مشكلة أپولونيوس

الشكل 1: حل (باللون الوردي) لمشكلة أپولونيوس. الدوائر المعطاة تظهر باللون الأسود.

الشكل 2: أربع أزواج مكملة من الحلول لمشكلة أپولونيوس؛ الدوائر المعطاة تظهر باللون الأسود.

في الهندسة المستوية الإقليدية، مشكلة أپولونيوس Apollonius's problem هي كيف من الممكن أن تنشئ دوائر مماسة ثلاث دوائر معطاة في مستوى (الشكل 1). أپولونيوس من پرگا (ح. 262 ق.م. – ح. 190 ق.م.) طرح وحل هذه المسألة الشهيرة في كتابه Ἐπαφαί (Epaphaí، "تماسات Tangencies")؛ هذا العمل قد فُقِد، إلا حتى تقريراً من القرن الرابع بنتائجه خطه پاپوس من الإسكندرية قد بقي. فثلاث دوائر معطاةقد يكون لها عموماً ثمان دوائر مختلفة تماسهم (الشكل 2) وكل دائرة من دوائر الحل تحيط أوتستبعد الثلاث دوائر المعطاة بشكل مختلف: ففي جميع حل، فإن فئة جزئية مختلفة من الدوائر الثلاث تتم احاطتها (ومتممها مستبعَد) ويوجدثمانية فئات جزئية من فئة أصليتها هي 3، إذ حتى 8 = 2³.

في القرن 16، أدريان ڤان رومن حل المسألة باستخدام قطوع زائدة متقاطعة، إلا حتى هذا الحل لا يستخدم فقط إنشاءات مسطرة وفرجار. وقد عثر فرانسوا ڤييت مثل ذلك الحل باستغلال حالات تحده: لوحتى أي من الدوائر الثلاث المعطاة يمكن انكماشها إلى نصف قطر صفر (نقطة) أوحتى تتمدد إلى نصف قطر لانهائي (خط). مقاربة ڤييت، التي تستخدم حالات محدِدة أبسط لحل الحالات الأكثر تعقيداً، تعتبر اعادة إنشاء معقولة لطريقة أپولونيوس. طريقة ڤان رومن بسّطها اسحق نيوتن، الذي بيّن حتى معضلة أپولونيوس تماثل العثور على مسقط من فروق مسافاته من ثلاث نقاط معروفة. وهذه المسألة لها تطبيقات واسعة في الملاحة ونظم التموضع مثل LORAN.

تاريخ

مشكلة أبولونيوس الشهيرة ": أعطيت ثلاث دوائر ، من الممكن متدهورة ، يُطلب ايجاد جميع الدوائر الماسة الدوائر المعطية. الدوائر المتدهورة تعني تلك التي نصف قطرها صفر (نقطة) اولانهائي (خط المستقيم).

أعطيت ثلاث دوائر مختلفة، يراد انشاء (بواسطة الرسم الرقمي) ثماني دوائر ماسة للدوائر المعطية. الاجراء الذي اعتمد يكمن في تحديد المحل الهندسي لجميع مراكز الدوائرالماسة جميع زوج من الدوائر المعطية. جميع زوج من الدوائر المعطية لة بترين زائدين بخاصية ذلك المحل الهندسي. وبما ان الدوائر المعطية ثلاثة ، فإن العدد الإجمالي للبتر الزائدةقد يكون ستة. النقاط المشهجرة بين فروع جميع ثلاثة بتر زائدة، تكون مراكز الدوائر الثماني المطلوبة.

في حالة الثلاث نقاط أوالثلاثة خطوط ، المشكلة اقترحت وحلت من قبل اقليدس (الكتاب الثالث من العناصر 1570). أبولونيوس اقترح المشكلة بشكل عام لتضم ايضاً الدوائر. أبولونيوس ، بالاضافة الى كتابة عن المخروطيات (conics) هناك الكثير من الخط الأخرى ، من بينها كتاب عن المماس (tangent)، ولكنة للأسف فقد، ويمكننا جزئيا إعادة محتوياتة من خلال خط بابو(Pappus).

صعوبة المشكلة جعلت الكثير من المحاولات تلوذ بالفشل, حتى القرن السادس عشر ، وعتقد الرياضيين ان أبولونيوس لم يحل المشكلة التي اعتبرها الكثيرون تحديا حقيقيا لقدراتهم.

الرياضيين العرب ، وخصوصا إبراهيم بن سنان (909-946) وابن الهيثم (965-1041) وجدوا حلا جبريا لهذة المسالة. في القرن السادس عشر جيركونة (Johannes Müller von Königsberg) حاول إيجاد حل لها عن طريق المقاطع المخروطية. في وقت لاحق بحوث هامة ، ضمت انشاءات بالمسطرة والفرجار, مثل عمل فييت (أبولونيوس جالوس ، باريس ( 1600 وعمل ب فيرمات (De contactibus sphaericis (1679 ), نيوتن (Philosophiae naturalis principia mathematica, London, 1687)) والكثير غيرهم من الرياضيين : ليونهارد أويلر ، سيميون دينيس بويسون ، فوس (N.Fuss) ، غاسبر مونج ،. جاك فيليب ماري بينيه (J.Binet), هاشيت (P.Hachette) ، غوتييه (L.Gaultier),بونسيليه (J.V.Poncelet), جوزيف دياز Gergonne , شتاينر (J.Steiner). مناقشة مثيرة للاهتمام في معالجة بعض الحالات وجدت في رسائل بعثها ديكارت في نوفمبر 1643 الى تلميذته المفضلة ، الأميرة اليزابيث ، ابنة الملك فريدريك بوهيميا. دراسات بشأن هذه القضية أثارت الكثير من الأبحاث والاكتشافات في فهم الهندسة ، سواء الوصفية والرياضية.

حالات خاصة

عشرة توافيق من النقاط والدوائر والخطوط

في المستوى. هناكعشرة توافيق للمعطيات الثلاثة: دائرة, خط ونقطة

الجدول 1: عشر أنواع من معضلة أپولونيوس
دليل	Code	العناصر المعطاة	عدد الحلول (عموماً)
1	PPP	three points	1
2	LPP	one line and two points	2
3	LLP	two lines and a point	2
4	CPP	one circle and two points	2
5	LLL	three lines	4
6	CLP	one circle, one line, and a point	4
7	CCP	two circles and a point	4
8	CLL	one circle and two lines	8
9	CCL	two circles and a line	8
10	CCC	three circles (the classic problem)	8

تعميمات

مشكلة أپولونيوس يمكن مدها لإنشاء جميع الدوائر التي تتقاطع مع ثلاث دوائر معطاة بزاوية محدَدة θ، أوعلى ثلاث زوايا تقاطع محددة θ₁, θ₂ , θ₃؛ معضلة أپولونيوس الاعتيادية تمثل حالة خاصة تكون فيها زاوية التقاطع هي صفر لكل الدوائر الثلاث المعطاة. وثمة تعميم آخر هوالقرين dual التمديد الأول، أي لإنشاء دوائر ذات ثلاث مسافات تماسية محددة من الثلاث دوائر المعطاة.

الشكل 13: غطاء أپولوني تماثلي، يسمى أيضاً حشوة لايبنتس، على اسم مخترعها گوتفريد لايبنتس.

مسألة أپولونيوس يمكن مدها من المستوى إلى الكرة وسطوح الدرجة الثانية الأخرى. فللكرة، تكون المسألة هي إنشاء جميع الدوائر (حدود spherical caps) المماسة للدوائر الثلاث المعطاة على الكرة. هذه المسألة الكرية يمكن التعبير عنها بالمسألة المستوية المناظرة باستخدام اسقاط مجسم. وبمجرد التوصل للحلول المستوية، فإن الحلول المناظرة للمسألة الكرّية يمكن تحديدها بقلب الاسقاط المجسم. وحتى للمزيد من التعميم، بإمكان المرء حتى يعتبر مسألة المنحنيات الماسة الأربع التي تنتج عن تقاطع سطح من الدرجة الثانية عشوائي وأربع مستويات، وهي معضلة كان أول من اعتبرها شارل دوپان.

الغطاء الأپولوني وصفه گوتفريد لايبنتس لأول مرة في القرن 17، وكان السابق المنحني لمثلث سيرپنسكي الذي اُكتُشِف في القرن العشرين. الغطاء الأپولوني له أيضاً صلات عميقة بحقول أخرى في الرياضيات؛ عملى سبيل المثال، فإنه فئة نهاية المجموعات الكلاينية.

انظر أيضاً

نقطة أپولونيوس

الهامش

^ خطأ استشهاد: وسم <ref> غير سليم؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة steiner_1826
^ خطأ استشهاد: وسم <ref> غير سليم؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة zlobec_2001
^ خطأ استشهاد: وسم <ref> غير سليم؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة gergonne_1814
^ Carnot L (1803). Géométrie de position. Paris: Unknown publisher. pp. 415, §356.
^ Vannson (1855). "Contact des cercles sur la sphère, par la geométrie". Nouvelles Annales de Mathématiques. XIV: 55–71. (بالفرنسية)
^ خطأ استشهاد: وسم <ref> غير سليم؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة altshiller-court_1961
^ Mandelbrot B (1983). The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman. p. 170. ISBN .
Aste T, Weaire D (2008). In Pursuit of Perfect Packing (2nd ed.). New York: Taylor and Francis. pp. 131–138. ISBN .
^ Mumford D, Series C, Wright D (2002). Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 196–223. ISBN .CS1 maint: multiple names: authors list (link)

وصلات خارجية

"Ask Dr. Math solution". Mathforum. Retrieved 2008-05-05.
Eric W. Weisstein, Apollonius' problem at MathWorld.
"Apollonius' Problem". Cut The Knot. Retrieved 2008-05-05.
Kunkel, Paul. "Tangent Circles". Whistler Alley. Retrieved 2008-05-05.
Austin, David (2006). "When kissing involves trigonometry". Feature Column at the American Mathematical Society website. Retrieved 2008-05-05. Unknown parameter |month= ignored (help)
"Solution of Apollonious Circles". Mathschool. Retrieved 2011-01-01.