مبرهنة أويلر
في نظرية الأعداد، مبرهنة أويلر لصاحبها ليونهارد أويلر هي كما يلي :
- إذا كان n عدد طبيعي وa أولي مع n، إذن
- حيث
هذه المبرهنة هي توسيع لمبرهنة فيرما الصغرى.
البرهان
1. يمكن برهنة مبرهنة اويلر باستخدام مفاهيم من نظرية المجموعات:
لوكان a هوأي number coprime to n حيث a is in one of these residue classes, and its powers a, a2, ..., ak ≡ 1 (mod n) are a subgroup. Lagrange's theorem says k must divide φ(n), i.e. there is an integer M such that kM = φ(n). ولكن حينئذ،
2. كما يوجد أيضاً برهان مباشر: Let R = {x1, x2, ..., xφ(n) be a reduced residue system (mod n) وافرض حتى a هوأي integer coprime to n.
انظر أيضاً
- دالة كارمايكل
- معيار اويلر
- مبرهنة فيرما الصغرى
- مبرهنة ولسون
الهامش
- ^ Ireland & Rosen, corr. 1 to prop 3.3.2
- ^ Hardy & Wright, thm. 72
- ^ Landau, thm. 75
وصلات خارجية
- Eric W. Weisstein, Euler's Totient Theorem at MathWorld.
- Euler's Theorem at PlanetMath
