طول قوس

عند تسليمه، يمنح المنحنى خطًا مستقيمًا بطول نفس طول قوس المنحنى.

طول القوس s للولب لوغاريتمي كدالة لوسيطِه θ، بتعبير آخر:

s=f (θ)

.

طول القوس هوالمسافة بين نقطتين على طول مبتر من المنحنى. يسمى تحديد طول مبتر القوس غير المنتظم أيضًا تسليم المنحنى. أدى ظهور حساب التفاضل والتكامل إلى صيغة عامة توفر حلولاً منغلقة الشكل في بعض الحالات.

ايجاد أطوال قوس باستخدام التكامل

ربع دائرة

إذا كان منحنى مستوفي ${\displaystyle \mathbb {R ^{2$ معهد بواسطة المعادلة ${\displaystyle y=f(x)$ ، حيث ${\displaystyle f$ قابل للتفاضل باستمرار، فهي ببساطة حالة خاصة لمعادلة وسيطية حيث ${\displaystyle x=t$ و ${\displaystyle y=f(t)$ . ثم يُعطى طول القوس بواسطة:

{\displaystyle s=\int _{a ^{b {\sqrt {1+\left({\frac {dy {dx \right)^{2 dx.

تضم المنحنيات التي تحتوي على حلول منغلقة الشكل لطول القوس، سلسلي، دائرة، دويري، لولب لوغاريتمي، بتر مكافئ، بتر مكافئ شبه تكعيبي وخط مستقيم. أدى عدم وجود حل منغلق الشكل لطول الأقواس الإهليلجية والزائدية إلى تطوير التكاملات الإهليلجية.

التكامل العددي

في معظم الحالات، بما في ذلك المنحنيات البسيطة، لا توجد حلول منغلقة الشكل لطول القوس والتكامل العددي ضروري. التكامل العددي للتكامل طول القوس عادة ما تكون فعالة جدا. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك معضلة البحث عن طول ربع دائرة الوحدة من خلال التكامل العددي لطول القوس. النصف العلوي لدائرة الوحدة يمكن حتى تكون مفهمة كـ ${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2$ . يتوافق المجال ${\displaystyle x\in [-{\sqrt {2 /2,{\sqrt {2 /2]$ مع ربع الدائرة. بما أن ${\displaystyle dy/dx=-x/{\sqrt {1-x^{2$ و ${\displaystyle 1+(dy/dx)^{2 =1/(1-x^{2 )$ ، فإن طول ربع دائرة الوحدة هو

{\displaystyle \int _{-{\sqrt {2 /2 ^{{\sqrt {2 /2 {\frac {1 {\sqrt {1-x^{2 \,dx

يختلف تقدير قاعدة غاوس-كرونرود ذو15 نقطة لهذا التكامل البالغ 1.570796326808177 عن الطول الحقيقي لـ:

{\displaystyle {\Big [ \arcsin x{\Big ] _{-{\sqrt {2 /2 ^{{\sqrt {2 /2 ={\frac {\pi {2

بمقدار $1.3\times10 -11$ وتقدير قاعدة التربيع الغاوسي ذو16 نقطة والذي يبلغ 1.570796326794727 يختلف عن الطول الحقيقي بمقدار $1.7\times10 -13$ .

انظر أيضا

قوس (هندسة)
محيط منحنى مغلق
جيوديسي
تقريبيات تكاملية
تكامل خطي
حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات

المراجع

^ "معلومات عن طول قوس على مسقط brilliant.org". brilliant.org. مؤرشف من الأصل في 19 سبتمبر 2017.
^ "معلومات عن طول قوس على مسقط jstor.org". jstor.org. مؤرشف من الأصل في 14 أبريل 2020.
^ "معلومات عن طول قوس على مسقط academic.microsoft.com". academic.microsoft.com. مؤرشف من الأصل في 14 أبريل 2020.