ملخص

إمكانية الرسم في الفراغ ثلاثي الأبعاد ، التي توفرها برامج النمذجة الافتراضية, تقدم للهندسة الوصفية تطورات جديدة ، نظرية وتطبيقية ، بعد فترة من الركود التي شهدها النصف الثاني للقرن العشرين. من هذا المنظور ، الكمبيوتر يوفر إمكانات للهندسة الوصفية ، مماثلة لتلك التي تقدمها أدوات التكنولوجيا الحديثة لأي فهم. لإثبات هذه الفرضية ، هذا البحث يقابله معضلة أبولونيوس ، في المستوى وتعميمها في الفراغ على الكثير من مسائل التماس بين لاسطج وخاصة الدورانية. اظهار كيف من الممكن أن ان نوعية أدوات التمثيل أثرت على الحلول المعطية عبر التاريخ, ، وكيف ، ان نفس المسالة اليوم, تجد حل بطريقة بسيطة وعمومية. وأخيرا يحاول ، البحث ان يظهر الإمكانات الإرشادية (potenziale euristico) للهندسة الوصفية ، التي اعتبرها غاسبار مونج واحدة من المزايا الكبرى لهذا الفهم , والتي تضح أكثر من خلال استخدام التقنيات الجديدة : "وبهذا المعنى ، الهندسة الوصفية هي وسيلة درس عن الحقيقة الفهمية وتعطي أمثلة واضحة عن الانتنطق الدائم من المعروف إلى المجهول... ".

مقدمة

إمكانية الرسم في الفراغ ثلاثي الإبعاد التي تقدمها برامج النمذجة الرقمية تتيح للهندسة الوصفية تطورات جديدة ، نظرية وتطبيقية . إثبات هذه الفرضية , هوبشكل عام موضوع هذا البحث , وبشكل خاص من خلال لقاءة حلول مشاكل الاستمرارية بين الأسطح الدورانية. للوصول بكيفية تدريجية إلى حل هذه المشكلة ثلاثية الأبعاد. ينبغي حتى نبدأ بمعالجة معضلة ثنائية الأبعاد ، والتي الفهماء لم يتمكنوا من حلها لفترة طويلة وهي مسألة أبولونيوس (عالم هندسة رياضية وفلكي 262–190 ق.م).

حل معضلة أبولونيوس في نفس السطح اوفي الفراغ يحتاج القيام بعمليات رسم تُنفذ من خلال أساليب الهندسة الوصفية . إمكانية استخدام الفراغ توفر طريقة جديدة لتفسير الهندسة الوصفية.

دراسة معضلة أبولونيوس وحلها في الفضاء الافتراضي يشير على حتى الطريق إلى ممارسة الهندسة الوصفية ، في مجال البحث والتدريس ، يجب ان يتغير اليوم وبشكل جذري. البحث يهدف إلى لفت النظر إلى طريقة جديدة لفهم دور الهندسة الوصفية من خلال استخدام أدوات الرسم التكنولوجية آخذا في الحسبان التراث الثقافي العظيم لهذه المادة .

أي إنسان يهتم بالهندسة الوصفية يفهم حتى هذا الفهم يفهمنا حتى نعمل في الفراغ من خلال عمليات هندسية تنفذ على نفس السطح ( سطح الإسقاط) . وكما نطق مونج نفسه : إذا الغرض الأول من الهندسة الوصفية هوتمثيل بدقة ، من خلال رسومات ببعدين فقط ، كيانات ثلاثية الإبعاد. كذلك ، الكمبيوتر ، يتيح الفرصة لإتباع طريق أقصر ، تتألف بتمثيل كيانات ثلاثية الإبعاد ، في فراغ افتراضي. من طبيعة الحال هذا لا يجعل هذه العملية تلقائية ، ولكن يعطيها وضوح اكبر. أي, عند تمثيل, مثلاُ ، الإثناعشري السطوح K ، في طريقة الإسقاطات المتعامدة (Metodo di Monge)، فإننا نتبع ، بشكل عام ، العملية التالية: (شكل 1). 1- نختار, من الكثير من الطرق الممكنة, المسار الذي سيتبع في التمثيل ، مثلاً ، تقدر استخدام الخصائص الهندسية, لهذا المتعدد السطوح, لتحديد ارتفاعات رؤوس K , في الحالة التيقد يكون فيها واحدة من أوجهة K, تنتمي إلى مستوى أفقي 1π. أونبدأ بعملية تَبْسيط (unfolding) اوجهة K على المستوى الأفقي 1π , وبعد ذلك بعملية عكسية للتبسيط يُعاد إغلاق K.

هذه العملية تتم باستخدام الرسومات الإسقاطية التي تسمح، كما قلنا، بالعمل في الفراغ الخيالي من خلال إنشاءات هندسية مسطحة (على نفس السطح). أما ، إذا أردنا حتى نمثل الثنعشري السطوح K في الفراغ الافتراضي (virtual space) للكمبيوتر ، يجب حتى تتبع بالضبط نفس العملية ، مع فارق واحد ، يتعلق بالفترة الثانية : هنا العملية يمكن حتى تنفذ مباشرة في الفراغ ، دون الحاجة إلى الإسقاطات. عند انتهاء هذه العملية, التي هي مهمه من حيث دقة النتيجة. يمكننا حتى نطلب من جهاز الكوميوتر أي عملية تمثيل إسقاطية للجسم K ، والتي هي عملية تلقائية (الشكل 2).

هنا يجدر التوقف على هذا التعبير 'الانتنطق من المعلوم إلى المجهول. مونج ، في الواقع ، لا يشير إلى الفهم المكتسبة عندما يتم تمثيل جسم معين بشكل واضح. ، لأنه إذا عمل ذلك ، كان ينبغي ان يقول 'من المجهول الى المعلوم. من يصمم ، على سبيل المثال ، يعهد كم هومفيد الرسم في توضيح وتدقيق فكرة المشروع. هذا هوالانتنطق من المجهول ، من فكرة ما زالت غامضة ، إلى المعلوم, الذي يكمن في الانتهاء من اظهار ثرائها وأهميتها. ومع ذلك مونج يقول، من المعروف إلى المجهول ، والذي يمكن حتىقد يكون لها معنى واحد فقط : وهوالإشارة إلى التأثير الإرشادي القوي للرسم. عندما نرسم ، في الواقع ، كثيرا ما نصادف اكتشافات جديدة ، التي قد تضم ، على سبيل المثال ، خصائص هندسية غير معروفة. . مثلاً في حالة ايفون عندما اكتشف المقاطع العرضية للنتوء المستدير (Torus) ، والتي يتم الحصول عليها بمستويات ماسة(الشكل 3).. والجدير بالذكر ان جوزيف برتراند في كتابة التمجيد الأكاديمي (18907-Eloges académiques), نطق إذا ايفون اكتشف مقاطع دائرية للنتوء المستدير, من خلال الرسم. أي بالاعتماد على الحدس ، ثم بعد ذلك تحقق منها بالطرق التحليلية.

برنامج البحث

• أ -- استطلاع وتلخيص الحلول المقترحة على الصعيد الدولي بالنسبة لتجديد الهندسة الوصفية، وضم تحليل دقيق لبعض المحاولات المبكرة في تكوين الهيكل الجديد لهذة المادة.
• ب -- وضع إطار تام للنظريات التي تعطي أساسيات الهندسة الوصفية الحالية ، من الكلاسيكية إلى الحديثة ، من الهندسة الاسقاطية الى رسومات الحاسوب ، من المخروطيات الى السبلاين (spline) من السطوح الرباعية (quadrics) الى النيبرس (NURBS) وهلم جرا للوصول الى نظرية الظلال والكياروسكورو(الجلاء والقتمة) ولخوارزميات الإضاءة الكاملة(Global-illumination)ء.
• ج -- إعادة تعريف الأساليب أوطرق تدريس الهندسة الوصفية لتمثيل الأشكال في الفراغ ، من خلال إضافة للسبل الكلاسيكية للمنظور وللإسقاطات المتوازية طرق النمذجة الافتراضية ؛ وللتحول آلمتناظر بين طرق التمثيل, اضافة الهندسة العكسية (reverse engineering)، والتي هي التحول من النموذج العددي إلى النموذج الرياضي ، وما إلى ذلك.
• د -- استطلاع المشاكل الكلاسيكية للهندسة الوصفية وحلها بواسطة تقنيات الكمبيوتر. هذه المشاكل قد تصنف لمجموعتين : -المجموعة التي تجد ، في نمذجة الحاسوب ، حل فوري (على سبيل المثال انشاء تقاطع بين سطحين) والمجموعة التي تتطلب عملية إنشاء تحضريه (مثلاً تحديد محور وراسم سطح مكافئ) . المجموعة الاولى تقدم اهتمام محدود لأن الحل يرتبط ارتباطا وثيقا بتمثيل الاشكال (في حالة التقاطع بين السطوح الاهتمام يقتصر على تمييز الشكل وخصائص منحنى التقاطع). المجموعة الثانية تقدم اهتمام كبير وحالي لأن الحل لا يحتاج فقط الفهم بخصائص الاشكال المعتبرة بل أيضا التمكن من الانشاءات الفراغية التي توصل الى النتيجة. في هذا المعنى مشاكل المجموعة الثانية تمثل مراجع من مشاكل التصميم التي لها قدرة تكوينية كبيرة في مجال التصور والتحكم في الأشكال الهندسية في الفراغ.
• ه -- استكشاف تطبيقات الهندسة الوصفية التي بقيت منسية لسنوات (بسبب صعوبات الحل البياني) ، وتشهد من حديث اهتمام من قبل بعض الفهماء. مثل الستيريوتومي ( stereotomy فن قص المواد الصلبة، وعلى سبيل المثال الحجر ، إلى بعض الأشكال) , انظر البحوث النظرية والعملية لكلاوديو داماتو) ، وبتر الأخشاب (البحوث التصميم الصناعي) ، رسم طُرز المعمارية الكلاسكية (مشاكل المسح والترميم. تحديد حلول تقنية ذات صلة بهذه التطبيقات.
• و-- وصف تطور التقنيات لإعادة الاعتمار في الفراغ للأشكال الممثله, من تقنيات رموز الهندسة الكلاسيكية ، الى تقنيات الناتج (output) ثلاثي الأبعاد.
• ز -- جمع وتحديث المعلومات في مرشد للهندسة وصفية، كتعبير عن الأبحاث التي تم وصفها في الموجز أعلاه.

تجديد الهندسة الوصفية

الاهتمام القوي الذي يمكن ان يثيرة هذا البحث, في الكثير من الجامعات الاردنية والعربية ، يكمن في تداعياتة الايجابية المحتملة على البحث الفهمي وعلى التدريس. النجاح في تحقيق التكامل بين نظريات وأساليب التمثيل التقليدية مع تقنيات الرسم الجديدة , باستخدام الكمبيوتر, لة أثر فوري ، في تعميم حلول بعض المشاكل النموذجية للهندسة الوصفية (مثل ، معضلة التماس في الفضاء) من جهة, وفي اجتياز التدريس المحدود على فهم تقنيات هذا أوذلك البرنامج من جهة اخرى؛ لان هذا النوع من التدريس يُفرغ فهم الهندسة الوصفية من محتواها النظري ، ومن ممارسة التمرين الذهني في فهم الفراغ واكتشاف ابعادة المتنوعة.

في الكثير من الاحيان , بالرغم من التطور التكنولوجي ، الابحاث ، وبالتالي ، تدريس هندسة وصفية بقيت متجذرة في الأشكال القديمة وهذا التعصب أدى إلى انفصام خطير بين التعليم التقليدي ، الغني بتاريخه ، وتدريس تقنيات الحاسوب، المهتمة فقط بتطبيق أوامر البرمجيات دون أي إطار نظري . ولهذا ضرورة تجديد الهندسة الوصفية ينبع من الحاجة إلى إدماج هذا الفهم الكلاسيكي مع تقنيات التمثيل الحديثة وحفظ وتوسيع التراث الثقافي الموروث من القرون الماضية.

في كثير من البلدان مثل الولايات المتحدة والبرازيل وحتى في الصين ، هذه المشكلة قد تم تناولها بمقترحات مختلفة (المشار إليها في المراجع) . على العكس ، في الجامعات العربية، التي هي أيضا مهد لهذه الفهم, المشكلة مهملة تماما ، على الرغم من ان اساتذة وطلاب يشعرون بهذة الفجوه الكبيرة.

منذ منتصف القرن العشرين ، مع عدد قليل من الاستثناءات ، التطورات الوحيدة لهذة المادة, كانت مرتبطة بالمجال التجريبي في عمليات الرسم ، الأساليب التي نتجت كان لها دور هام في الهندسة الوصفية ولفهم الهندسة بشكل عام. وقع التمثيل الرقمي منح الفهماء أداة قادرة على :

• الاعراب بإيجاز عن مشاكل كان يمكن حلها بالطرق الرياضية فقط
• انتاج رسوم بيانية في الفراغ ، أكثر دقة ،
• انتاج صورا ذات جودة أعلى (ديناميكية ، تظليل ، تفاعل ، ... الخ)

تعميم النظريات يُطور العلوم

فكرة تعميم, مثلاً, معضلة المستويات الماسة لسطح كروي كانت مفيدة، لأن التاريخ فهمنا حتى الفهم يتقدم عندما يجد قانون واحد يفسر، ببساطة أكثر ، ما كان يُوضح قوانين عديدة. بعبارة أخرى ، الفهم يتقدم عندما يُعمم. كما هوالحال في مساهمة غاسبار مونج, لان لها قيمة تعميمية، أي, يجمع في مدونة واحدة ، نظريات وإجراءات كانت أغلبيتها معروفة ولكن متمايزة من بييروديلا فرانشيسكا حتى فريتزير (Frézier).

اقترحات ومبادرات لتعزيز وتطبيق التجديد في الهندسة الوصفية

تجديد تدريس الهندسة الوصفية يتحقق من خلال المبادرات التالية :

• إدخال النمذجة ثلاثية الأبعاد بين أساليب الهندسة الوصفية, في جميع من المراقبة المترية (control metric) ، والمراقبة الشكلية (shape control) للكائنات الممثلة.
• التحليل النقدي لأداء التمثيل الافتراضي (تتبع الفراغ ، الدقة, الاتساق بين التمثيل والغرض من مهمتة ... الخ).
• دراسة النظريات التاريخية والإجراءات الوصفية.
• إعادة التفسير النظري للمشاكل الكلاسيكية واختبارها من خلال التمثيل الافتراضي.
• اقتراح إجراءات جديدة تأخذ في الاعتبار قدرة ادوات التمثيل الافتراضية المتاحة.
• تعريف واعتماد معجم موحد (مثلاً : التمثيل الافتراضي بدلا من النمذجة الحاسوبية ، وهلم جر)ا.

الصيغة المثلى لتجديد الهندسة الوصفية ينبغي الوصول اليها بمساهمة جميع اساتذة هذة المادة , والتي يجب ان تضمن على الأقل الاتقان العملي للمراحل التالية:

• إتقان واعي لمفاهيم الهندسة الوصفية ؛
• فهم جيدة لجميع عمليات الرسم ثنائية وثلاثية الابعاد، بهدف توطيد وتعزيز القدرات العقلية في تخيل الفراغ ونماذجة ؛
• اثراء الموارد المختبرة في وظيفية ومنهجية فهم التمثيل ، في السيطرة المترية والشكلية للمناذج الممثلة؛
• استخدام لغة الرسم الوصفية بشكل تام ومباشر بهدف إيصال المعلومات التقنية اوالشكلية بشكل دقيق وجلي.

من بين المبادرات التطبيقية الداعمة ، التي تستهدف تجديد هذة المادة ، إعادة التأكيد على المبدأ القائل بأن الهندسة الوصفية مكرسة ، كما ذكر مونج ، ليس فقط في ضرورة تلبية احتياجات التصميم ،بل ايضاً في البحث الفهمي المجرد للأشكال الهندسية وخصائصها المتنوعة.

أثر التقنيات الجديدة على تطوير الهندسة الوصفية

نظرا للدور الهام للرسم في مجال البحث في الهندسة الوصفية, ، يتعين علينا حتى نسأل ما الأثر الذي كان وسيكون بظهور التقنيات الجديدة , التي أشرنا إليها ، في تطوير البحوث في مجال هندسة الوصفية.

تاريخ الفهم مليئ بالأمثلة عن دور الأدوات في تطوير الفهم. تلسكوب غاليليواعطى الفرصة لمراقبة كوكب المشتري ، ولكنة لم يسمح له في فهم شكل هذا الكوكب ، بتلك الحلقة المميزة التي نعهدها اليوم من خلال التلسكوبات الموجودة على الأقمار الصناعية. ولهذا فهومنطقي ان نسأل انفسنا عن الفرصة التي يوفرها الحاسوب في تطور الهندسة الوصفية. اليوم الكمبيوتر ، مجهز ببرامج نمذجة هندسية (modellazione geometrica) ، تسمح بالقيام بثلاثة عمليات أساسية ، والتي قبل ثورة الحاسوب لم تكن ممكنة:

1. الرسم في الفراغ ثلاثي الأبعاد, كما قلنا سابقاً؛
2. استخدام, في العمليات الهندسية, أي منحنى أوسطح وليس فقط المخروطيات (ربما متدهورة).
3. تحقيق نتائج أكثر دقة بالنسبة للماضي.

لهذه المزايا الثلاث الابتدائية يجب إضافة إمكانية تحقيق تمثيل هندسي ( قريب من الادراك الحقيقي)، مزود بالتظليل والشفافية والانعكاسات ، والتفاعلية.

في الماضي ، كما هومعروف ، كان يسمح باستخدام أداتين فقط في الإنشاءات الهندسية ، وهما المسطرة والفرجار. هذا يعني أنهلم يكن يسمح باستخدام، مثلاً ، المنحنى المكافئ (Parabola) أوأي محل هندسي (geometric Locus)، وإن كانت هناك بعض الاستثناءات كما في مضاعفة المكعب (Delian problem) أوفي تثليث الزاوية (Angle trisection). السبب يكمن في ان المسطرة والفرجار كانتا تعتبران الوسيلتين الوحيدتان الموثوق بهما من حيث الدقة.

ولكن ما مدى دقة الرسم المعمول بالمسطرة والفرجار،يا ترى؟ الدقة تعتمد على سمك الخط. تنظر ، مثلاً لنأخذ نقطة تقاطع P بين خطين r وs عموديين على بعضهما وسمك علامة جميع خط = عُشر المليمتر، من الواضح حتى النقطة P يمكن حتى تكون في أي مكان داخل المربع المشهجر بين r وs. هذا يعني حتى P يمكن ان تتطابق مع إحدى أطراف قطر المربع الذي طوله = 1.4 أعشار من المليمتر. الذي هومقياس عدم دقة الرسم.

وبالطبع ، هذا المثال ليس المؤشر الوحيد ، لأنه في واقع الأمر, الحالة أسوأ بكثير , لأنها نتيجة مجموعة من الأخطاء ، لكنه مفيد لفهم خلاف دقة الرسم التقليدي وذلك الناتج من جهاز الكمبيوتر. في الواقع رسم الحاسوب أيضاً ، له حدود في الدقة. هذه الحدود تنبع من حاجة المبرمجين إلى تطوير أرقام نهائية. في الواقع ، المبرمجين, يعينوا قيم تسامح بين نقطتين متطابقتان على الرغم من انهما منفصلتان، مثلاً ، التسامح يمكن حتىقد يكون ألف من المليمتر (واحد ميكرون), فنقطتين تعتبرا متطابقتان إذا كانت المسافة بينهما أقل ميكرون ومنفصلتان إذا المسافة أكثر من ميكرون. لنهجر المبرمجين يتعاملون مع هذه المشاكل الغير سهلة ، ولكن تظل الحقيقة حتى الرسم الناتج من برامج الكمبيوتر هومءة مرة اكثر دقة من الرسم التقليدي.

إذا اعتبرنا حقيقة حتى الكمبيوتر يطبق نفس الدقة في رسم الخطوط المستقيمة والدوائر ، مثل تلك لأي منحنى اخر ، يمكننا حتى نستنتج أنه يجوز، استخدام في الإنشاءات الهندسية الحالية ليس فقط الخط المستقيم والدائرة , بل أيضاً المخروطيات وغيرها من المنحنيات ثنائية وثلاثية الأبعاد ، إذا لزم الأمر. وعلاوة على ذلك ، إذ ذكرنا ما قلناه سابقاً, حتى الرسم ينفذ أيضاً في الفراغ ، يمكن استخدام, من بين الكيانات الهندسية المستخدمة في الإنشاء ، السطوح . مثلاً ، في الماضي استخدمت الدائرة بوصفها مكانا للنقط التي لها نفس البعد عن نقطة المركز. اليوم يمكن استعمال الكرة. في الإنشاءات المستوية ، دائرتين لهما مركزين في نقاط نهاية مستقيم AB ونصف قطر = نفس المستقيم , يتقاطعان في نقطتان لخط عمودي على AB . في الفراغ كرتان لهما مركزين في نقاط نهاية مستقيم AB ونصف قطر = نفس المستقيم , يتقاطعان في دائرة لمستوى عمودي على AB في منتصفه . انه مثال سهل ، إلا أنه يشير إلى إمكانية هذه الأداة. مثال أقل بساطة يمكن انقد يكون في أنشاء مستويين لهما خط مشهجر a ومتماسين كرة K. الحل التقليدي لهذه المشكلة يتمثل في إنشاء مستوى α يمر بمركز K وعمودي على a من خلال وسط الميدان ووضع عمودي على خط البيانات : المستوى α يبتر K بدائرة كبرى والخط a بنقطة P . الخطين المارين بالنقطة P ومتماسين K يحددان مع الخط a المستويين المتماسيين K.

الحل البديل اقترح من جان بيار نيكولاس هاشيت (Pierre Nicholas Hachette). ثم مرة أخرى من برونهيس , في جهدة لإعطاء عمومية للانشاءات الهندسة الوصفية ، وتتكون من هذا الإجراء : في تعيين نقطتين AB على a (الخط المشهجر بين المستويين) ، ومن جميع نقطة انشاء الكفاف الظاهر (il contorno apparente) للكرة K . الكفاف الظاهر لكل نقطة يتكون من دائرة صغرى, نقاط تقاطع الدائرتين مع الخط a يحددان المستويات المطلوبة. هذا الحل في اوائل التسعمائة يظهر غير عملي, ولكن اليوم فهو مناسب. لان انشاء الكفاف الظاهر هوأداء إسقاطي أساسي في البرمجيات الحاسوبية, التي مهمتها تكمن في تمثيل الكيانات الهندسية. هذا يعني حتى هذا الإنشاء لا يحل فقط معضلة التماس بالنسبة لكرة, بل أيضاً لأي سطح هندسي اخر (شكل 4).

مسألة أبولونيوس

بعد هذة المقدمة الطويلة ، اود حتى اقدم مثال عن كيفية العمل بالادوات الحاسوبية عندما تطبق على الهندسة الوصفية. اختيار مسألة أبولونيوس ، يعود لسببين الأساسية:- الأول يتعلق بالاهتمام الذي اثارتة هذه المشكلة على مدى قرون بالنسب لمحدودية الرسم. والثاني هونسبة لهذه القيود ، والتي يتم التغلب عليها نتيجة المزايا خاصة التي يتمتع فيها التمثيل الافتراضي ، والمذكورة أعلاه: الفراغية ، العمومية ،والدقة.

مشكلة أبولونيوس يمكن ان تكون مضروحة على المستوى اوفي الفراغ. في المستوى , اعطيت ثلاثة دوائر, بما في ذلك الحالات المتدهورة، أي يمكن ان تكون مختارة من بين النقاط والخطوط والدوائر ، ومطلوب انشاء دائرة تمس الثلاث كيانات المعطية . في الفراغ اعطيت أربعة كرات ، في ذلك الحالات المتدهورة، أي يمكن ان تكون مختارة من بين ، النقاط والمستويات والكرات ونريد انشاء الكرة المتماسة الأربعة كيانات المعطية.

تاريخ

مشكلة أبولونيوس الشهيرة ": اعطيت ثلاث دوائر ، وربما متدهورة ، ايجاد جميع الدوائر المتماسة الدوائر المعطية. الدوائر المتدهورة تعني تلك التي نصف قطرها صفر (نقطة) اولانهائي (الخط المستقيم)

في حالة الثلاث نقاط أوالثلاثة خطوط ، المشكلة اقترحت وحلت من قبل اقليدس (الكتاب الثالث من العناصر 1570). أبولونيوس اقترح المشكلة بشكل عام لتضم ايضاً الدوائر. أبولونيوس ، بالاضافة الى كتابة عن المخروطيات (conics) هناك الكثير من الخط الأخرى ، من بينها كتاب عن المماس (tangent)، ولكنة للأسف فقد، ويمكننا جزئيا إعادة محتوياتة من خلال خط بابو(Pappus).

صعوبة المشكلة جعلت الكثير من المحاولات تلوذ بالفشل, حتى القرن السادس عشر ، وعتقد الرياضيين ان أبولونيوس لم يحل المشكلة التي اعتبرها الكثيرون تحديا حقيقيا لقدراتهم.

الرياضيين العرب ، وخصوصا إبراهيم بن سنان (909-946) وابن الهيثم (965-1041) وجدوا حلا جبريا لهذة المسالة. في القرن السادس عشر جيركونة (Johannes Müller von Königsberg) حاول إيجاد حل لها عن طريق المقاطع المخروطية. في وقت لاحق بحوث هامة ، ضمت انشاءات بالمسطرة والفرجار, مثل عمل فييت (أبولونيوس جالوس ، باريس ( 1600 وعمل ب فيرمات (De contactibus sphaericis (1679 ), نيوتن (Philosophiae naturalis principia mathematica, London, 1687)) والكثير غيرهم من الرياضيين : ليونهارد أويلر ، سيميون دينيس بويسون ، فوس (N.Fuss) ، غاسبر مونج ،. جاك فيليب ماري بينيه (J.Binet), هاشيت (P.Hachette) ، غوتييه (L.Gaultier), بونسيليه (J.V.Poncelet), جوزيف دياز گرگون Gergonne , شتاينر (J.Steiner). مناقشة مثيرة للاهتمام في معالجة بعض الحالات وجدت في رسائل بعثها ديكارت في نوفمبر 1643 الى تلميذته المفضلة ، الأميرة اليزابيث ، ابنة الملك فريدريك بوهيميا. دراسات بشأن هذه القضية أثارت الكثير من الأبحاث والاكتشافات في فهم الهندسة ، سواء الوصفية والرياضية.

مسالة أبولونيوس في المستوى

في المستوى. هناكعشرة توافقيات للمعطيات الثلاثة: دائرة, خط ونقطة

التوافقيات___عدد الحلول

1. ثلاثة دوائر________8
2. دائرتين وخط________8
3. دائرتين ونقطة______4
4. دائرة وخطين________8
5. دائرة وخط ونقطة__4
6. دائرة ونقطتين______2
7. ثلاثة خطوط_________4
8. خطين ونقطة_________2
9. خط ونقطتين_________2
10. ثلاثة نقط__________1

مكان هندسي

بالإشارة إلى بحوث المهندس حسن العيسوي, بروفيسور هندسة وصفية في كلية الهندسة المعمارية "فالي جوليا" في جامعة لاسبينزا في روما يمكن ان نقول ان الحالة أكثر تعقيدا , من الحالات العشرة التي تجاوز ذكرها, هي عندما تكون معطية ثلاثة دوائر. في هذا البحث يمكن ملاحظة حتى المحل الهندسي للنقط التي لها نفس البعد بالنسبة لدائرتين هوبتر مكافئ الذي بؤرتيه تنطبقا مع مراكز الدائرتين .

إجراء لإنشاء البتر الزائد كمكان هندسي للنقط التي لها نفس البعد عن دائرتين

تبرير في الفراغ

إجراء لإنشاء البتر الناقص كمكان هندسي للنقط التي لها نفس البعد عن خط مستقيم ودائرة

تبرير في الفراغ

إجراء لإنشاء البتر المكافئ كمكان هندسي للنقط التي لها نفس البعد عن دائرتين

تبرير في الفراغ

مسالة أبولونيوس في الفراغ

لناخذ في الاعتبار أربعة كرات منفصلة ومتميزة , بحيث لا تكون مراكزهم على نفس المستوى (الشكل -) , ونقترح بايجاد الكرة اوالكرات التي تمس الكرات الأربعة المعطية. هذه المسالة هي الاحتمال الخامسة عشر للمشكلة أبولونيوس الموسعة في الفراغ. المسالة في المستوى, تكمن في بناء دائرة ماسة ثلاثة كيانات هندسية مختارة بين النقاط والخطوط والدوائر, ولها عشرة احتمالات مختلفة. المسالة في الفراغ , تكمن في بناء كرة ماسة ثلاثة كيانات هندسية مختارة بين النقاط والمستويات والكرات, ولها خمسة عشر مختلفة.

أسهل طريقة لإيجاد كرة ماسة أربعة أخرى هي تبدأ من اعتبار بسيط: الكرة (أوالكرات) التي تحل مشكلتنا لها مركز يبعد نفس المسافة عن أسطح الكرات الأربعة.. ولذلك نعتبر كرتين من بين المعطيات, ونسأل انفسنا ما المكان الهندسي للنقط المتساوي البعد عن هذه الكرتين؟ : ما هي موضع نقطة على مسافة واحدة من سطحها؟. للإجابة عن هذا السؤال ينبغي حتى بتر الكرتين بمستوى يمر بمركزاهما . وهن نحصل عل دائرتين, والمشكلة تصبح في العثور المكان الهندسي للنقط المتساوي البعد عن هذه دائرتين . الحل , في هذه الحالة, هوفي إنشاء البتر الزائد الذي بؤرتاه تنطبق مع مراكز الدائرتين والرؤوس تقع في منتصف المستقيمات الأربعة التي تحدها الدائرتين, والتي تنتمي للخط المار بمركزهما. المكان الهندسي للنقط المتساوية البعد عن الدائرتين, هومكون من اثنين من البتر الزائد . ماذا يعني هذا،يا ترى؟ ببساطة, يعني حتى دائرة يمكن ان تمس دائرتين منفصلتين بأربع طرق مختلفة وليس في طريقة واحدة (الشكل ) . إذا رمزنا الى الدائرتين بالأحرف AوB, الدائرة المشيدة ، يمكن ان تمس AوB وهجرهم خارجها, أوهجرهم ، أوحتى تضمن واحدة وتستبعد الأخرى اوالعكس. لذلك اذا كان لدينا دائرتين على نفس المستوى, هناك أربع أنواع لانهائية من الدوائر التي تمس كلاهما . وهذه هي نتيجة الابتكار التي هي خاصية أساسية للهندسة الوصفية.

تطبيق مسألة أبولونيوس في العمارة

لنفترض وجود أربعة كرات في الفراغ ، واعتبارها الفترة الأولى (metaprogetto) في عملية تصميم بناء في مسقط ما. بما في ذلك تحديد مراكز وأحجام تلك الكرات حسب المتطلبات وطبوغرافية المسقط. من هذا الاختيار , تنتج القيود الأولية للمشروع: تساوي بعدها عن الكرة الماسة لها, أي تساوي أنصاف الأقطار التي تمر بنقاط التماس. الآن, فرضا مسارا منطقي بترجمة القيود الى مقترحات أوسع نطاقا :الأماكن الهندسية للنقاط المتساوية البعد عن الكرات المعطية , هوما يعادل ، في رأيي ، الدراسة النظرية للطابع التوزيعي للمبنى المزمع تشييده. أخيرا، عدد الحلول (ستة عشر) ، كما رأينا ، تشبع جميع متطلبات المشروع.

أليست هذه هي طريقة مجردة لعمل العمارة ، أوالتصميم ، أوالميكانيكا؟. أليست هذه هي أفضل ممارسة للطالب, للمعماري, للمهندس ، للمصمم ، الذي يجهل المشاكل التقنية واللغوية المعقدة التي تجعل من الصعب الوصول الى وظيفة مهنية ناضجة؟.

استنتاج

في هذا السياق ، أود حتى أقول مرة أخرى ، ما دور التمثيل الافتراضي،يا ترى؟ من الممكن يمكنه استبدال الهندسة الوصفية،يا ترى؟ من طبيعة الحال لا ، لأن أدوات الرسم الجديدة بالرغم من فعاليتها، لا يمكنها حتى تنشئ أي شيء لوحدها. الذي يبني النتيجة ، هوالفكر ، الوحيد القادر على السيطرة على الفراغ. قدرة التفكير بالفراغ هي الجوهر الأصلي والحقيقي للمسالة. ولا يمكن حتى يتفهم المرء حتى يفكر في الفراغ ، وإتقان استخدام برامج النمذجة ، بطريقة منفصلة عن الهندسة. فمرحباً بأدوات وأساليب التمثيل الافتراضي ، ولكن كدعم حديث لمنطق الهندسة الوصفي.

الآن ، المقارنة بين البحث الهندسي والتصميم يتعزز : لقاءة هذه القضية (مثل أي قضية مماثلة) هوحتى نتخيل الأشكال والإنشاءات التي يمكن حتى تؤدي إلى الحل ، وهذا هوالتصميم. وتعني أيضا, التحقق إذا وكيف الأشكال والإنشاءات التي تصورنها قادرة على إنتاج الحلول المرجوة ، وهذه هي التجربة. وتعني أيضا , أنة خلال الطريق ، التخمين والتحقق من روابط لم تكن في الحسبان أفي الفكرة البدائية ، وهذا هوالاكتشاف أوالابتكار . فما هوالتمثيل الافتراضي بالنسبة للهندسة الوصفية؟, أنها أداة جديدة ، تنحدر من أسلوبين : التمثيل الرياضي (بالأغلبية مكونة من معادلات NURBS) والتمثيل العددي أوالمضلع (poligonale) ولكن مضمون الهندسة الوصفية الأكثر أصالة ، هي الإنشاءات التي لا تزال نفسها، والتي يمكن تحديثها وجعلها أكثر عموما ، وبذلك أكثر فعالية ، بفضل دقة الأدوات الجديدة.

قوة برامج النمذجة تسمح بتحقيق الإنشاءات الهندسية ثلاثية الأبعاد بطريقة سريعة ودقيقة. ولكنه حان الوقت للتصدي للمشاكل التي طالما العالم الأكاديمي تجاهل لعدم القدرة على حل التضارب بين آلية الحاسوب وثقافة التصميم الهندسي.

مراجع وهوامش