تحليل دالي

التحليل الدالي Functional analysis أحد فروع التحليل الرياضي الذي يهتم بدراسة فضاءات الدوال . تكمن جذور التحليل الدالي في دراسة التحويلات ، مثل تحويل فورييه وفي دراسة المعادلات التفاضلية والتكاملية . أول من تحدث في التحليل الدالي هوالرياضي ڤيتوڤولترا.

وهوتوسيع وتعميم للتحليل الرياضيّ التقليدي، وذلك عن طريق تحويل المفاهيم، التي تبدوأساسيّة في مختلف أوجه هذا الأخير، إلى مفاهيم مجرّدة. فيضع المرء منظومة من المسلّمات، ثم يُثبتُ انطلاقاً منها مبرهنات تضم المبرهنات التقليديّة حالاتٍ خاصّةً. وكثيراً ما يَظْهَرُ الكثير من النتائج التقليديّة، وغيرها من النتائج التي لم تكن قد صيغت من قبلُ، حالاتٍ خاصّةً من مبرهنة مجرّدة واحدة. لعمليّة الانتنطق إلى الصيغة المجرّدة هذه مفعولٌ توضيحي، ويتجلى في حذف العناصر الزائدة وإظهار العلاقات المستترة غير المتوقّعة، وهذا ما يؤدي عموماً إلى تعميق فهم النتائج السابقة وإلى تمهيد الطريق للتوصل إلى نتائج جديدة.

يهتم التحليل الدالي، إضافة إلى دوره في تنظيم التحليل الرياضي التقليدي وتوضيحه بالكثير من المسائل التي تخصّه. إذ كثيراً ما يحدث في الرياضيّات حتى يؤدّي مفهوم حديث أُدْخِل لحلِّ مسألة بعينها إلى طرح سلسلة من المسائل المتعلِّقة به، والتي قد لاقد يكون لها صلة بالمسألة الأصليّة، ولا يُستثنى التحليل الدالي من هذه القاعدة. ومن ثم فإن الكثير من مسائل التحليل الدالي هي تعميم لمسائل في الجبر المجرّد، وتأخذ طابعاً مُشابهاً من الناحية الشكليّة على الأقل. ويلاحظ، بأسلوب مماثل، كيف من الممكن أن يتقاطع التحليل الدالي مع الطبولوجيا من دون وجود حدود واضحة.

لذلك يعتقد الكثير من الرياضيين عند تأمّل التحليل الدالي بعمق، أنّه نتيجة دمج فرعَي الجبر والطبولوجيا. ويمكن عندئذ تعريف التحليل الدالي بأنّه ذلك الفرع من الرياضيّات الذي تُعْتَمد فيه وجهة النظر هذه منطلقاً ومنهجاً. ومن جهة أخرى تجب الإشارة إلى أنّ الكثير من العاملين في حقل التحليل الرياضي التقليدي ما زالوا غير مبهورين بإنجازات التحليل الدالي، ويعتقدون أنّ الشرح السابق متفائل جدّاً، إذ ما تزال النظريات العميقة في التحليل الرياضي عصيّة على التجريد.

ويُعَد إدخال «دوال معمّمة» بأنواع مختلفة سمةً أساسيّة ومهمة في بعض تطبيقات التحليل الدالي في التحليل الرياضي التقليدي. فيمكن لفضاء دوال ذات خواص مألوفة حتى يُحْتَضَن في فضاء أوسع تكون عناصره ذات طبيعة مجرّدة، بحيث يمكن إجراء عمليات التحليل المألوفة من اشتقاق وغيرها بحرّية أكبر، وبحيث تأخذ مبرهنات التحليل التقليديّة صيغاً أبسط وأكثر أناقة. ولعلّ نظريّة التوزيعات للوران شوارتز مثال مهم على هذه المقولة.

ومن مواضيع التحليل الدالي: