مساحة

ثلاثة أشكال هندسية معهودة.

المساحة هي قياس لمنطقة محصورة في نطاق معين على سطح، وأبسط شكل لها هي المنطقة المحصورة بين أربع خطوط بنفس الطول، اثنان منها متوازيان، والآخران متعامدان مع الأولى، أي على شكل مربع. ومن هذا الشكل يتم اشتقاق جميع أشكال المساحة الأخرى، وعندماقد يكون طول هذه الخطوط وحدة قياس طول واحدة، فإن المساحة المحصورة بينها تعتبر وحدة قياس مساحة واحدة، وبالتالي فإذا كان هناك مربع، طول ضلعه متر واحد، فإن مساحته تساوي مترا مربعا واحدا.

يمكن حساب المساحة بعدد مربعات وحدة المساحة الجزئية والكاملة. في النظام الدولي للوحدات الوحدة القياسية للمساحة هوالمتر المربع (كما هومكتوب m²)، وهومساحة مربع طول ضلعه متر واحد. شكل ذومساحة ثلاثة متر مربع لديه نفس المساحة لثلاثة من هذه المربعات ذات المتر الواحد طولا. وهناك الكثير من الصيغ المعروفة للمساحات لأشكال بسيطة مثل المثلثات والمستطيلات والدوائر. باستخدام هذه الصيغ، يمكن حساب مساحة أي مضلع من خلال تقسيم المضلع إلى مثلثات أوالدوائر للحصول على الأشكال المنحنية مع الحدود، وعادة ما يحتاج حساب التفاضل والتكامل لحساب المجال. في الواقع، كانت معضلة تحديد مجال الأرقام دافعا كبيرا للتطور التاريخي في حساب التفاضل والتكامل. إذا أخذنا شكلا صلبا مثل كرة، مخروط أواسطوانة، تسمى مساحة سطح حدود هذا الشكل بمساحة السطح. حسبت معادلات مساحات السطح للأشكال البسيطة من قبل الإغريق، ولكن حساب المساحة السطحية للشكل هي الأكثر تعقيدا وعادة ما يحتاج حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات.

معادلات لقياس المساحة

مساحة الدائرة ذات الشعاع r.

مساحة المستطيل = الطول × العرض

مسلمة مساحة المستطيل والتي تنص على حتى مساحة المستطيل تساوى طوله×عرضه وهذا شيء بديهى يمكن إدراكه بدون البرهنة عليه وذلك بملاحظة أنه عند فرض مستطيل عرضه الوحدة (لكىقد يكون عرضه غير مؤثر في المساحة بحيثقد يكون الطول وحده هوالذي يتحكم في قيمة المساحة) وطوله عدد معين من الوحدات نلاحظ حتى عدد الوحدات المربعة والتي تشكل مساحة المستطيل يساوى عدد الوحدات الطولية التي تشكل طول المستطيل وبزيادة عدد وحدات الطول نلاحظ حتى مساحة المستطيل تزداد بنفس المقدار ومن ذلك يتضح حتى مساحة المستطيل تساوى طوله×عرضه.

مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع: وتخط بالإنجليزية على الصورة ${\displaystyle A=b.h/2$ حيث: b هي طول القاعدة، وh هي طول الارتفاع.
مساحة الدائرة ${\displaystyle A=\pi r^{2 \,$ حيث: r هي نصف قطر الدائرة.
مساحة سطح الكرة ${\displaystyle A=4\pi r^{2 \,$ حيث: r هي نصف قطر الكرة.
مساحة الشكل البيضاوي (أوالأهليجي): باي( ${\displaystyle {\pi$ ) × نق المحور الأكبر × نق المحور الأصغر
يمكن قياس مساحة الأشكال المعقدة والمساحات المحصورة بين الدوال باستخدام فهم التفاضل والتكامل
مساحة المربع = طول الضلع تربيع (ل²) أوA = L²

وحدات قياس المساحة

سنتيمتر مربع اختصاره: سم²
المتر مربع اختصاره: م² ، وهي وحدة مشتقة من المتر (وحدة قياس دولية)
هكتار يساوي 10000 متر مربع
كيلومتر مربع اختصاره: يساوي 1000000 (مليون) متر مربع
قدم مربع ويساوي 0.09290304 متر مربع
ياردة مربعة وتساويتسعة أقدام مربعة أي 0.83612736 متر مربع
ميل مربع ويساوي 2.5899881103 كيلومتر مربع
الفدان ويساوي 4200.83 متر مربع، وينقسم إلى 24 قيراط وكل قيراط ينقسم إلى 24 سهم حيث مساحة القيراط 175.09 متر مربع ومساحة السهم 7.29 متر مربع.

والفدان أكبر قليلا من الإيكر الأنجلوأمريكي.

الإيكر (Acre) يساوي 4046.8564224 متر مربع.
قصبة (وحدة تستخدم في البلاد العربية) تعادل 30,25 ياردة مربعة.

مساحة بعض الأشكال الهندسية

يعطي هذا الجدول معادلات المساحة لبعض الأشكال في الهندسة المستوية:

الشكل	صفـاته	المساحة ${\displaystyle A$
المربع	طول الضلع ${\displaystyle a$	${\displaystyle A=a^{2$
المستطيل	الطول والعرض ${\displaystyle a,\,b$	${\displaystyle A=a\cdot b$
المثلث (انظر أيضا: مساحة المثلث)	القاعدة ${\displaystyle h$	${\displaystyle A={\frac {b\cdot h {2$
شبه منحرف	الضلعان المتوازيان ${\displaystyle a,\,c$ ، الارتفاع ${\displaystyle h$ ، عمودي على ${\displaystyle a$ و ${\displaystyle c$	${\displaystyle A={\frac {a+c {2 \cdot h$
المعين	المحورين ${\displaystyle d_{1$ و ${\displaystyle d_{2$	${\displaystyle A={\frac {d_{1 \cdot d_{2 {2$
متوازي الأضلاع	طول الضلع ${\displaystyle a$ ، الارتفاع ${\displaystyle h_{a$ ، عمودي على ${\displaystyle a$	${\displaystyle A=a\cdot h_{a$
دائرة	نصف القطر ${\displaystyle r$	${\displaystyle A=\pi r^{2$
بتر ناقص	المحور الطويل ${\displaystyle 2a$ والمحور القصير ${\displaystyle 2b$	${\displaystyle A=\pi ab$
مسدس منتظم	طول الضلع ${\displaystyle a$	${\displaystyle A={\frac {3{\sqrt {3 {2 a^{2$

من أجل تعيين مساحة متعدد الأضلاع فيمكن تقسيمه إلى مثلثات، ثم جمعها بعد حساب مساحاتها. وإذا كانت الإحداثيات ${\displaystyle (x_{i ,y_{i ),i=1\dots n$ لعدد ${\displaystyle n$ من الأركان لمتعدد الأضلاع معروفة، فيمكن حساب المساحة بواسطة معادلة جاوس لشبه المنحرف:

{\displaystyle A={\frac {1 {2 \sum _{i=1 ^{n (y_{i +y_{i+1 )(x_{i -x_{i+1 )

حيث:

{\displaystyle x_{n+j =x_{j

و

{\displaystyle y_{n+j =y_{j

الأشكال أخرى يمكن تقريبها لمضلع متعدد الأضلاع وتكملة حسابها بالتقريب.

حساب مساحة اسطح بعض الأجسام

هرم رباعي السطوح

مخروط

الشكل	صفاتـه	مساحة السطح ${\displaystyle A$
مكعب	طول الضلع ${\displaystyle a$	${\displaystyle A=6a^{2$
متوازي المستطيلات	الطول، والعرض، والارتفاع ${\displaystyle a,\,b,\,c$	${\displaystyle A=2(ab+ac+bc)$
رباعي السطوح	طول الضلع ${\displaystyle a$	${\displaystyle A={\sqrt {3 \,a^{2$
الكرة (انظر أيضا: مساحة سطح الكرة)	نصف القطر ${\displaystyle r$	${\displaystyle A=4\pi r^{2$
أسطوانة	نصف قطر القاعدة ${\displaystyle r$ ، الارتفاع ${\displaystyle h$	${\displaystyle A=2\pi r(r+h)$
مخروط	نصف قطر القاعدة ${\displaystyle r$ ، الارتفاع ${\displaystyle h$	${\displaystyle A=\pi r(r+{\sqrt {r^{2 +h^{2 )$
طارة (رياضيات)	نصف قطر الطارة ${\displaystyle R$ , نصف قطر المبتر ${\displaystyle r$	${\displaystyle A=4\pi ^{2 \cdot R\cdot r$

حساب التكامل

تعيين المساحة تحت منحنى بين النقطتين a وb بالتقريب عن طريق تقسيمها إلى مستطيلات ضيقة. وهذه هي فكرة حساب التكامل.

يستعمل حساب التكامل بغرض تعيين المساحة تحت منحنى في منحنى بياني. وتنبع تلك الفكرة من امكانية تقسيم المساحة المحصورة بين المنحنى البياني والمحور الأفقي ${\displaystyle x$ إلى مجموعة من المستطيلات الضيقة، وينبع معنى حساب التكامل من جعل عرض المستطيلات المختارة يقترب من الصفر (عندما تقترب dx من الصفر).

انظر أيضا

تكامل
محيط (هندسة رياضية)
حجم

مراجع

^ Area - from Wolfram MathWorld نسخة محفوظة 06 نوفمبر 2017 على مسقط واي باك مشين.
^ Surface Area - from Wolfram MathWorld نسخة محفوظة 08 مايو2018 على مسقط واي باك مشين.