مجموعة التطبيع (فيزياء)

في الفيزياء النظرية، يشير مصطلح مجموعة التطبيع إلى طريقة رياضية تسمح بالتحقيق المنهجي في التغيرات الحادثة في نظام فيزيائي كما يظهر على مقاييس مختلفة. في فيزياء الجسيمات، يعبّر عن التغيرات في قوانين القوة المعنية (المدونة في نظرية المجال الكمي) مثل مقياس الطاقة حيث تختلف العمليات الفيزيائية الحادثة فيه، والطاقة/الزخم، ومقاييس مسافة الانحلال المرفقة بفعالية في مبدأ عدم التأكد.

يسمى التغير في المقياس بتحول المقياس. ترتبط مجموعة التطبيع بشدة بكل من الثابت القياسي والثابت الامتثالي، التماثلان اللذين يظهر فيهما نظام ما بذات الوضع على جميع المقاييس (لذلك يطلق عليه التشابه الذاتي).

يبدوتغير المقياس كما لوتغيرت القوة المكبرة لمجهر وهمي يعرض النظام. في ما يسمى بنظريات التطبيع، على مقياس واحد، سيبدوالنظام بشكل عام أنه يتكون من نسخ متشابهة ذاتية منه حين يُعرض على مقياس أصغر، ببارامترات مختلفة تصف مكونات النظام. يمكن حتى تتعلق المكونات أوالمتغيرات الأساسية بالذرات، والجسيمات الأولية، والدورانات المغزلية الذرية، إلى آخره. تصف عادةً بارامترات النظرية التفاعلات بين المكونات. قد تكون هذه تقارنات متنوعة تقيس شدة القوى المتنوعة أوالبارامترات الكاملة نفسها. قد تظهر المكونات نفسها مؤلفةً من المزيد من المكونات نفسها حدثا مضىنا لمسافات أقصر.

على سبيل المثال، في الكهروديناميكا الكمية، يظهر الإلكترون مكونًا من الإلكترونات والبوزيترونات (الإلكترونات المضادة) والفوتونات، إذ يمكن للمرء حتى يراه على مستوى أعلى من الانحلال، على مسافات قصيرة للغاية. للإلكترون في مثل هذه المسافات القصيرة شحنة كهربائية مختلفة قليلًا عمّاقد يكون للإلكترون المغطى المشاهد على مسافات كبيرة، ويحدد هذا التغير، أوبالأحرى الجريان، في قيمة الشحنة الكهربية من خلال معادلة مجموعة التطبيع.

نبذة تاريخية

فكرة تحولات المقياس والثابت القياسي فكرة قديمة في الفيزياء: كانت أبحاث المقاييس مجالًا شائعًا للمدرسة الفيثاغورثية ولإقليدس وحتى غاليليو. ثم اشتُهرت مرة أخرى في نهاية القرن التاسع عشر، وربما يعد أول مثال على ذلك هوفكرة اللزوجة المعززة لأوزبورن رينولندز كطريقة لتفسير الاضطراب الدوامي.

اختُرعت مجموعة التطبيع في البداية في فيزياء الجسيمات، لكن تمتد تطبيقاتها حاليًا إلى فيزياء الحالة الصلبة، وميكانيكا الموائع، وفهم الكونيات الفيزيائي، وحتى تقنية النانو. تبصر جميع من إرنست ستويكلبيرغ وأندريه بيترمان في منطق لهما عام 1953 بهذه الفكرة في نظرية المجال الكمي. فتح ستويكلبيرغ وبيترمان المجال فكريًا، فلاحظا حتى التطبيع يظهر مجموعة من التحويلات التي تنقل الكميات من المصطلحات العارية إلى المصطلحات المضادة. وقدما دالة h(e) في الكهروديناميكا الكمية، التي يُطلق عليها الآن دالة بيتا.

البدايات

في عام 1954، حدَّ موري جيلمان وفرنسيس إي. لومن هذه الفكرة إلى تحويلات المقياس في الكهروديناميكا الكمية وهي الأهم فيزيائيًا، وركزا على الأشكال المقارِبة لناشر الفوتونات في الطاقات العالية. حددا تنوع التقارن الكهرومغناطيسي في الكهروديناميكا الكمية، من خلال تقدير بساطة الهيكل القياسي لهذه النظرية. ولهذا اكتشفا حتى بارامتر التقارن g(μ) على مقياس الطاقة μ يُعطى جيدًا من معادلة المجموعة

${\displaystyle g(\mu )=G^{-1 \left(\left({\frac {\mu {M \right)^{d G(g(M))\right)$ ,

في دالة ما G (غير محددة؛ يطلق عليها حاليًا دالة قياس ويغنر) وثابت d، بمعنى التقارن g(M)، على مقياس مرجعي M. أدرك جيلمان ولوفي هذه النتائج أنه يمكننا حتى نأخذ المقياس الفعال بشكل اعتباطي كـ μ، ويمكن حتى يختلف لتعريف النظرية على أي مقياس آخر:

${\displaystyle g(\kappa )=G^{-1 \left(\left({\frac {\kappa {\mu \right)^{d G(g(\mu ))\right)=G^{-1 \left(\left({\frac {\kappa {M \right)^{d G(g(M))\right)$ .

جوهر مجموعة التطبيع هوخاصية المجموعة هذه: بينما يتنوع المقياس μ، تمثل النظرية نسخة متماثلة ذاتيًا لنفسها، ويمكن الحصول على أي مقياس بالمثل من أي مقياس آخر، من خلال عمل المجموعة، ترافق متعدٍّ رسمي للتقارنات بالمعنى الرياضي (معادلة شرودنجر).

بناءً على معادلة المجموعة (المنتهية) هذه وصِفة القياس خاصتها، تمكن جيلمان ولومن الهجريز على التحويلات المتناهية الصغر، وكوّنا طريقة حاسوبية معتمدة على دالة انسياب رياضي ψ(g) = G d/(∂G/∂g) لبارمتر التقارن g، الذي قدماه. مثل دالة h(e) لستويكلبيرغ وبيترمان، تحدد دالتهما التغير التفاضلي للتقارن g(μ) في ما يتعلق بتغير سهل على مقياس الطاقة μ من خلال معادلة تفاضلية، معادلة مجموعة التطبيع:

${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial g {\partial \ln \mu =\psi (g)=\beta (g)$ .

يُشار أيضًا إلى المصطلح الجديد «دالة بيتا»، الذي قدمه جميع من كورتيس كالان وكورت سيمانزيك في عام 1970. بما إنها دالة بحتة لـ g، يسمح التكامل في g لتقييم اضطرابي له بتخصيص مسار التطبيع للاقتران، أي تنوعه في الطاقة، الدالة G في هذا التقريب الاضطرابي. ثبت صحة تنبؤ مجموعة التطبيع بعد أربعين عامًا في تجارب المسارع في المصادِم الإلكتروني البوزيتروني الكبير: قيس ثابت البناء الدقيق للكهروديناميكا الكمية فكان نحو1⁄127 في طاقات تقترب من 200 GeV، في لقاء قيمة الفيزياء المعيارية منخفضة الطاقة التي تبلغ 1⁄137.

المراجع

^ "Introduction to Scaling Laws". av8n.com. مؤرشف من الأصل في 13 مايو2019.
^ Stueckelberg, E.C.G.; Petermann, A. (1953). "La renormalisation des constants dans la théorie de quanta". Helv. Phys. Acta (باللغة الفرنسية). 26: 499–520. مؤرشف من الأصل في 01 مايو2018.
^ Gell-Mann, M.; Low, F. E. (1954). "Quantum Electrodynamics at Small Distances" (PDF). Physical Review. 95 (5): 1300–1312. Bibcode:1954PhRv...95.1300G. doi:10.1103/PhysRev.95.1300. مؤرشف من الأصل (PDF) في 24 يوليو2018.
^ Curtright, T.L.; Zachos, C.K. (March 2011). "Renormalization Group Functional Equations". Physical Review D. 83 (6): 065019. arXiv:1010.5174. Bibcode:2011PhRvD..83f5019C. doi:10.1103/PhysRevD.83.065019.
^ Callan, C.G. (1970). "Broken scale invariance in scalar field theory". Physical Review D. 2 (8): 1541–1547. Bibcode:1970PhRvD...2.1541C. doi:10.1103/PhysRevD.2.1541.