في مجال الرياضيات، الضرب الخارجي (بالإنجليزية: Exterior product أوWedge product)‏ لمتجهات هوهجريب جبري يستخدم في الهندسة لدراسة المساحات والأحجام وكذلك الأبعاد الأعلى المناظرة. الضرب الخارجي للمتجهين ${\displaystyle u}$مربع خارجي والذي هوفضاء المتجه المميز من فضاء المتجهات الأصلي. يمكن تفسير حجم${\displaystyle a\wedge <!--\; \wedge \; -->b}$

أمثلة محفزة

المساحات في المستوى

في مستوى الجداء الديكارتي ${\displaystyle {\mathbb{R}}^2}$

${\displaystyle {{\boldsymbol {e _{1 =\left[{\begin{matrix 1\\0\end{matrix \right]$ و${\displaystyle {{\boldsymbol {e _{2 =\left[{\begin{matrix 0\\1\end{matrix \right]$.

لنفرض حتى ${\displaystyle {\boldsymbol {v =\left[{\begin{matrix a\\b\end{matrix \right]=a\,{{\boldsymbol {e _{1 +b\,{{\boldsymbol {e _{2$ و${\displaystyle {\boldsymbol {w =\left[{\begin{matrix c\\d\end{matrix \right]=c\,{{\boldsymbol {e _{1 +d\,{{\boldsymbol {e _{2$ هما متجهين معهدين بدلالة مركباتهما وينتميان لفضاء المتجه ${\displaystyle \mathbb {R ^{2$ . يوجد متوازي أضلاع وحيد معهد بدلالة الضلعين ${\displaystyle {\boldsymbol {v$ و${\displaystyle {\boldsymbol {w$ والذي مساحته معهده بالمحدد التالي:

${\displaystyle |\mathbb {det \left[\mathbf {v \quad \mathbf {w \right]|=\left|\mathbb {det \left[{\begin{matrix a&c\\b&d\end{matrix \right]\right|=|ad-bc|$.

أعتبر الآن الضرب الخارجي للمتجهين ${\displaystyle {\boldsymbol {v$ و${\displaystyle {\boldsymbol {w$ المعهد كالتالي:

${\displaystyle {\begin{aligned {\mathbf {v \wedge {\mathbf {w &=(a\,{\mathbf {e _{1 +b\,{\mathbf {e _{2 )\wedge (c\,{\mathbf {e _{1 +d\,{\mathbf {e _{2 )\\&=ac\,{\mathbf {e _{1 \wedge {\mathbf {e _{1 +ad\,{\mathbf {e _{1 \wedge {\mathbf {e _{2 +bc\,{\mathbf {e _{2 \wedge {\mathbf {e _{1 +bd\,{\mathbf {e _{2 \wedge {\mathbf {e _{2 \\&=\left(ad-bc\right){\mathbf {e _{1 \wedge {\mathbf {e _{2 \end{aligned$

حيث أنه تم استخدام خاصية التوزيع للضرب الخارجي بالمستوى الأولى وبالعملية الاخيره تم استخدام خاصية الإبدال وعلى وجه الخصوص الخاصية ${\displaystyle {\mathbf {e _{2 \land {\mathbf {e _{1 =-({\mathbf {e _{1 \land {\mathbf {e _{2 )$ . لاحظ حتى المعامل بالمعادلة الأخيره هوتعبير عن محدد المصفوفة ${\displaystyle \left[\mathbf {v \quad \mathbf {w \right]$ . نلاحظ أيضا أنه من خاصية الإبدال بالضرب الخارجي لدينا

${\displaystyle {\mathbf {e _{1 \land {\mathbf {e _{1 =\mathbf {e _{2 \land \mathbf {e _{2 =0$.

تفسر الإشارة الموجبه أوالسالبة بأن المتجهين ${\displaystyle \mathbf {v$ و${\displaystyle \mathbf {w$ يتجهان عكس أومع إتجاه عقارب الساعة كرؤوس لمتوازي الأضلاع المعهد أعلاه. مثل هذه المساحة تعهد بمساحة محددة لمتوازي الأضلاع والقيمة المطلقة لمساحة محددة هي المساحة المعتادة وإشارة المحدد هي إتجاهه.

إذا كان ${\displaystyle A(\mathbf {v ,\mathbf {w )$ يرمز لمساحة متوازي الأضلاع الذي يمثل المتجهين ${\displaystyle \mathbf {v ,\mathbf {w$ ضلعين فيه فإن ${\displaystyle A$ يجب حتى تحقق الخصائص التالية:

1. لتكن ${\displaystyle k$ و${\displaystyle j$ أعداد حقيقة فإن ${\displaystyle A(j\,\mathbf {v ,k\,\mathbf {w )=jk\,A(\mathbf {v ,\mathbf {w )$ .
2. ${\displaystyle A(\mathbf {v ,\mathbf {v )=0$ والتي تمثل مساحة لخط مستقيم تساوي صفر.
3. ${\displaystyle A(\mathbf {v ,\mathbf {w )=-A(\mathbf {w ,\mathbf {v )$ حيث حتى تبديل بين${\displaystyle \mathbf {v$ و${\displaystyle \mathbf {w$ يعكس إتجاه متوازي الأضلاع.
4. لأي عدد حقيقي ${\displaystyle j$ فإن ${\displaystyle A(\mathbf {v +j\,\mathbf {w ,\mathbf {w )=A(\mathbf {v ,\mathbf {w )$حيث حتى إضافة أي مضاعف ل ${\displaystyle \mathbf {w$ للمتجه ${\displaystyle v$ لايؤثر على الأساس ولايؤثر أيضا على ازدياد متوازي الأضلاع فبالتالي فإنه يحافظ على مساحته.
5. ${\displaystyle A(\mathbf {e _{1 ,\mathbf {e _{2 )=1$ أي ان مساحة مربع الوحدة يساوي واحد.

بإستثناء الخاصية الأخيره فإن الضرب الخارجي لمتجهين يحقق نفس خواص المساحة. أي حتى الضرب الخارجي يعمم الخاصية الأخيره بالسماح لمساحة متوازي الأضلاع لتقارن بأي متوازي أضلاع بالمستوى الموازي. بمعنى آخر فإن الضرب الخارجي يحقق صيغة الأساس المستقل لأي مساحة ( basis-independent formulation of area ) .

ضرب تقاطعي وضرب المتجهات الثلاثية

لأي متجهات في ${\displaystyle R^3}$${\displaystyle \{\mathbf {e _{1 ,\mathbf {e _{2 ,\mathbf {e _{3 \$ فإن الضرب الخارجي للمتجهين

${\displaystyle \mathbf {u =u_{1 \,\mathbf {e _{1 +u_{2 \,\mathbf {e _{2 +u_{3 \,\mathbf {e _{3$ و${\displaystyle \mathbf {v =v_{1 \,\mathbf {e _{1 +v_{2 \,\mathbf {e _{2 +v_{3 \,\mathbf {e _{3$ يعهد كالتالي:

${\displaystyle \mathbf {u \land \mathbf {v =(u_{1 v_{2 -u_{2 v_{1 )(\mathbf {e _{1 \land \mathbf {e _{2 )+(u_{3 v_{1 -u_{1 v_{3 )(\mathbf {e _{3 \land \mathbf {e _{1 )+(u_{2 v_{3 -u_{3 v_{2 )(\mathbf {e _{2 \land \mathbf {e _{3 )$

حيث حتى ${\displaystyle \{\mathbf {e _{1 \land \mathbf {e _{2 ,\mathbf {e _{3 \land \mathbf {e _{1 ,\mathbf {e _{2 \land \mathbf {e _{3 \$ تمثل قاعدة الفضاء ثلاثي الأبعاد ${\displaystyle \land ^{2 (R^{3 )$ . معاملات المعادلة أعلاه هي نفسها الفهم للضرب التقاطعي في ثلاث أبعاد لكن الفرق الوحيد بينما هوحتى الضرب الخارجي ليس متجه معتاد وإنما يمثل متجه ثنائي.

بتعريف متجه ثالث معهد بالمتجه ${\displaystyle \mathbf {w =w_{1 \,\mathbf {e _{1 +w_{2 \,\mathbf {e _{2 +w_{3 \,\mathbf {e _{3$ فإن الضرب الخارجي لثلاث متجهات معهد كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {u \land \mathbf {v \land \mathbf {w =(u_{1 v_{2 w_{3 +u_{2 v_{3 w_{1 +u_{3 v_{1 w_{2 -u_{1 v_{3 w_{2 -u_{2 v_{1 w_{3 -u_{3 v_{2 w_{1 )(\mathbf {e _{1 \wedge \mathbf {e _{2 \wedge \mathbf {e _{3 )$

حيث حتى ${\displaystyle \mathbf {e _{1 \wedge \mathbf {e _{2 \wedge \mathbf {e _{3$ تمثل أساس للفضاء ببعد واحد ${\displaystyle \land ^{3 (R^{3 )$ .

تعاريف وخصائص جبريه

ضرب بديل

القوه الخارجيه

أساسيات وأبعاد

الرتبه ومتجه

خصائص عامه

تعاميم

ملاحظات

المراجع

مراجع رياضية

مراجع تاريخية

• Grassmann algebra – Exploring applications of Extended Vector Algebra with Mathematica, 2007 CS1 maint: ref=harv (link)