- إلى الصفر، وكيف تتناقص شحنة المكثفة من E حتى الصفر. المماس للمنحني من أجل الزمن t = 0 يبتر محور الزمن عند .

فبعد فترة زمنية طويلة، ستكون القيمة النهائية لكل من التيار والفلطية صفرا، وبالتالي لن يمر أي تيار كهربائي في الدارة.

الإشارة المستطيلة

خلال دور واحد T، يعطي منبع الفلطية ذوالإشارة المستطيلة فلطية ثابتة E خلال نصف دور، وفلطية معدومة في نصف الدور الآخر. سنستخدم هذا المنبع بدل المنبع الذي يقدم إشارة خطوية في دارة RC السابقة، وندرس تأثير ذلك على استجابة الدارة، وعلى التيار المار فيها. لهذا الغرض سنقوم برسم الخطين البيانيين لكل من الإشارة المطبقة والتيار المار في الدارة.

عندماقد يكون دور الإشارة المستطيلة T أكبر بكثير من الثابت الزمني للدارة، ستُشحن المكثفة في نصف دور وتفرّغ في نصف الدور الآخر بسرعة كبيرة. لهذا السبب نلاحظ من الخط البياني حتى التيار يتناقص بحدة من E/R إلى الصفر في نصف الدور الأول (دور الشحن)، ليعود بعد ذلك ويتناقص بحدة أيضا من E/R إلى الصفر (ولكنه يأخذ جهة معاكسة لجهة الشحن، لهذا تكون قيمته المطلقة سالبة).

أما عندماقد يكون دور الإشارة المستطيلة T أصغر بكثير من الثابت الزمني للدارة، فما إذا يبدأ التيار بالمرور وتبدأ المكثفة بشحن نفسها حتى تنعدم الفلطية التي يقدمها المنبع، فلا تصل شحنة المكثفة (نسبة إلى شحنتها الكلية) إلا إلى نسبة ضئيلة. هذا يشبه إلى حد بعيد قيامك بتشغيل وإطفاء التلفاز بشكل متكرر وسريع. لهذا السبب نلاحظ حتى قيمة التيار تتناقص ببطء وأنها لا تصل أبدا إلى الصفر.

ثانيا: دارة RL تسلسلية:

لتكن لدينا الدارة المبينة بالشكل. تيار الدخل خطوي، يأخذ قيمة ثابتة I من أجل زمن

سنقوم بتحويل منبع التيار إلى فلطية، وسندرس الدارة بشكل مشابه لما قمنا به سابقا. وسنفترض حتى الدارة في حالة راحة، أي حتى التيار معدوم في الوشيعة لحظة تطبيق التيار t = 0.

بتطبيق قانون كرشوف للفلطية نجد:

ونفهم حتى فلطية الوشيعة تعطى بالعلاقة:

نعوض في المعادلة السابقة فنحصل على المعادلة التفاضلية التالية:، وهي من طبيعة الحال معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى. حلها هو: ، حيث A ثابت المكاملة يتعلق بالشروط الابتدائية. وسنجد أنه من أجل فسيكون . من طبيعة الحال يمكننا الحصول على فلطية الوشيعة من خلال الاشتقاق، فنجد:

. يسمى المقدار الثابت الزمني للدارة.

لنلق الآن نظرة على المخططين البيانيين لكل من تيار الوشيعة وفلطيتها. نلاحظ حتى مماس منحني التيار يبتر المقارب في اللحظة الزمنية الموافقة للثابت الزمني للدارة، ونلاحظ أيضا أن :

أما بالنسبة لمنحني الفلطية فنجد حتى المماس عند t = 0 يبتر محور السينات عند الثابت الزمني للدارة، كما نلاحظ أن:

لهذا السبب فإن الدارة تصل إلى الحالة النهائية بعد زمن بتقريب جيّد

أما من أجل فستكون قيمة التيار:

سلوك الدارات في النمط الجيبي

لقد أشرنا في الفصل السابق إلى إمكانية تمثيل المقادير الجيبية باستخدام الأعداد العقدية. لهذا الأمر أهمية كبيرة، إذ إذا تطبيق قوانين كرشوف على التمثيل العقدي لكل من التيار والفلطية والممانعات سيعطي نتائج سليمة.

بالإضافة إلى اعتماد هذا المبدأ في دراسة سلوك الدارات في النمط الجيبي، علينا حتى نتذكر ميزة هامة للنمط الجيبي، وهي حتى جميع التوابع الزمنية الجيبية للتيارات والفلطيات في الدارة لها نبض المنبع المحرض نفسه، وهذا يسمح بتبسيط حل معادلات الدارات.

قبل حتى ندرس نموذجا في كيفية دراسة استجابة دارة في نمط جيبي (في المحاضرة القادمة إذا شاء الله)، سنقوم باستعراض لكيفية تمثيل ممانعات دارات مختلفة.

دارة RC تسلسلية

تعطى الممانعة العقدية للدارة بالعلاقة:

وبما أنها مقدار عقدي فيمكن كتابتها بالشكل:

يمكن حساب طويلة وطور الممانعة من خلال علاقات التحويل إلى المطاور (التي تحدثنا المحاضرة الماضية) فنجد:

قبولية الدارة هي مقلوب الممانعة، وتعطى بالعلاقة:

نلاحظ حتى الجزء الحقيقي من الممانعة ثابت لا يتعلق بالنبض المطبق ، أما الجزء التخيلي فهويسعى نحوالصفر من أجل قيم كبيرة له، ويسعى نحواللانهاية من أجل قيم صغيرة للنبض.

التمثيل البياني يمكننا تمثيل الممانعة الكلية هي حصيلة جمع ممانعة المقاومة الحقيقية تماما إلى ممانعة المكثفة التخيلية تماما، وستأخذ الشكل المبين في المخطط البياني.

لوقمنا بضرب جميع من الأشعة في المخطط بالتيار العقدي، فسنحصل على ما يسمى بتمثيل فرينيل، إلى غير ذلك سيمثل شعاع جميع ممانعة شعاع الفلطية المار بتلك الممانعة،

من أجل تمثيل القبولية، سنعتمد طريقة هندسية لتمثيل مقلوب عدد عقدي بيانيا. نفهم بداية حتى زاوية مقلوب عدد عقدي تساوي زاوية العدد بالقيمة المطلقة وتعاكسه بالإشارة، لذلك يمكن تمثيل ذلك بيانيا بسهولة. أما بالنسبة للطويلة فيمكن البرهان على حتى النقطة الممثلة لمقلوب عدد عقدي تقع على الدائرة التي قطرها هومقلوب الجزء الحقيقي والمارة من مركز الإحداثيات. لذلك ستكون القبولية في دارتنا:

دارة RC تفرعية

تعطى القبولية العقدية للدارة بالعلاقة:

حيث: ،

نلاحظ حتى الجزء الحقيقي من القبولية ثابت لا يتعلق بالنبض المطبق ، أما الجزء التخيلي فهويسعى نحوالصفر من أجل قيم صغيرة له، ويسعى نحواللانهاية من أجل قيم كبيرة للنبض.

وهذا هوالتمثيل البياني للمانعة والقبولية:

دارة RL تفرعية

تعطى القبولية العقدية للدارة بالعلاقة:

حيث: ،

نلاحظ حتى الجزء الحقيقي من القبولية ثابت لا يتعلق بالنبض المطبق ، أما الجزء التخيلي فهويسعى نحوالصفر من أجل قيم كبيرة للنبض، ويسعى نحواللانهاية من أجل القيم الصغيرة.

ويمثل الشكل أدناه التمثيل البياني لكل من الممانعة والقبولية:

دارة RL تسلسلية

تعطى الممانعة العقدية للدارة بالعلاقة:

حيث:

، قبولية الدارة هي مقلوب الممانعة، وتعطى بالعلاقة:

نلاحظ حتى الجزء الحقيقي من الممانعة ثابت لا يتعلق بالنبض المطبق ، أما الجزء التخيلي فهويسعى نحوالصفر من أجل قيم صغيرة للنبض، ويسعى نحواللانهاية من أجل القيم الكبيرة.

التمثيل البياني