الهندسة الإقليدية تدرس الأشكال وتخضع لمجموعة من المسلمات وضعها إقليدس في كتابه العناصر وهي الهندسة التي تدرس في المدارس والثانويات.

الهندسة الإقليدية لا تستعمل سوى المسطرة والبركار لإنشاء الأشكال وهذا أدى إلى ظهور مسائل هندسية لم يتم حلها إلا في القرن 19 وهذه المسائل هي:

1. تقسيم زاوية إلى ثلاثة أقسام متساوية
2. إنشاء مكعب حجمه ضعف حجم مكعب معلوم
3. إنشاء مربع مساحته تساوي مساحة دائرة معينة

وهذه المسائل يستحيل حلها باستعمال المسطرة والفرجار فقط.

وهوفرع من الرياضيات يهتم بدراسة الأشكال الهندسية التي تقع جميع نقاطها في مستوٍ واحد. ومع حتى الحدثات: «نقطة» و«مستوي» هي مفاهيم أولية غير مُعرَّفة، فإنه يمكن إعطاء تفسير عملي تطبيقي لها.

العناصر الهندسية

عند النظر إلى الأجسام المحيطة بنا لا يرى منها سوى وجهها؛ إذا هذا الوجه هوما يسمى سطحها. فالسطح ليس له ثخن وإنما هومجرد وجه ظاهر. ولما كانت الورقة التي يُخط عليها رقيقة جداً، ويكاد لا يُرى لها ثخن فهي تمثل بصورة تقريبية سطحاً.

ولما كانت الأجسام الصلبة متميزة بأن لها طولاً وعرضاً وارتفاعاً لذلك ينطق إذا للأجسام الصلبة ثلاثة أبعاد. أما السطح فليس له ازدياد (أوثخن)، وإنما له طول وعرض فقط، لذلك ينطق إذا له بعدين.

وليس للخط سوى طول فهوذوبعد واحد. وقد يحدث الخط مستقيماً أومنكسراً أومنحنياً. أما المستقيم فلا يُعرَّف، ولكنه يمثل عادة بخيط مشدود أوبحرف المسطرة. ويمتد من الجهتين من دون وجود نقط ينتهي عندها.

وكذلك النقطة لا تُعرَّف، وإنما تمثل بالأثر الذي يخلفه رأس قلم على سطح ورقة بيضاء أوموضع تقاطع خطين. جميع الأشكال الهندسية هي مجموعات من النقط.

ولتسمية المستقيم تتخذ منه نقطتان ب، جـ ويقرأ المستقيم ب جـ.

نصف المستقيم هوجزء من مستقيم محدود بنقطة ب ويمتد من جهة واحدة.

والبترة المستقيمة هي جزء من مستقيم محدود بنقطتين.

والخط المنكسر هوخط مكون من عدة بتر مستقيمة متتالية بحيث ترتبط نهاية جميع بترة ببداية التي تليها.

والخط المنحني هوخط غير مستقيم في أي جزء منه.

النقطة

النقطة لا حاجة لتعريفها بواسطة مصطلحات وإنما يمكن تعريفها بواسطة بديهية معينة، كما يمكن تعريفها على أنها جميع ما ليس له جزء أوجميع مايمكن اهمال ابعاده الثلاثة ويعبر عنها هندسيا بالأثر الذي يهجره القلم عند الضغط عليه بدون تحريكه.

المستقيم

خط يمكن رسمه بالمسطرة وأصغر مسافة بين نقطتين هومسار مستقيم. ويتكون من ما لانهاية من النقاط

البترة

خط مستقيم له نقطة بداية وله نقطة نهاية.

نصف مستقيم

يطلق عليه أيضا اسم "الشعاع" وهو جزء من مستقيم محدد بنقطة تسمى أصل نصف المستقيم.

الدائرة

وهي مجموعة نقاط تبعد نفس البعد عن نقطة معينة في نفس المستوي, وهذه النقطة المعينة تدعى مركز الدائرة, والبعد الثابت يدعى نصف قطر الدائرة.

بفرض م نقطة في المستوي ور عدداً حقيقياً. تسمى مجموعة نقط المستوي التي تبعد عن م مسافة ر دائرة، وتسمى م مركزها ور نصف قطرها.

وضع نقطة بالنسبة لدائرة: تكون النقطة على الدائرة إذا كان بعدها عن مركزها يساوي نصف القطر، وتكون خارج الدائرة إذا كان بعدها عن المركز أكبر من نصف القطر، وتكون داخل الدائرة إذا كان بعدها أصغر من نصف القطر. فالدائرة منحنٍ مغلق.

وضع مستقيم بالنسبة لدائرة: إذا كان مستقيم س ع يبعد عن مركز الدائرة بعداً أكبر من نصف قطرها(الشكل 4) تكون جميع نقطه خارج الدائرة. ويكون مماساً للدائرة إذا كان بعده عن مركزها يساوي نصف قطرها. وفي هذه الحال تكون نقطة واحدة (ب) من المستقيم واقعة على الدائرة هي مسقط المركز على المستقيم، وبقية نقط المستقيم كلها خارج الدائرة. ويكون المستقيم س ع قاطعاً للدائرة في نقطتين (ب، جـ) إذا كان بعده عن مركزها م أصغر من نصف قطرها. ولا يمكن حتى يشهجر مستقيم مع الدائرة بأكثر من نقطتين فالدائرة منحنٍ مغلق محدب، وتسمى البترة المستقية ب جـ وتراً في الدائرة.

إذا قُسم محيط دائرة م إلى أقسام متساوية بالنقط ب، جـ، د، هـ، وووصل بينها على التوالي يُحصل على مضلع منتظم محدب أضلاعه متساوية وزواياه متساوية، وإذا لم يُوصل بينها على التوالي يحصل على مضلع منتظم مقعر، يسمى مضلعاً نجمياً .

محيط الدائرة

لما كانت جميع الدوائر متشابهة كانت النسبة بين محيطي دائرتين ح1 وح2 تساوي النسبة بين قطريهما 2ر1 ، 2ر 2: ح1/ح2= 2ر1/2ر2؛ إذاً ح1/2ر1 = ح2/2ر2.

فإذا أخذت أي دائرة أخرى وجدت النسبة نفسها التي يُرمز لها بالحرف اليوناني π. وقد عثر حتى هذه النسبة الثابتة تساوي تقريباً 3.1416 فيمكن حتى يخط بوجه عام ح/2ر = π فمحيط الدائرة ح = 2 π ر.

مساحة الدائرة

لما كانت جميع الدوائر متشابهة كانت مساحاتها متناسبة مع مربعات أنصاف أقطارها. فإذا كانت سط مساحة دائرة ما ور نصف قطرها تكون النسبة سط/ر2 ثابتة، وقد عثر أنها تساوي π؛ إذاً سط = π ر2.

المستوي والهندسة المستوية

ينطق عن سطح إنه مستوٍ إذا انطبق حرف المسطرة المستقيم عليه أينما كان. والهندسة المستوية هي دراسة الأشكال المستوية أي الواقعة في مستوٍ واحد.

ويقاس طول بترة مستقيمة أومنحنية بمقدار ما تحويه من واحدة الطول.

الزاوية

هي الشكل المكون من نصفي مستقيمين محددين بنقطة واحدة تدعى رأس الزاوية، ويُسمى نصفا المستقيمين ضلعيها.

ولتسمية زاوية تتخذ نقطة على جميع ضلع، مثل ب وجـ في الشكل. وتُقرأ ب م جـ الذي يوضع أحياناً على يمينه الرمز < للدلالة على أنه زاوية، وكل من م ب وم جـ ضلع لها. أويكتفى بذكر الرأس فيخط < م.

تقاس الزاوية بمقدار ما يدوره أحد ضلعيها لينطبق على الآخر نسبة من الدورة الكاملة. ففي الشكل 1 الزاوية د م ب هي ربع دورة (أو90 ْ) وينطق إنها قائمة أوإذا م د وم ب متعامدان. أما الزاوية ب م جـ فهي أكبر من قائمة، أوينطق منفرجة. وهناك زاوية أخرى ب م جـ يمكن حتى يدورها م ب لينطبق على م جـ ولكن في اتجاه معاكس للأول وقد أشير إليها بخط متبتر، وقياسها أكبر من نصف دورة وتسمى منعكسة.

مبادئ الهندسة المستوية

انطلق إقليدس في دراسة الهندسة المستوية من فرضيات رأى أنها واضحة حدساً وبالتجربة، سُميت مصادرات (فرضيات) إقليدس. مثلاً من نقطتين يمر مستقيم واحد فقط.

وينجم عن ذلك حتى المستقيمين في مستوٍ واحد إما حتى يشهجرا بنقطتين فيكونا منطبقين، وإما حتى يشهجرا بنقطة واحدة وينطق إنهما متقاطعان، وإما ألا يشهجرا بأي نقطة وينطق إنهما متوازيان.

ورأى إقليدس أنه في المستوي لا يمكن حتى يمر من نقطة خارج مستقيم في هذا المستوي سوى مستقيم واحد يوازي هذا المستقيم. وينتج من ذلك أنه في المستوي إذا بتر مستقيم أحد مستقيمين متوازيين فإنه يبتر الآخر.

المضلعات

يمكن حتى يحدد في المستوي مناطق يحد كلاً منها خط منكسر مغلق يسمى مضلعاً. وتسمى جميع بترة من هذا الخط المنكسر ضلعاً. وينطق إذا المضلع ثلاثي (أومثلث) إذا كان له ثلاث أضلاع ، وينطق إنه رباعي إذا كان له أربع أضلاع، إلى غير ذلك. وينطق إذا المضلع محدب إذا لم يبتره مستقيم ما بأكثر من نقطتين، أما إذا بتره بأكثر فينطق إنه مقعر. وهذا الأخير تكون إحدى زواياه منعكسة .

المثلث

هوأبسط المضلعات، ويليه المضلع الرباعي. ولهذا الأخير حالات خاصة وهي متوازي الأضلاع (الذيقد يكون جميع ضلعين متقابلين فيه متوازيين)، ويكون مستطيلاً إذا كانت زواياه قائمة، ويكون معيّناً إذا تساوت أضلاعه ، ويكون مربعاً إذا كانت أضلاعه متساوية وزواياه قائمة..

ومساحة جميع من الرباعيات الخاصة الأخيرة تساوي جداء القاعدة في الارتفاع. ولما كان المثلث نصف متوازي أضلاع كانت مساحته هي نصف جداء القاعدة في الارتفاع.

التشابه والتطابق

ينطق عن مضلعين إنهما متشابهان إذا كانت زوايا الأول تساوي زوايا الثاني وأضلاع الأول متناسبة مع أضلاع الثاني. وتسمى النسبة بين ضلع من الأول إلى مثيلتها من الثاني نسبة التشابه. وإذا كانت نسبة التشابه تساوي 1 ينطق إنهما طبوقان.

تشابه مثلثين:

1ـ بما حتى مجموع زوايا مثلث ما قائمتين يكفي حتى تكون زاويتان من الأول طبوقتين على زاويتين من الثاني لكي يتشابه المثلثان. وإذا كانت ضلع من الأول طبوقةً على مثيلتها من الثاني (أي نسبة التشابه 1) قد يكون المثلثان طبوقين (الشكل 3).

2ـ كما يتشابه المثلثان إذا تناسبت ضلعان من الأول مع ضلعين من الثاني وكانت الزاوية المحصورة بينهما في الأول طبوقة على مثيلتها من الثاني.

3ـ أويتشابه المثلثان إذا كانت أضلاع الأول متناسبة مع مثيلاتها من الثاني.

ملاحظة: إذا النسبة بين مساحتي مضلعين متشابهين تساوي مربع نسبة التشابه. فالنسبة بين مساحتي المثلثين هي 4/9.

مسلمات إقليدس

1. من نقطتين يمر مستقيم وحيد
2. المستقيم لا نهاية له أي يمكن تمديد المستقيم من الجهتين إلى ما لانهاية
3. من نقطة معينة ومن مجال أوبترة ما هناك قوس دائرة وحيد
4. كل الزوايا المستقيمية متساوية فيما بينها
5. لا يمر من نقطة سوى مستقيم وحيد موازي لمستقيم معلوم

مسلمة المتوازي

إنشاءات هندسية

بواسطة المسطرة والبركار يمكن إنشاء ما يلي:

1. مستقيمين متوازيين
2. مستقيمين متعامدين
3. منصف زاوية
4. واسط بترة
5. دائرة
6. بترة طولها جداء طول بترتين
7. بترة طولها خارج قسمة طول بترتين
8. بترة طولها جذر مربع طول بترة معينة
9. زاويتان متساويتان.

برامج لدراسة الهندسة

هناك الكثير من البرمجيات المتطورة التي تساهم في دراسة الهندسة الإقليدية المستوية والفراغية وعلى رأسها برنامج السبورة الذكية.

طرق الاثبات

نظام القياس والحساب

تدوين والمصطلحات

تسمية من النقاط والارقام

التكميلية والزوايا التكميلية

الإصدارات الحديثة من التدوين الرقمي إقليدس

معرض الصور

• The bridge of asses theorem states that A=B and C=D.

• The sum of angles A, B, and C is equal to 180 degrees.

• The Pythagorean theorem: The sum of the areas of the two squares on the legs (a and b) equals the area of the square on the hypotenuse (c).

• Thales' theorem: if AC is a diameter, then the angle at B is a right angle.

• A surveyor uses a theodolite

• Sphere packing applies to a stack of oranges.

• A parabolic mirror brings parallel rays of light to a focus.

• Geometry is used in art and architecture.

• The water tower consists of a cone, a cylinder, and a hemisphere. Its volume can be calculated using solid geometry.

• Geometry can be used to design origami.

The Bridge of Asses

مثلثات التطابق

مجموع زوايا المثلث

نظرية فيثاغورس =

نظرية تاليس

توسيع نطاق المساحة والحجم

تطبيقات

Later work

أرشميدس وأبولونيوس

ديكارت في القرن 17

في القرن 18

النسبية العامة في القرن 20

Treatment of infinity

Infinite objects

العمليات اللانهائية

أساس منطقي

This article or section is in need of attention from an expert on the subject. WikiProject Mathematics or the Mathematics Portal may be able to help recruit one. If a more appropriate WikiProject or portal exists, please adjust this template accordingly.(December 2010)

المنطق الكلاسيكي

Modern standards of rigor

هجريبات بديهية

Geometry is the science of correct reasoning on incorrect figures.

—George Polyá, How to Solve It, p. 208

Constructive approaches and pedagogy

انظر أيضاً

• Analytic geometry
• Type theory
• Interactive geometry software
• Non-Euclidean geometry
• Ordered geometry
• Incidence geometry
• Metric geometry
• Birkhoff's axioms
• Hilbert's axioms
• Parallel postulate
• Schopenhauer's criticism of the proofs of the Parallel Postulate
• Cartesian coordinate system

• هندسة لاإقليدية
• إنشاءات الفرجار والمسطرة
• مسلمة التوازي
• هندسة وصفية

النظريات الكلاسيكية

• Ceva's theorem
• Heron's formula
• Nine-point circle
• Pythagorean theorem
• Menelaus' theorem
• Angle bisector theorem
• Butterfly theorem

هوامش

المصادر

• [1]

المراجع

• Ball, W.W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] ed.). New York: Dover Publications. pp. 50–62. ISBN .
• Coxeter, H.S.M. (1961). Introduction to Geometry. New York: Wiley.
• Euclid, Elements, ca. 300 BCE
• Eves, Howard (1963). A Survey of Geometry. Allyn and Bacon.
• Franzén, Torkel (2005). Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse. AK Peters. ISBN .
• Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (3 vols.)|format= requires |url= (help) (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). New York: Dover Publications. ISBN  Check |isbn= value: invalid character (help). Heath's authoritative translation of Euclid's Elements plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
• Hofstadter, Douglas R. (1979). Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. New York: Basic Books.
• Misner, Thorne, and Wheeler (1973). Gravitation. W.H. Freeman.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Mlodinow (2001). Euclid's Window. The Free Press.
• Nagel, E. and Newman, J.R. (1958). Gödel's Proof. New York University Press.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Alfred Tarski (1951) A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. Univ. of California Press.

وصلات خارجية

• (a treatment using analytic geometry; PDF format, GFDL licensed)