فلسفة الرياضيات

فلسفة الرياضيات هي إحدى فروع الفلسفة التي تحاول الإجابة عن أسئلة تتعلق بطبيعة الكائنات الرياضية وتتسائل عن كيفية تجريد الكائنات الرياضية من الطبيعة ثم استخدامها في فهم الطبيعة ذاتها، إلى أي درجة يمكننا القول حتى العبارات الرياضية سليمة،يا ترى؟ وهل للكائنات الرياضية وجود حقيقي،يا ترى؟ أم هي مجرد أدوات تخيلية تجريدية يستخدمها الإنسان لتسهيل معالجته لظواهر الطبيعة؟

الواقعية الرياضية أوالإفلاطونية

تعتبر الواقعية الرياضية الكائنات الرياضية ذات وجود مستقل عن العقل الإنساني. لذلك فإن مهمة الإنسان هواستكساف هذا العالم الرياضي وليس اختراعه، كما إذا أي كائن ذكي مفترض في هذا الكون قادر على استكشاف هذا العالم الرياضي وسبر أغواره. يطلق على هذه المدرسة اسم الإفلاطونية باعتبارها تماثل وجهة نظر أفلاطون من حيث إيمانه بعالم المثل والأفكار، الذي يمثل لديه العالم الكلي اللامتغير، وما العالم اليومي الذي نعيش فيه إلا مقاربات غير مكتملة لهذا العالم المثالي.

من المحتمل حتى جذور فكرة أفلاطون تأتي من عند فيثاغورس الذي كان يؤمن هووتلاميذه من الفيثاغورسيين حتى العالم مكون حرفيا من الأعداد. وعلى ما يظهر فإن هذه النظرة ذات جذور أعمق في التاريخ لا يمكن تحديد بدايتها .

يعتبر الكثير من فهماء الرياضيات واقعيين رياضيين ، فهم يعتبرون أنفسهم مكتشفين يتجولون لرؤية روائع هذا العالم الرياضي وليس مخترعين لها . أمثلة هؤلاء كثر : مثل باول ايردوس وكورت غودل والفيزيائي الرياضي روجر بنروز . السبب النفسي وراء هذا الإعتقاد أنه من الصعب القبول حتى شخصا ما يشغل نفسه لفترة طويلة من الزمن ما لم يكن مقتنعا عملا بوجوده . يؤمن غودل بنوع من الواقع الرياضي الموضوعي يمكن إدراكه بطريقة مماثلة لإدراك الحواس . بعض المبادئ يمكن ان تعتبر سليمة مباشرة لكن بعض الحدسيات conjecture مثل فرضية الإستمرار continuum hypothesis لا يمكن البت فيها استنادا لهذه المبادئ . لذلك يقترح غودل منهجية شبه تجريبية quasi-empirical methodology يمكن حتى تؤمن تأكيدا كافيا لإفتراض هذه الحدسية conjecture .

المشكلة الأساسية في وجهة النظر لاواقعية للرياضيات: هي أين وكيف من الممكن أن تتواجد هذه الكائنات الرياضية،يا ترى؟ هل هي في عالم تام الانفصال عن عالمنا تسيطر عليه الكائنات الرياضية،يا ترى؟ كيف من الممكن أن لنا حتى نتواصل مع ذلك العالم ونستكشف حقائقه،يا ترى؟ يقدم كلا من أفلاطون قديما وغودل حديثا إجابات لهذه الأسئلة لكن هذه الإجابات لا تبدومقنعة للكثيرين.

الشكلية

تقوم المدرسة الشكلية على فكرة أنه من الممكن التفكير بالعبارات الرياضية على أنها نتائج لقواعد معالجة المقولات الأولية. فمثلا، الهندسة الإقليدية تعتبر مؤلفة من مقولات تدعى البدهيات (axioms). بالإضافة إلى بعض قواعد الدلالة التي تسمح باستنباط مقولات جديدة من المقولات الأولى المعطاة. وبما أنك قادر على البرهنة على مبرهنة فيثاغورس وحدك، فهذا يعني أنك قادر عملا على إنشاء المقولة التي تمثل هذه المبرهنة.

وفقا لبعض مذاهب الشكلية، فإن مسألة الموضوع في الرياضيات هي حرفيا الرموز المكتوبة ذاتها. وعندها تصبح القضية لعبا بهذه الرموز ولا يهم ما هي نوع اللعبة فجميع الألعاب متكافئة ويمكنك حتى تلعب أي واحدة تختار، لكن هذه الرؤية لا تعطي حلولا للأسئلة الجوهرية: ما هي هذه الرموز الرياضية،يا ترى؟ هل توجد حقا في عالم تخيلي غير متغير،يا ترى؟ ولماذا هي مفيدة في شرح العالم الواقعي،يا ترى؟ هذه النظرة تحول الرياضيات إلى مجرد فعالية بشرية متفوقة لعبتها الرموز والأرقام لكنها لا تقدم حلولا لذلك لم تلق انتشارا كبيرا.

تقول مدرسة ثانية من الشكلية بالاستنتاجية (deductivism)، فمبرهنة فيثاغورس في هذه الحالة لا تعود حقيقة مطلقة إنما حقيقة نسبية: إذا نسبت معنى وحقيقة للمقولات الرياضية بحيث تصبح قواعد اللعبة سليمة، عندئذ عليك قبول المبرهنة أوحتى التفسير الذي تعطيه للمبرهنة يجب حتىقد يكون تعبير سليمة. (أي حتى صحة العبارات الرياضية مرتبطة بصحة البدهيات الأساسية بشرط اعتماد قواعد "لعبة" تحفظ هذه الصحة).