نظرية المجال الكمي الطوبولوجية

نظرية المجال الكمي الطوبولوجية أونظرية الحقل الطوبولوجية، تحسب الثوابت الطوبولوجية. بالرغم من حتى الفيزيائيين هم من اخترعوا نظريات المجال الكمي الطوبولوجية، هي أيضًا ذات أهمية رياضية لكونها متعلقة بنظرية العقدة ونظرية المتشعبات الأربعة في الطوبولوجيا الجبرية، ونظرية المساحات المعيارية في الهندسة الجبرية وغيرها من النظريات. فاز جميع من دونالدسون وجونز وويتن وكونتسيفيتش بميداليات فيلدز للعمل الرياضي المتعلق بنظرية المجال الطوبولوجي. في فيزياء المواد المكثفة، تعتبر نظريات المجال الكمي الطوبولوجي نظريات فعالة منخفضة الطاقة للحالات المرتبة طوبولوجيًا، مثل الحالات الكمية الكسرية لهول، والحالات المكثفة ذات الشبكة الوترية، وغيرها من حالات السوائل الكمومية المرتبطة بقوة. في الديناميكا، جميع الأنظمة الديناميكية المستمرة في الزمن، مع ضوضاء وبدونها، هي نظريات مجالات كمية طوبولوجية من نوع ويتين وتضم ظاهرة الانهيار التلقائي للتناظر الفائق الطوبولوجي المطابق مفاهيم راسخة مثل الفوضى والاضطراب و1 / ف والضوضاء الصاخبة والحرجية المنظمة ذاتيًا

نظرة عامة

في نظرية المجال الطوبولوجية، لا تعتمد دوال الترابط على مترية الزمكان. يعني هذا حتى النظرية غير حساسة للتغيرات الشكلية للزمكان؛ إذا انثنى الزمكان أوتقلص، لا تتغير دوال الترابط، وبالتالي تعتبر ثوابت طوبولوجية. ليست نظرية المجال الطوبولوجية ذات أهمية في زمكان منكوفسكي الذي يستخدم في فيزياء الجسيمات. يمكن حتى يتقلص زمكان منكوفسكي إلى نقطة، لذلك تحسب نظرية المجال الطوبولوجي فقط ثوابت طوبولوجية تافهة. نتيجة لذلك عادة ما تدرس هذه النظريات على الزمكان المنحني مثل سطح ريمان على سبيل المثال. تعهد معظم نظريات المجال الطوبولوجية على زمكان يحتوي على أقل من خمسة أبعاد. يظهر حتى هناك نظريات أبعاد أعلى لكنها ليست مفهومة جيدًا. يعتقد حتى نظرية الجاذبية الكمومية مستقلة عن الخلفية (بشكل منطقي إلى حد ما)، وتقدم نظريات المجال الطوبولوجية نماذج لنظريات مجال كمي مستقلة عن الخلفية. وقد شجع هذا استمرار البحث النظري في هذه الفئة من النماذج.

تحذير: يُنطق في كثير من الأحيان حتى نظريات المجال الطوبولوجية لها درجات عديدة منتهية من الحرية، لكن هذه ليست خاصية أساسية. غالبًا ماقد يكون ذلك سليمًا في معظم الأمثلة التي يدرسها الفيزيائيون وفهماء الرياضيات، ولكنها ليست ضرورية. نموذج سيغما الطوبولوجي مع الفضاء الإسقاطي ذي الأبعاد المستهدفة اللانهائية، إذا كان من الممكن تعريف هذا الشيء، فسيكون له عدد لا يحصى من درجات الحرية.

الصيغ الرياضية

مسلمة عطية-سيغال الأصلية

اقترح عطية مجموعة من المسلمات لنظرية مجال كمي طوبولوجية التي استلهمها من المسلمات التي اقترحها سيغال لنظرية الحقل الامتثالي ومن فكرة ويتين عن المعنى الهندسي للتماثل الفائق. مسلمات عطية مبنية على لصق الحدود بتحويل قابل للاشتقاق (طوبولوجي أومستمر) بينما تعتمد مسلمات سيغال على تحويل امتثالي. كانت هذه المسلمات مفيدة نسبيًا للمعالجات الرياضية لنظريات المجال الكمي من نوع شوارز، بالرغم من أنها لا تبدوأنها تحيط بالبناء الكلي لنظريات المجال الكمي من نوع ويتين. الفكرة الأساسية هي حتى نظرية المجال الكمي الطوبولوجية مدلال من فئة معينة من الكوبورديات إلى فئة من الفضاءات المتجهة. هناك في الواقع مجموعتان مختلفتان من المسلمات التي يمكن حتى تسمى مسلمات عطية. تختلف هذه المسلمات أساسًا فيما إذا كانت تدرس نظرية مجال كمي طوبولوجية فهم في زمكان ريمان/ لورنتز مفرد ثابت في عدد ن من الأبعاد M أونظرية مجال كمي طوبولوجية فهم في جميع زمكانات الأبعاد في نفس الوقت.

ليكن ^ حلقة تبادلية مع 1 (في معظم العوالم الحقيقية تكون ^ = Z أوR أوC). اقترح عطية مسلماته في الأصل بخصوص نظريات المجال الكمي الطوبولوجية في البعد د المعهد على الحلقة الأساسية ^ كما يلي:

وحدة ^ المنتهية المرتبطة بكل متشعب ز (Σ) موجه أملس مغلق ذي البعد د (بما يتوافق مع مسلمة مثلية التوضع)

العنصر Z(M) ∈ Z(∂M) المرتبط بكل متشعب م موجه أملس ذي البعد د+1 (مع وجود حدود) (بما يتوافق مع مسلمة مضافة).

تخضع هذه البيانات إلى المسلمات الآتية (أضاف عطية المسلمتين أربعة و5):

Z مدلالي للتوجه الذي يحافظ على التماثل التفاضلي ل Σ وM.
Z التفافي؛ أي حتى #رمز# حيث Σ* هي Σ بتوجه معاكس وZ(Σ)* تعبر عن الوحدة المزدوجة
Z مضاعف
Z(φ) = Λ لكل متشعب فارغ في البعد د، وZ(φ) = 1 لكل متشعب فارغ في البعد د+1.
Z(M*) = Z(M) (المسلمة الهرميتية). أي حتى Z(M*) هي انفصال Z(M).

العلاقة بالفيزياء

فيزيائيًا، (2) + (4) متعلقتان بالثابت النسبي بينما تعبر (3) + (5) عن الطبيعة الكمية للنظرية.

Σ يفترض بها حتى تشير إلى الفضاء الفيزيائي (عادة ما تكون د=3 في الفيزياء المعيارية) والبعد الإضافي في Σ × I هوالزمن التخيلي. فضاء Z(M) هوفضاء هيلبرت في نظرية الكم ونظرية فيزيائية بهاملتوني H سيكون لها معامل تطور زمن e^itH أومعامل الزمن التخيلي e^−tH. السمة الأساسية لنظريات المجال الكمي الطوبولوجية هي حتى H = 0 ما يشير على أنه لا يوجد ديناميكا حقيقية أوانتشار على طول الأسطوانة Σ × I. لكن يمكن حتى يوجد «انتشار» غير ضئيل (أوسعات الأنفاق) من Σ₀ إلى Σ₁ من خلال متشعب متداخل (M) حيث ${\displaystyle \partial M=\Sigma _{0 ^{* \cup \Sigma _{1$ ؛ يعبر هذا عن طوبولوجية M.