مبرهنة التدرج

مواضيع في التفاضل والتكامل
حساب التفاضل
	اشتقاق; حساب المتغيرات; تفاضل ضمني ; مبرهنة تايلور ; معدلات مرتبطة ; متطابِقات; قواعد: ; قاعدة القوة، قاعدة الضرب،; قاعدة ناتج القسمة، قاعدة التسلسل
حسبان تكاملي
	تكامل; قائمة التكاملات ; تكاملات معتلة ; تكامل ريمان; تكامل متعدد; التكامل بواسطة: ; التجزئة، الأقراص، الأسطوانية، التعويض،; التعويضات المثلثية،; الكسور الجزئية، تغيير الرتب
حساب المتجهات
	تدرج ; تباعد ; تدور (إلتواء) ; لابلاسي ; مبرهنة التدرج ; مبرهنة غرين ; مبرهنة ستوكس ; مبرهنة التباعد
حساب متعدد المتغيرات
	حسبان المصفوفات ; اشتقاق جزئي ; تكامل متعدد ; تكامل خطي ; تكامل سطحي ; تكامل حجمي ; جاكوبي

مبرهنة التدرج هي مبرهنة تحليل المتجهات التي تربط التكامل الحجمي لتدرج حقل سلمي والتكامل السطحي لنفس الحقل.

المبرهنة هي كما يلي:

مبرهنة التدرج — ${\displaystyle \iiint _{V {\vec {\nabla \!f~{\rm {d V=\iint _{S f~{\rm {d {\vec {S ,$

حيث "S" هي حافة "V" و"f" تعبير عن حقل سلمي.

برهان

لإثبات حتى هذين المتجهتين متساويتان، يكفي التحقق من حتى جدائهما السلمي في أي متجه تستخدم مبرهنة التباعد .

ليكن ${\displaystyle {\vec {u$ متجه اختياري، لنبين أن:

${\displaystyle \left(\iint _{S f~{\rm {d {\vec {S \right)\cdot {\vec {u =\left(\iiint _{V {\vec {\nabla \!f~{\rm {d V\right)\cdot {\vec {u$

أومرة أخرى (الجداء السلمي يتم تبديله وتوزيعه على إضافة المتجهات )، لنبين أن:

${\displaystyle \iint _{S f\,{\vec {u \cdot {\rm {d {\vec {S =\iiint _{V {\vec {\nabla \!f\cdot {\vec {u ~{\rm {d V$

حسب مبرهنة التباعد:

${\displaystyle \iint _{S f\,{\vec {u \cdot {\rm {d {\vec {S =\iiint _{V {\rm {div (f\,{\vec {u )~{\rm {d V.$

الآن، وفقًا لإحدى صيغ لايبنز لتحليل المتجهات، وبما حتى تباعد الحقل المتجهي منتظم يساوي صفرًا، لدينا:

بتعويض في التكامل الأخير، يحدد المساواة المعلنة.

${\displaystyle \iint _{S f\,{\vec {u \cdot {\rm {d {\vec {S =\iiint _{V {\vec {\nabla \!f\cdot {\vec {u ~{\rm {d V.$

^ جيمس ستيوارت (2009). (باللغة الإنجليزية). Cengage Learning. صفحة 972. مؤرشف من الأصل في 23 يناير 2020. , ex. 31.