تحويل (دالة)

في فهم الرياضيات، التحويل بالإنگليزية: Transformation هي دالة رياضية من مجموعة X إلى نفسها. على الغالب،قد يكون للمجموعة X هيكلية جبرية أوهندسية أخرى عندها، يصبح تعريف التحويل بالدالة التي تحول X إلى نفسها مع الاحتفاظ بهيكليتها.

من الأمثلة نورد: التحويل الخطي، التحويل الأفيني مثل الدوران، الانعكاس والانزلاق. ويتم تطبيقهم في فضاء إقليدي الثائي والثلاثي الأبعاد. ويمكن حتى تؤدى العمليات باستخدام الجبر الخطي وتفسر باستعمال المصفوفات.

الانزلاق

الانزلاق (Translation) هوتحويل أفيني في الفضاء إقليدي بحيث يتم نقل جميع نقطة فيه بمسافة محددة وبنفس الاتجاه. ويمكن بوصيفها باضافة المتجه (vector) ثابت لكل نقطة أوبتحريك مركز الإحداثيات.

وبمعنى آخر، إذا كانت v هي موجه ثابت، فان الانزلاق Tv يصبح: Tv(p) = p + v.

الانعكاس

الانعكاس (Reflection أوReflexion) في الرياضيات هي دالة التي تحول شكل ما إلى صورة مرآته المعكوسة. مثلا، فإن انعكاس شكل الحرف "ع" بالنسبة لخط أفقي يصبح بالشكل "3". لعكس مسطح ثنائي الأبعاد، يستعمل خط كمرآة وحينها يسمى محور الإنعكاس (axis of Reflection) بينما لعكس مسطح ثلاثي الأبعاد، فيستعمل مستوى كمرآة. في بعض الأحيان، يعتبر الانعكاس حالة خاصة من حالات الانقلاب (inversion) ذوقطر لانهائي لدائرة المرجع.

وبالمفهوم الهندسي، لإيجاد الانعكاس لنقطة ما، يتم إسقاط خط عمودي على الخط (أوالمستوى) المستعمل كمحور الانعكاس ومن ثم متابعة الخط يشكل مستقيم في الجهة الأخرى وبنفس المسافة. ولتحديد ألانعكاس لرسم ما، يتم تحديد انعكاسات جميع النقاط المؤلفة له.

انعكاس انزلاقي

مثال على الانعكاس التزلقي

الانعكاس الانزلاقي هي عملية تحويل في الفضاء الإقليدي التي تتشكل من انزلاق ثم انعكاس خطي. في هذه الحالة، تعتبر قيمة المتجه (vector) صفرا.

التحاكي

التحاكي المطرد (Glide reflection) هي عملية تحويل تضخم أوتقلص الأمور. عامل التحاكيقد يكون نفسه في جميع الاتجاهات.^{[بحاجة لمصدر]}

القص

القص (Shear)

القص (Shear) هي عملية تحويل تتم بدوران أحد المجاور بحيث لا يعود متعامد مع المحور الآخر. فبهذه الحالة، يتحول المستطيل إلى متوازي الأضلاع، والدائرة إلى إهليليج.

تعميم: تحويلات جزئية

بشكل عام، "التحويل" هي أحد أوجه الدالة الرياضية (function). كما يستعمل التعبير إسقاط (mapping) بنفس المعنى.^{[بحاجة لمصدر]} يمكن للتحويل حتىقد يكون دالة إنقلابية (invertible function) من مجموعة X الي مجموهة أخرى Y. وتستعمل مرادفة "التحويل" في العادة في حالة تحويل الهيئات الهندسية أكثر من المعادلات الجبرية.

مفهوم التحويل تم تعميمه إلى الدوال الجزئية. التحويل الجزئي هوالدالة f: A → B، حيث كلاً منA وB تعبير عن مجموعات فرعية في المجموعة X.

بنى جبرية

The set of all transformations on a given base set together with function composition forms a regular semigroup.

توافيق

من أجل المجموعة الكاردينالية المحدودة n، هناك التحوايلات nⁿ والتحويلات الجزئية (n+1)ⁿ.

صور

الصورة الأصلية
isometry
similarity
affine transformation
projective transformation
inversion
Conformal transformation
Equiareal transformation
Diffeomorphism
Homeomorphism

الهامش

^ Christopher Hollings (2014). . American Mathematical Society. p. 251. ISBN .
^ Olexandr Ganyushkin; Volodymyr Mazorchuk (2008). Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction. Springer Science & Business Media. p. 2. ISBN .