حساب المثلثات
الدّوال (الدوال العكسية)
حساب مثلثات معممة
حساب المثلثات الكروية
مراجع
المتطابقات
القيم الدقيقة للثوابت
الجداول
دائرة الوحدة
القوانين والنظريات
الجيوب
جيوب التمام
الظّلال
ظلال التمام
الحسبان
تعويضات مثلثية
التكاملات (تكاملات الدوال العكسية)
المشتقات
تكون زوايا الحلول الأولية على شكل (cos , sin) في دائرة الوحدة هي مضاعفات 30 و45 درجة.
التعبيرات الجبرية الدقيقة للقيم المثلثية مفيدة في بعض الأحيان، خاصةً لتبسيط الحلول إلى أشكال جذرية تسمح بمزيد من التبسيط.
جميع الأعداد المثلثية - الجيب أوجيب التمام من مضاعفات كسرية لـ 360° - هي أعداد جبرية (حلول المعادلات متعددة الحدود مع معاملات سليمة)؛ زيادة على ذلك، يمكن التعبير عنها بدلالة جذور الأعداد المركبة؛ ولكن ليس جميع هذه يمكن التعبير عنها بدلالة جذور حقيقية . عندما تكون كذلك، فهي قابلة للتعبير بشكل أكثر تحديدًا بدلالة الجذور التربيعية.
جميع قيم الجيب، وجيب التمام، وظلال الزوايا متزايدة بـ 3° يمكن تعبير عنها بدلالة الجذور التربيعية، باستخدام المتطابقات (متطابقة نصف الزاوية، ومتطابقة ضعف الزاوية، ومتطابقة إضافة/طرح الزاوية) وباستخدام القيم لـ 0° و30° و36° و45° . بالنسبة لزاوية عدد سليم بالدرجات التي ليست مضاعفة لـ 3° ( π / 60
وفقًا لمبرهنة نيفن، فإن القيم الكسرية الوحيدة لدالة الجيب التي من أجلها تكون عمدتها (argument) تعبير عن عدد كسري من الدرجات هي: 0، و1 / 2 -1 / 2 و-1 .
وفقًا لمبرهنة باكر، إذا كانت قيمة الجيب أوجيب التمام أوالظل جبرية، فإن الزاوية تكون إما عددًا نسبيًّا من الدرجات أوعددًا متساميا من الدرجات. وبعبارة أخرى، إذا كانت الزاوية تعبير عن عدد جبري من الدرجات، ولكن غير عقلانية، فإن جميع الدوال المثلثية لها قيم متسامية.
جدول بعض الزوايا الشائعة
عدة وحدات القياس زاوية تستخدم على نطاق واسع، بما في ذلك الدرجات، الراديات، والغراد:
1 دائرة كاملة (دورة) = 360 درجات = 2π راديان = 400 غراد.
يعرض الجدول التالي التحويلات والقيم لبعض الزوايا الشائعة:
دورات
درجات
راديان
غراد
جيب
جيب التمام
ظل
0
0°
0
0g
0
1
0
1 / 12
30°
π / 6
33 1 / 3 g
1 / 2
1 / 8
45°
π / 4
50g
√2 / 2
√2 / 2
1
1 / 6
60°
π / 3
66 2 / 3 g
√3 / 2
1 / 2
√3
1 / 4
90°
π / 2
100g
1
0
1 / 3
120°
2π / 3
133 1 / 3 g
√3 / 2
−1 / 2
−√3
3 / 8
135°
3π / 4
150g
√2 / 2
−√2 / 2
−1
5 / 12
150°
5π / 6
166 2 / 3 g
1 / 2
−√3 / 2
−√3 / 3
1 / 2
180°
π
200g
0
−1
0
7 / 12
210°
7π / 6
233 1 / 3 g
−1 / 2
−√3 / 2
√3 / 3
5 / 8
225°
5π / 4
250g
−√2 / 2
−√2 / 2
1
2 / 3
240°
4π / 3
266 2 / 3 g
−√3 / 2
−1 / 2
√3
3 / 4
270°
3π / 2
300g
−1
0
5 / 6
300°
5π / 3
333 1 / 3 g
−√3 / 2
1 / 2
7 / 8
315°
7π / 4
350g
−√2 / 2
√2 / 2
−1
11 / 12
330°
11π / 6
366 2 / 3 g
−1 / 2
√3 / 2
−√3 / 3
1
360°
2π
400g
0
1
0
زوايا أخرى
الجدول المثلثية الدقيقة لمضاعفات ثلاثة درجات.
0 ° : أساسي
sin 0 = 0 {\displaystyle \sin 0=0\, cos 0 = 1 {\displaystyle \cos 0=1\, tan 0 = 0 {\displaystyle \tan 0=0\,
cot 0 = {\displaystyle \cot 0=
1.5 ° : مئة وعشروني الأضلاع المنتظم (المضلع به 120 ضلع)
sin ( π 120 ) = sin ( 1.5 ∘ ) = ( 2 + 2 ) ( 15 + 3 − 10 − 2 5 ) − ( 2 − 2 ) ( 30 − 6 5 + 5 + 1 ) 16 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi {120 \right)=\sin \left(1.5^{\circ \right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2 \right)\left({\sqrt {15 +{\sqrt {3 -{\sqrt {10-2{\sqrt {5 \right)-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2 \right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5 +{\sqrt {5 +1\right) {16 cos ( π 120 ) = cos ( 1.5 ∘ ) = ( 2 + 2 ) ( 30 − 6 5 + 5 + 1 ) + ( 2 − 2 ) ( 15 + 3 − 10 − 2 5 ) 16 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi {120 \right)=\cos \left(1.5^{\circ \right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2 \right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5 +{\sqrt {5 +1\right)+\left({\sqrt {2-{\sqrt {2 \right)\left({\sqrt {15 +{\sqrt {3 -{\sqrt {10-2{\sqrt {5 \right) {16
1.875 ° : ست وتسعوني الاضلاع (مضلع ذو96 ضلعًا)
sin ( π 96 ) = sin ( 1.875 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 2 + 2 + 3 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi {96 \right)=\sin \left(1.875^{\circ \right)={\frac {1 {2 {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3 cos ( π 96 ) = cos ( 1.875 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 2 + 2 + 3 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi {96 \right)=\cos \left(1.875^{\circ \right)={\frac {1 {2 {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3
2.25 ° : المثمن المنتظم (مضلع به 80 ضلع)
sin ( π 80 ) = sin ( 2.25 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 2 + 5 + 5 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi {80 \right)=\sin \left(2.25^{\circ \right)={\frac {1 {2 {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5 {2 cos ( π 80 ) = cos ( 2.25 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 2 + 5 + 5 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi {80 \right)=\cos \left(2.25^{\circ \right)={\frac {1 {2 {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5 {2
2.8125 ° : أربع وستيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذوجانبين)
sin ( π 64 ) = sin ( 2.8125 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 2 + 2 + 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi {64 \right)=\sin \left(2.8125^{\circ \right)={\frac {1 {2 {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 cos ( π 64 ) = cos ( 2.8125 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 2 + 2 + 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi {64 \right)=\cos \left(2.8125^{\circ \right)={\frac {1 {2 {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2
3 ° : ستيني الأضلاع المنتظم (مضلع به 60 ضلع)
sin ( π 60 ) = sin ( 3 ∘ ) = 2 ( 1 − 3 ) 5 + 5 + ( 10 − 2 ) ( 3 + 1 ) 16 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi {60 \right)=\sin \left(3^{\circ \right)={\frac {2\left(1-{\sqrt {3 \right){\sqrt {5+{\sqrt {5 +\left({\sqrt {10 -{\sqrt {2 \right)\left({\sqrt {3 +1\right) {16 \, cos ( π 60 ) = cos ( 3 ∘ ) = 2 ( 1 + 3 ) 5 + 5 + ( 10 − 2 ) ( 3 − 1 ) 16 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi {60 \right)=\cos \left(3^{\circ \right)={\frac {2\left(1+{\sqrt {3 \right){\sqrt {5+{\sqrt {5 +\left({\sqrt {10 -{\sqrt {2 \right)\left({\sqrt {3 -1\right) {16 \, tan ( π 60 ) = tan ( 3 ∘ ) = [ ( 2 − 3 ) ( 3 + 5 ) − 2 ] [ 2 − 10 − 2 5 ] 4 {\displaystyle \tan \left({\frac {\pi {60 \right)=\tan \left(3^{\circ \right)={\frac {\left[\left(2-{\sqrt {3 \right)\left(3+{\sqrt {5 \right)-2\right]\left[2-{\sqrt {10-2{\sqrt {5 \right] {4 \, cot ( π 60 ) = cot ( 3 ∘ ) = [ ( 2 + 3 ) ( 3 + 5 ) − 2 ] [ 2 + 10 − 2 5 ] 4 {\displaystyle \cot \left({\frac {\pi {60 \right)=\cot \left(3^{\circ \right)={\frac {\left[\left(2+{\sqrt {3 \right)\left(3+{\sqrt {5 \right)-2\right]\left[2+{\sqrt {10-2{\sqrt {5 \right] {4 \,
3.75 ° : ثماني وأربعيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو48 ضلعًا)
sin ( π 48 ) = sin ( 3.75 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 2 + 3 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi {48 \right)=\sin \left(3.75^{\circ \right)={\frac {1 {2 {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3 cos ( π 48 ) = cos ( 3.75 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 2 + 3 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi {48 \right)=\cos \left(3.75^{\circ \right)={\frac {1 {2 {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3
4.5 ° : أربعيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو40 ضلعًا)
sin ( π 40 ) = sin ( 4.5 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 5 + 5 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi {40 \right)=\sin \left(4.5^{\circ \right)={\frac {1 {2 {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5 {2 cos ( π 40 ) = cos ( 4.5 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 5 + 5 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi {40 \right)=\cos \left(4.5^{\circ \right)={\frac {1 {2 {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5 {2
5.625 ° : إثنا وثلاثيني الأضلاع (مضلع ذو32 ضلعًا)
sin ( π 32 ) = sin ( 5.625 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 2 + 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi {32 \right)=\sin \left(5.625^{\circ \right)={\frac {1 {2 {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 cos ( π 32 ) = cos ( 5.625 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 2 + 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi {32 \right)=\cos \left(5.625^{\circ \right)={\frac {1 {2 {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2
6 ° : ثلاثيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو30 ضلعًا)
sin π 30 = sin 6 ∘ = 30 − 180 − 5 − 1 8 {\displaystyle \sin {\frac {\pi {30 =\sin 6^{\circ ={\frac {{\sqrt {30-{\sqrt {180 -{\sqrt {5 -1 {8 \, cos π 30 = cos 6 ∘ = 10 − 20 + 3 + 15 8 {\displaystyle \cos {\frac {\pi {30 =\cos 6^{\circ ={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20 +{\sqrt {3 +{\sqrt {15 {8 \, tan π 30 = tan 6 ∘ = 10 − 20 + 3 − 15 2 {\displaystyle \tan {\frac {\pi {30 =\tan 6^{\circ ={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20 +{\sqrt {3 -{\sqrt {15 {2 \, cot π 30 = cot 6 ∘ = 27 + 15 + 50 + 2420 2 {\displaystyle \cot {\frac {\pi {30 =\cot 6^{\circ ={\frac {{\sqrt {27 +{\sqrt {15 +{\sqrt {50+{\sqrt {2420 {2 \,
7.5 ° : أربع وعشريني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو24 ضلعًا)
sin ( π 24 ) = sin ( 7.5 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 3 = 1 4 8 − 2 6 − 2 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi {24 \right)=\sin \left(7.5^{\circ \right)={\frac {1 {2 {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3 ={\frac {1 {4 {\sqrt {8-2{\sqrt {6 -2{\sqrt {2 cos ( π 24 ) = cos ( 7.5 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 3 = 1 4 8 + 2 6 + 2 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi {24 \right)=\cos \left(7.5^{\circ \right)={\frac {1 {2 {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3 ={\frac {1 {4 {\sqrt {8+2{\sqrt {6 +2{\sqrt {2 tan ( π 24 ) = tan ( 7.5 ∘ ) = 6 − 3 + 2 − 2 = ( 2 − 1 ) ( 3 − 2 ) {\displaystyle \tan \left({\frac {\pi {24 \right)=\tan \left(7.5^{\circ \right)={\sqrt {6 -{\sqrt {3 +{\sqrt {2 -2\ =\left({\sqrt {2 -1\right)\left({\sqrt {3 -{\sqrt {2 \right) cot ( π 24 ) = cot ( 7.5 ∘ ) = 6 + 3 + 2 + 2 = ( 2 + 1 ) ( 3 + 2 ) {\displaystyle \cot \left({\frac {\pi {24 \right)=\cot \left(7.5^{\circ \right)={\sqrt {6 +{\sqrt {3 +{\sqrt {2 +2\ =\left({\sqrt {2 +1\right)\left({\sqrt {3 +{\sqrt {2 \right)
9 ° : عشروني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو20 ضلعًا)
sin π 20 = sin 9 ∘ = 1 2 2 − 5 + 5 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi {20 =\sin 9^{\circ ={\frac {1 {2 {\sqrt {2-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5 {2 cos π 20 = cos 9 ∘ = 1 2 2 + 5 + 5 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi {20 =\cos 9^{\circ ={\frac {1 {2 {\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5 {2 tan π 20 = tan 9 ∘ = 5 + 1 − 5 + 2 5 {\displaystyle \tan {\frac {\pi {20 =\tan 9^{\circ ={\sqrt {5 +1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5 \, cot π 20 = cot 9 ∘ = 5 + 1 + 5 + 2 5 {\displaystyle \cot {\frac {\pi {20 =\cot 9^{\circ ={\sqrt {5 +1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5 \,
11.25 ° : ستة عشري الأضلاع المنتظم
sin π 16 = sin 11.25 ∘ = 1 2 2 − 2 + 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi {16 =\sin 11.25^{\circ ={\frac {1 {2 {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2 cos π 16 = cos 11.25 ∘ = 1 2 2 + 2 + 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi {16 =\cos 11.25^{\circ ={\frac {1 {2 {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 tan π 16 = tan 11.25 ∘ = 4 + 2 2 − 2 − 1 {\displaystyle \tan {\frac {\pi {16 =\tan 11.25^{\circ ={\sqrt {4+2{\sqrt {2 -{\sqrt {2 -1 cot π 16 = cot 11.25 ∘ = 4 + 2 2 + 2 + 1 {\displaystyle \cot {\frac {\pi {16 =\cot 11.25^{\circ ={\sqrt {4+2{\sqrt {2 +{\sqrt {2 +1
12 ° : خمسة عشري الأضلاع المنتظم
sin π 15 = sin 12 ∘ = 1 8 [ 2 ( 5 + 5 ) + 3 − 15 ] {\displaystyle \sin {\frac {\pi {15 =\sin 12^{\circ ={\tfrac {1 {8 \left[{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5 \right) +{\sqrt {3 -{\sqrt {15 \right]\, cos π 15 = cos 12 ∘ = 1 8 [ 6 ( 5 + 5 ) + 5 − 1 ] {\displaystyle \cos {\frac {\pi {15 =\cos 12^{\circ ={\tfrac {1 {8 \left[{\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5 \right) +{\sqrt {5 -1\right]\, tan π 15 = tan 12 ∘ = 1 2 [ 3 3 − 15 − 2 ( 25 − 11 5 ) ] {\displaystyle \tan {\frac {\pi {15 =\tan 12^{\circ ={\tfrac {1 {2 \left[3{\sqrt {3 -{\sqrt {15 -{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5 \right) \,\right]\, cot π 15 = cot 12 ∘ = 1 2 [ 15 + 3 + 2 ( 5 + 5 ) ] {\displaystyle \cot {\frac {\pi {15 =\cot 12^{\circ ={\tfrac {1 {2 \left[{\sqrt {15 +{\sqrt {3 +{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5 \right) \,\right]\,
15 ° : إثنا عشري الأضلاع المنتظم
sin π 12 = sin 15 ∘ = 1 4 ( 6 − 2 ) = 1 2 2 − 3 {\displaystyle \sin {\frac {\pi {12 =\sin 15^{\circ ={\frac {1 {4 \left({\sqrt {6 -{\sqrt {2 \right)={\frac {1 {2 {\sqrt {2-{\sqrt {3 cos π 12 = cos 15 ∘ = 1 4 ( 6 + 2 ) = 1 2 2 + 3 {\displaystyle \cos {\frac {\pi {12 =\cos 15^{\circ ={\frac {1 {4 \left({\sqrt {6 +{\sqrt {2 \right)={\frac {1 {2 {\sqrt {2+{\sqrt {3 tan π 12 = tan 15 ∘ = 2 − 3 {\displaystyle \tan {\frac {\pi {12 =\tan 15^{\circ =2-{\sqrt {3 \, cot π 12 = cot 15 ∘ = 2 + 3 {\displaystyle \cot {\frac {\pi {12 =\cot 15^{\circ =2+{\sqrt {3 \,
18 ° : عشري الأضلاع منتظم
sin π 10 = sin 18 ∘ = 1 4 ( 5 − 1 ) {\displaystyle \sin {\frac {\pi {10 =\sin 18^{\circ ={\tfrac {1 {4 \left({\sqrt {5 -1\right)\, cos π 10 = cos 18 ∘ = 1 4 2 ( 5 + 5 ) {\displaystyle \cos {\frac {\pi {10 =\cos 18^{\circ ={\tfrac {1 {4 {\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5 \right) \, tan π 10 = tan 18 ∘ = 1 5 5 ( 5 − 2 5 ) {\displaystyle \tan {\frac {\pi {10 =\tan 18^{\circ ={\tfrac {1 {5 {\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5 \right) \, cot π 10 = cot 18 ∘ = 5 + 2 5 {\displaystyle \cot {\frac {\pi {10 =\cot 18^{\circ ={\sqrt {5+2{\sqrt {5 \,
21 ° : مجموعتسعة درجة + 12 درجة
sin 7 π 60 = sin 21 ∘ = 1 16 ( 2 ( 3 + 1 ) 5 − 5 − ( 6 − 2 ) ( 1 + 5 ) ) {\displaystyle \sin {\frac {7\pi {60 =\sin 21^{\circ ={\frac {1 {16 \left(2\left({\sqrt {3 +1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5 -\left({\sqrt {6 -{\sqrt {2 \right)\left(1+{\sqrt {5 \right)\right)\, cos 7 π 60 = cos 21 ∘ = 1 16 ( 2 ( 3 − 1 ) 5 − 5 + ( 6 + 2 ) ( 1 + 5 ) ) {\displaystyle \cos {\frac {7\pi {60 =\cos 21^{\circ ={\frac {1 {16 \left(2\left({\sqrt {3 -1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5 +\left({\sqrt {6 +{\sqrt {2 \right)\left(1+{\sqrt {5 \right)\right)\, tan 7 π 60 = tan 21 ∘ = 1 4 ( 2 − ( 2 + 3 ) ( 3 − 5 ) ) ( 2 − 2 ( 5 + 5 ) ) {\displaystyle \tan {\frac {7\pi {60 =\tan 21^{\circ ={\frac {1 {4 \left(2-\left(2+{\sqrt {3 \right)\left(3-{\sqrt {5 \right)\right)\left(2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5 \right) \right)\, cot 7 π 60 = cot 21 ∘ = 1 4 ( 2 − ( 2 − 3 ) ( 3 − 5 ) ) ( 2 + 2 ( 5 + 5 ) ) {\displaystyle \cot {\frac {7\pi {60 =\cot 21^{\circ ={\frac {1 {4 \left(2-\left(2-{\sqrt {3 \right)\left(3-{\sqrt {5 \right)\right)\left(2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5 \right) \right)\,
22.5 ° : المثمن المنتظم
sin π 8 = sin 22.5 ∘ = 1 2 2 − 2 , {\displaystyle \sin {\frac {\pi {8 =\sin 22.5^{\circ ={\frac {1 {2 {\sqrt {2-{\sqrt {2 , cos π 8 = cos 22.5 ∘ = 1 2 2 + 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi {8 =\cos 22.5^{\circ ={\frac {1 {2 {\sqrt {2+{\sqrt {2 \, tan π 8 = tan 22.5 ∘ = 2 − 1 {\displaystyle \tan {\frac {\pi {8 =\tan 22.5^{\circ ={\sqrt {2 -1\, cot π 8 = cot 22.5 ∘ = 2 + 1 = δ S {\displaystyle \cot {\frac {\pi {8 =\cot 22.5^{\circ ={\sqrt {2 +1=\delta _{S \,
حيث δ S هوالعدد الفضي.
24 ° : مجموع 12 درجة + 12 درجة
sin 2 π 15 = sin 24 ∘ = 1 8 [ 15 + 3 − 2 ( 5 − 5 ) ] {\displaystyle \sin {\frac {2\pi {15 =\sin 24^{\circ ={\tfrac {1 {8 \left[{\sqrt {15 +{\sqrt {3 -{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5 \right) \right]\, cos 2 π 15 = cos 24 ∘ = 1 8 ( 6 ( 5 − 5 ) + 5 + 1 ) {\displaystyle \cos {\frac {2\pi {15 =\cos 24^{\circ ={\tfrac {1 {8 \left({\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5 \right) +{\sqrt {5 +1\right)\, tan 2 π 15 = tan 24 ∘ = 1 2 [ 50 + 22 5 − 3 3 − 15 ] {\displaystyle \tan {\frac {2\pi {15 =\tan 24^{\circ ={\tfrac {1 {2 \left[{\sqrt {50+22{\sqrt {5 -3{\sqrt {3 -{\sqrt {15 \right]\, cot 2 π 15 = cot 24 ∘ = 1 2 [ 15 − 3 + 2 ( 5 − 5 ) ] {\displaystyle \cot {\frac {2\pi {15 =\cot 24^{\circ ={\tfrac {1 {2 \left[{\sqrt {15 -{\sqrt {3 +{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5 \right) \right]\,
27 ° : مجموع 12 درجة + 15 درجة
sin 3 π 20 = sin 27 ∘ = 1 8 [ 2 5 + 5 − 2 ( 5 − 1 ) ] {\displaystyle \sin {\frac {3\pi {20 =\sin 27^{\circ ={\tfrac {1 {8 \left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5 -{\sqrt {2 \;\left({\sqrt {5 -1\right)\right]\, cos 3 π 20 = cos 27 ∘ = 1 8 [ 2 5 + 5 + 2 ( 5 − 1 ) ] {\displaystyle \cos {\frac {3\pi {20 =\cos 27^{\circ ={\tfrac {1 {8 \left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5 +{\sqrt {2 \;\left({\sqrt {5 -1\right)\right]\, tan 3 π 20 = tan 27 ∘ = 5 − 1 − 5 − 2 5 {\displaystyle \tan {\frac {3\pi {20 =\tan 27^{\circ ={\sqrt {5 -1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5 \, cot 3 π 20 = cot 27 ∘ = 5 − 1 + 5 − 2 5 {\displaystyle \cot {\frac {3\pi {20 =\cot 27^{\circ ={\sqrt {5 -1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5 \,
30 ° : المسدس المنتظم
sin π 6 = sin 30 ∘ = 1 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi {6 =\sin 30^{\circ ={\frac {1 {2 \, cos π 6 = cos 30 ∘ = 3 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi {6 =\cos 30^{\circ ={\frac {\sqrt {3 {2 \, tan π 6 = tan 30 ∘ = 3 3 = 1 3 {\displaystyle \tan {\frac {\pi {6 =\tan 30^{\circ ={\frac {\sqrt {3 {3 ={\frac {1 {\sqrt {3 \, cot π 6 = cot 30 ∘ = 3 {\displaystyle \cot {\frac {\pi {6 =\cot 30^{\circ ={\sqrt {3 \,
33 ° : مجموع 15 درجة + 18 درجة
sin 11 π 60 = sin 33 ∘ = 1 16 [ 2 ( 3 − 1 ) 5 + 5 + 2 ( 1 + 3 ) ( 5 − 1 ) ] {\displaystyle \sin {\frac {11\pi {60 =\sin 33^{\circ ={\tfrac {1 {16 \left[2\left({\sqrt {3 -1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5 +{\sqrt {2 \left(1+{\sqrt {3 \right)\left({\sqrt {5 -1\right)\right]\, cos 11 π 60 = cos 33 ∘ = 1 16 [ 2 ( 3 + 1 ) 5 + 5 + 2 ( 1 − 3 ) ( 5 − 1 ) ] {\displaystyle \cos {\frac {11\pi {60 =\cos 33^{\circ ={\tfrac {1 {16 \left[2\left({\sqrt {3 +1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5 +{\sqrt {2 \left(1-{\sqrt {3 \right)\left({\sqrt {5 -1\right)\right]\, tan 11 π 60 = tan 33 ∘ = 1 4 [ 2 − ( 2 − 3 ) ( 3 + 5 ) ] [ 2 + 2 ( 5 − 5 ) ] {\displaystyle \tan {\frac {11\pi {60 =\tan 33^{\circ ={\tfrac {1 {4 \left[2-\left(2-{\sqrt {3 \right)\left(3+{\sqrt {5 \right)\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5 \right) \,\right]\, cot 11 π 60 = cot 33 ∘ = 1 4 [ 2 − ( 2 + 3 ) ( 3 + 5 ) ] [ 2 − 2 ( 5 − 5 ) ] {\displaystyle \cot {\frac {11\pi {60 =\cot 33^{\circ ={\tfrac {1 {4 \left[2-\left(2+{\sqrt {3 \right)\left(3+{\sqrt {5 \right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5 \right) \,\right]\,
36 ° : الخماسي المنتظم
sin π 5 = sin 36 ∘ = 1 4 10 − 2 5 {\displaystyle \sin {\frac {\pi {5 =\sin 36^{\circ ={\frac {1 {4 {\sqrt {10-2{\sqrt {5 cos π 5 = cos 36 ∘ = 5 + 1 4 = φ 2 , {\displaystyle \cos {\frac {\pi {5 =\cos 36^{\circ ={\frac {{\sqrt {5 +1 {4 ={\frac {\varphi {2 ,
حيث φ
tan π 5 = tan 36 ∘ = 5 − 2 5 {\displaystyle \tan {\frac {\pi {5 =\tan 36^{\circ ={\sqrt {5-2{\sqrt {5 \, cot π 5 = cot 36 ∘ = 1 5 25 + 10 5 {\displaystyle \cot {\frac {\pi {5 =\cot 36^{\circ ={\frac {1 {5 {\sqrt {25+10{\sqrt {5
39 ° : مجموع 18 درجة + 21 درجة
sin 13 π 60 = sin 39 ∘ = 1 16 [ 2 ( 1 − 3 ) 5 − 5 + 2 ( 3 + 1 ) ( 5 + 1 ) ] {\displaystyle \sin {\frac {13\pi {60 =\sin 39^{\circ ={\tfrac {1 {16 \left[2\left(1-{\sqrt {3 \right){\sqrt {5-{\sqrt {5 +{\sqrt {2 \left({\sqrt {3 +1\right)\left({\sqrt {5 +1\right)\right]\, cos 13 π 60 = cos 39 ∘ = 1 16 [ 2 ( 1 + 3 ) 5 − 5 + 2 ( 3 − 1 ) ( 5 + 1 ) ] {\displaystyle \cos {\frac {13\pi {60 =\cos 39^{\circ ={\tfrac {1 {16 \left[2\left(1+{\sqrt {3 \right){\sqrt {5-{\sqrt {5 +{\sqrt {2 \left({\sqrt {3 -1\right)\left({\sqrt {5 +1\right)\right]\, tan 13 π 60 = tan 39 ∘ = 1 4 [ ( 2 − 3 ) ( 3 − 5 ) − 2 ] [ 2 − 2 ( 5 + 5 ) ] {\displaystyle \tan {\frac {13\pi {60 =\tan 39^{\circ ={\tfrac {1 {4 \left[\left(2-{\sqrt {3 \right)\left(3-{\sqrt {5 \right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5 \right) \,\right]\, cot 13 π 60 = cot 39 ∘ = 1 4 [ ( 2 + 3 ) ( 3 − 5 ) − 2 ] [ 2 + 2 ( 5 + 5 ) ] {\displaystyle \cot {\frac {13\pi {60 =\cot 39^{\circ ={\tfrac {1 {4 \left[\left(2+{\sqrt {3 \right)\left(3-{\sqrt {5 \right)-2\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5 \right) \,\right]\,
42 ° : مجموع 21 درجة + 21 درجة
sin 7 π 30 = sin 42 ∘ = 30 + 180 − 5 + 1 8 {\displaystyle \sin {\frac {7\pi {30 =\sin 42^{\circ ={\frac {{\sqrt {30+{\sqrt {180 -{\sqrt {5 +1 {8 \, cos 7 π 30 = cos 42 ∘ = 15 − 3 + 10 + 20 8 {\displaystyle \cos {\frac {7\pi {30 =\cos 42^{\circ ={\frac {{\sqrt {15 -{\sqrt {3 +{\sqrt {10+{\sqrt {20 {8 \, tan 7 π 30 = tan 42 ∘ = 15 + 3 − 10 + 20 2 {\displaystyle \tan {\frac {7\pi {30 =\tan 42^{\circ ={\frac {{\sqrt {15 +{\sqrt {3 -{\sqrt {10+{\sqrt {20 {2 \, cot 7 π 30 = cot 42 ∘ = 50 − 2420 + 27 − 15 2 {\displaystyle \cot {\frac {7\pi {30 =\cot 42^{\circ ={\frac {{\sqrt {50-{\sqrt {2420 +{\sqrt {27 -{\sqrt {15 {2 \,
45 ° : مربع
sin π 4 = sin 45 ∘ = 2 2 = 1 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi {4 =\sin 45^{\circ ={\frac {\sqrt {2 {2 ={\frac {1 {\sqrt {2 \, cos π 4 = cos 45 ∘ = 2 2 = 1 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi {4 =\cos 45^{\circ ={\frac {\sqrt {2 {2 ={\frac {1 {\sqrt {2 \, tan π 4 = tan 45 ∘ = 1 {\displaystyle \tan {\frac {\pi {4 =\tan 45^{\circ =1\, cot π 4 = cot 45 ∘ = 1 {\displaystyle \cot {\frac {\pi {4 =\cot 45^{\circ =1\,
54 ° : مجموع 27 درجة + 27 درجة
sin 3 π 10 = sin 54 ∘ = 5 + 1 4 {\displaystyle \sin {\frac {3\pi {10 =\sin 54^{\circ ={\frac {{\sqrt {5 +1 {4 \,\! cos 3 π 10 = cos 54 ∘ = 10 − 2 5 4 {\displaystyle \cos {\frac {3\pi {10 =\cos 54^{\circ ={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5 {4 tan 3 π 10 = tan 54 ∘ = 25 + 10 5 5 {\displaystyle \tan {\frac {3\pi {10 =\tan 54^{\circ ={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5 {5 \, cot 3 π 10 = cot 54 ∘ = 5 − 20 {\displaystyle \cot {\frac {3\pi {10 =\cot 54^{\circ ={\sqrt {5-{\sqrt {20 \,
60 ° : مثلث متساوي الأضلاع
sin π 3 = sin 60 ∘ = 3 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi {3 =\sin 60^{\circ ={\frac {\sqrt {3 {2 \, cos π 3 = cos 60 ∘ = 1 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi {3 =\cos 60^{\circ ={\frac {1 {2 \, tan π 3 = tan 60 ∘ = 3 {\displaystyle \tan {\frac {\pi {3 =\tan 60^{\circ ={\sqrt {3 \, cot π 3 = cot 60 ∘ = 3 3 = 1 3 {\displaystyle \cot {\frac {\pi {3 =\cot 60^{\circ ={\frac {\sqrt {3 {3 ={\frac {1 {\sqrt {3 \,
67.5 ° : مجموع 7.5 درجة + 60 درجة
sin 3 π 8 = sin 67.5 ∘ = 1 2 2 + 2 {\displaystyle \sin {\frac {3\pi {8 =\sin 67.5^{\circ ={\tfrac {1 {2 {\sqrt {2+{\sqrt {2 \, cos 3 π 8 = cos 67.5 ∘ = 1 2 2 − 2 {\displaystyle \cos {\frac {3\pi {8 =\cos 67.5^{\circ ={\tfrac {1 {2 {\sqrt {2-{\sqrt {2 \, tan 3 π 8 = tan 67.5 ∘ = 2 + 1 {\displaystyle \tan {\frac {3\pi {8 =\tan 67.5^{\circ ={\sqrt {2 +1\, cot 3 π 8 = cot 67.5 ∘ = 2 − 1 {\displaystyle \cot {\frac {3\pi {8 =\cot 67.5^{\circ ={\sqrt {2 -1\,
72 ° : مجموع 36 درجة + 36 درجة
sin 2 π 5 = sin 72 ∘ = 1 4 2 ( 5 + 5 ) {\displaystyle \sin {\frac {2\pi {5 =\sin 72^{\circ ={\tfrac {1 {4 {\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5 \right) \, cos 2 π 5 = cos 72 ∘ = 1 4 ( 5 − 1 ) {\displaystyle \cos {\frac {2\pi {5 =\cos 72^{\circ ={\tfrac {1 {4 \left({\sqrt {5 -1\right)\,
tan 2 π 5 = tan 72 ∘ = 5 + 2 5 {\displaystyle \tan {\frac {2\pi {5 =\tan 72^{\circ ={\sqrt {5+2{\sqrt {5 \, cot 2 π 5 = cot 72 ∘ = 1 5 5 ( 5 − 2 5 ) {\displaystyle \cot {\frac {2\pi {5 =\cot 72^{\circ ={\tfrac {1 {5 {\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5 \right) \,
75 ° : مجموع 30 درجة + 45 درجة
sin 5 π 12 = sin 75 ∘ = 1 4 ( 6 + 2 ) {\displaystyle \sin {\frac {5\pi {12 =\sin 75^{\circ ={\tfrac {1 {4 \left({\sqrt {6 +{\sqrt {2 \right)\, cos 5 π 12 = cos 75 ∘ = 1 4 ( 6 − 2 ) {\displaystyle \cos {\frac {5\pi {12 =\cos 75^{\circ ={\tfrac {1 {4 \left({\sqrt {6 -{\sqrt {2 \right)\, tan 5 π 12 = tan 75 ∘ = 2 + 3 {\displaystyle \tan {\frac {5\pi {12 =\tan 75^{\circ =2+{\sqrt {3 \, cot 5 π 12 = cot 75 ∘ = 2 − 3 {\displaystyle \cot {\frac {5\pi {12 =\cot 75^{\circ =2-{\sqrt {3 \,
90 ° : أساسي
sin π 2 = sin 90 ∘ = 1 {\displaystyle \sin {\frac {\pi {2 =\sin 90^{\circ =1\, cos π 2 = cos 90 ∘ = 0 {\displaystyle \cos {\frac {\pi {2 =\cos 90^{\circ =0\,
tan π 2 = tan 90 ∘ = {\displaystyle \tan {\frac {\pi {2 =\tan 90^{\circ =
cot π 2 = cot 90 ∘ = 0 {\displaystyle \cot {\frac {\pi {2 =\cot 90^{\circ =0\,
قائمة الثوابت المثلثية لـ 2π / n
بالنسبة إلى الجذور التكعيبية للأعداد غير الحقيقية التي تظهر في هذا الجدول، يجب أخذ القيمة الأساسية، وهذا يعني حتى الجذر التكعيبي يحتوي على أكبر جزء حقيقي؛ هذا الجزء الأكبر الحقيقي هودائما موجب. لذلك، فإن مجموع الجذور التكعيبية التي تظهر في الجدول كلها أعداد حقيقية موجبة.
n sin ( 2 π n ) cos ( 2 π n ) tan ( 2 π n ) 1 0 1 0 2 0 − 1 0 3 1 2 3 − 1 2 − 3 4 1 0 ± ∞ 5 1 4 ( 10 + 2 5 ) 1 4 ( 5 − 1 ) 5 + 2 5 6 1 2 3 1 2 3 7 1 2 1 3 ( 7 − 7 + 21 − 3 2 3 − 7 − 21 − 3 2 3 ) 1 6 ( − 1 + 7 + 21 − 3 2 3 + 7 − 21 − 3 2 3 ) 8 1 2 2 1 2 2 1 9 i 2 ( − 1 − − 3 2 3 − − 1 + − 3 2 3 ) 1 2 ( − 1 + − 3 2 3 + − 1 − − 3 2 3 ) 10 1 4 ( 10 − 2 5 ) 1 4 ( 5 + 1 ) 5 − 2 5 11 12 1 2 1 2 3 1 3 3 13 14 1 24 3 ( 112 − 14336 + − 5549064193 3 − 14336 − − 5549064193 3 ) 1 24 3 ( 80 + 14336 + − 5549064193 3 + 14336 − − 5549064193 3 ) 112 − 14336 + − 5549064193 3 − 14336 − − 5549064193 3 80 + 14336 + − 5549064193 3 + 14336 − − 5549064193 3 15 1 8 ( 15 + 3 − 10 − 2 5 ) 1 8 ( 1 + 5 + 30 − 6 5 ) 1 2 ( − 3 3 − 15 + 50 + 22 5 ) 16 1 2 ( 2 − 2 ) 1 2 ( 2 + 2 ) 2 − 1 17 1 16 ( − 1 + 17 + 34 − 2 17 + 2 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 ) 18 i 4 ( 4 − 4 − 3 3 − 4 + 4 − 3 3 ) 1 4 ( 4 + 4 − 3 3 + 4 − 4 − 3 3 ) 19 20 1 4 ( 5 − 1 ) 1 4 ( 10 + 2 5 ) 1 5 ( 25 − 10 5 ) 21 22 23 24 1 4 ( 6 − 2 ) 1 4 ( 6 + 2 ) 2 − 3 {\displaystyle {\begin{array {r|l|l|l n&\sin \left({\frac {2\pi {n \right)&\cos \left({\frac {2\pi {n \right)&\tan \left({\frac {2\pi {n \right)\\\hline 1&0&1&0\\\hline 2&0&-1&0\\\hline 3&{\frac {1 {2 {\sqrt {3 &-{\frac {1 {2 &-{\sqrt {3 \\\hline 4&1&0&\pm \infty \\\hline 5&{\frac {1 {4 \left({\sqrt {10+2{\sqrt {5 \right)&{\frac {1 {4 \left({\sqrt {5 -1\right)&{\sqrt {5+2{\sqrt {5 \\\hline 6&{\frac {1 {2 {\sqrt {3 &{\frac {1 {2 &{\sqrt {3 \\\hline 7&{\frac {1 {2 {\sqrt {{\frac {1 {3 \left(7-{\sqrt[{3 ]{\frac {7+21{\sqrt {-3 {2 -{\sqrt[{3 ]{\frac {7-21{\sqrt {-3 {2 \right) &{\frac {1 {6 \left(-1+{\sqrt[{3 ]{\frac {7+21{\sqrt {-3 {2 +{\sqrt[{3 ]{\frac {7-21{\sqrt {-3 {2 \right)&\\\hline 8&{\frac {1 {2 {\sqrt {2 &{\frac {1 {2 {\sqrt {2 &1\\\hline 9&{\frac {i {2 \left({\sqrt[{3 ]{\frac {-1-{\sqrt {-3 {2 -{\sqrt[{3 ]{\frac {-1+{\sqrt {-3 {2 \right)&{\frac {1 {2 \left({\sqrt[{3 ]{\frac {-1+{\sqrt {-3 {2 +{\sqrt[{3 ]{\frac {-1-{\sqrt {-3 {2 \right)&\\\hline 10&{\frac {1 {4 \left({\sqrt {10-2{\sqrt {5 \right)&{\frac {1 {4 \left({\sqrt {5 +1\right)&{\sqrt {5-2{\sqrt {5 \\\hline 11&&&\\\hline 12&{\frac {1 {2 &{\frac {1 {2 {\sqrt {3 &{\frac {1 {3 {\sqrt {3 \\\hline 13&&&\\\hline 14&{\frac {1 {24 {\sqrt {3\left(112-{\sqrt[{3 ]{14336+{\sqrt {-5549064193 -{\sqrt[{3 ]{14336-{\sqrt {-5549064193 \right) &{\frac {1 {24 {\sqrt {3\left(80+{\sqrt[{3 ]{14336+{\sqrt {-5549064193 +{\sqrt[{3 ]{14336-{\sqrt {-5549064193 \right) &{\sqrt {\frac {112-{\sqrt[{3 ]{14336+{\sqrt {-5549064193 -{\sqrt[{3 ]{14336-{\sqrt {-5549064193 {80+{\sqrt[{3 ]{14336+{\sqrt {-5549064193 +{\sqrt[{3 ]{14336-{\sqrt {-5549064193 \\\hline 15&{\frac {1 {8 \left({\sqrt {15 +{\sqrt {3 -{\sqrt {10-2{\sqrt {5 \right)&{\frac {1 {8 \left(1+{\sqrt {5 +{\sqrt {30-6{\sqrt {5 \right)&{\frac {1 {2 \left(-3{\sqrt {3 -{\sqrt {15 +{\sqrt {50+22{\sqrt {5 \right)\\\hline 16&{\frac {1 {2 \left({\sqrt {2-{\sqrt {2 \right)&{\frac {1 {2 \left({\sqrt {2+{\sqrt {2 \right)&{\sqrt {2 -1\\\hline 17&&{\frac {1 {16 \left(-1+{\sqrt {17 +{\sqrt {34-2{\sqrt {17 +2{\sqrt {17+3{\sqrt {17 -{\sqrt {34-2{\sqrt {17 -2{\sqrt {34+2{\sqrt {17 \right)&\\\hline 18&{\frac {i {4 \left({\sqrt[{3 ]{4-4{\sqrt {-3 -{\sqrt[{3 ]{4+4{\sqrt {-3 \right)&{\frac {1 {4 \left({\sqrt[{3 ]{4+4{\sqrt {-3 +{\sqrt[{3 ]{4-4{\sqrt {-3 \right)&\\\hline 19&&&\\\hline 20&{\frac {1 {4 \left({\sqrt {5 -1\right)&{\frac {1 {4 \left({\sqrt {10+2{\sqrt {5 \right)&{\frac {1 {5 \left({\sqrt {25-10{\sqrt {5 \right)\\\hline 21&&&\\\hline 22&&&\\\hline 23&&&\\\hline 24&{\frac {1 {4 \left({\sqrt {6 -{\sqrt {2 \right)&{\frac {1 {4 \left({\sqrt {6 +{\sqrt {2 \right)&2-{\sqrt {3 \end{array
ملاحظات
استخدامات الثوابت
كمثال على استخدام هذه الثوابت، نعتبر حجم إثنا عشري السطوح المنتظم ، حيث a هوطول إحدى أحرفه:
V = 5 a 3 cos 36 ∘ tan 2 36 ∘ {\displaystyle V={\frac {5a^{3 \cos 36^{\circ {\tan ^{2 {36^{\circ باستخدام: cos 36 ∘ = 5 + 1 4 {\displaystyle \cos 36^{\circ ={\frac {{\sqrt {5 +1 {4
tan 36 ∘ = 5 − 2 5 {\displaystyle \tan 36^{\circ ={\sqrt {5-2{\sqrt {5 يمكن تبسيط هذا إلى:
V = a 3 ( 15 + 7 5 ) 4 {\displaystyle V={\frac {a^{3 \left(15+7{\sqrt {5 \right) {4
اشتقاق القيم من المثلثات
مضلع منتظم (ذوn ضلعًا) ومثلثه القائم الأساسي. الزوايا:
a =
180° / n و
b =90(1 − 2 / n
يعتمد اشتقاق القيم الدقيقة للجيب وجيب التمام والظل على انشاء المثلثات القائمة.
هنا تستخدم المثلثات القائمة التي أنشئت من قِطَع التناظر للمضلعات العادية لحساب النسب المثلثية الأساسية. يمثل جميع مثلث قائم ثلاث نقاط في مضلع عادي: الرأس، مركز الحافة الحاوية لهذا الرأس، ومركز المضلع. يمكن تقسيم مضلع ذوn ضلعًا إلى 2n مثلثات قائمة ذات زوايا 180 / n 90 − 180 / n ، و90° ، من أجل n = ثلاثة , أربعة ,خمسة , ... .
قابلية إنشاء المضلعات ذات ثلاثة وأربعة وخمسة و15 ضلعًا هي الأساس، كما تسمح منصفات الزوايا باشتقاق مضاعفات تلك أعداد الأضلاع في اثنان أيضًا.
القابلة للإنشاء
مضلعات منتظمة ذات 3 × 2n n = 0, 1, 2, 3, ...
مثلث ذوزوايا 30°-60°-90° : مثلث
مثلث ذوزوايا 60°-30°-90° : سداسي (ذوستة أضلاع)
مثلث ذوزوايا 75°-15°-90° : إثنا عشري الأضلاع
مثلث ذوزوايا 82.5°-7.5°-90° : أربعة وعشروني الأضلاع
مثلث ذوزوايا 86.25°-3.75°-90° : ثمانية وأربعوني الأضلاع
مثلث ذوزوايا 88.125°-1.875°-90° : ستة وتسعوني الأضلاع
مثلث ذوزوايا 89.0625°-0.9375°-90° : ذو192 ضلعًا
مثلث ذوزوايا 89.53125°-0.46875°-90° : ذو384 ضلعًا
...
ذو4 × 2n
مثلث ذوزوايا 45°-45°-90° : مربع
مثلث ذوزوايا 67.5°-22.5°-90° : ثماني الأضلاع
مثلث ذوزوايا 78.75°-11.25°-90° : ستة عشري الأضلاع
مثلث ذوزوايا 84.375°-5.625°-90° : إثنان وثلاثوني الأضلاع
مثلث ذوزوايا 87.1875°-2.8125°-90° : أربعة وستوني الأضلاع
مثلث ذوزوايا 88.09375°-1.40625°-90° : ذو128 ضلعًا
مثلث ذوزوايا 89.046875°-0.703125°-90° : ذو256 ضلعًا
...
ذو5 × 2n
مثلث ذوزوايا 54°-36°-90° : خماسي الأضلاع
مثلث ذوزوايا 72°-18°-90° : عشري الأضلاع
مثلث ذوزوايا 81°-9°-90° : عشروني الأضلاع
مثلث ذوزوايا 85.5°-4.5°-90° : أربعوني الأضلاع
مثلث ذوزوايا 87.75°-2.25°-90° : ثمانوني الأضلاع
مثلث ذوزوايا 88.875°-1.125°-90° : ذو160 ضلعًا
مثلث ذوزوايا 89.4375°-0.5625°-90° : ذو320 ضلعا
...
ذو15 × 2n
مثلث ذوزوايا 78°-12°-90° : خمسة عشري الأضلاع
مثلث ذوزوايا 84°-6°-90° : ثلاثوني الأضلاع
مثلث ذوزوايا 87°-3°-90° : ستوني الأضلاع
مثلث ذوزوايا 88.5°-1.5°-90° : ذو120 ضلعًا
مثلث ذوزوايا 89.25°-0.75°-90° : ذو240 ضلعًا
...
هناك أيضًا مضلعات منتظمة أخرى قابلة للإنشاء: 17, 51, 85, 255, 257, 353, 449, 641, 1409, 2547, ..., 65535, 65537, 69481, 73697, ..., 4294967295.)
غير القابلة للإنشاء – التعبيرات الجذرية اللانهائية التي تتضمن أعدادًا حقيقية لتلك نسب أضلاع المثلث ممكنة، وبالتالي فإن مضاعفاتها في اثنان غير ممكنة أيضًا.
ذو9 × 2n
مثلث ذوزوايا 70°-20°-90° : تساعي الأضلاع
مثلث ذوزوايا 80°-10°-90° : ثمانية عشري الأضلاع
مثلث ذوزوايا 85°-5°-90° : ستة وثلاثوني الأضلاع
مثلث ذوزوايا 87.5°-2.5°-90° : إثنا وسبعوني الأضلاع
...
ذو45 × 2n
مثلث ذوزوايا 86°-4°-90° : خمسة وأربعوني الأضلاع
مثلث ذوزوايا 88°-2°-90° : تسعوني الأضلاع
مثلث ذوزوايا 89°-1°-90° : ذو180 ضلعًا
مثلث ذوزوايا 89.5°-0.5°-90° : ذو360 ضلعًا
...
انظر أيضا
مضلع قابل للإنشاء
انشاء سبعة عشري الأضلاع، يعطي تعبير دقيقة لـ cos 2π / 17 .
قائمة المطابقات المثلثية
مبرهنة نيفن حول القيم الكسرية لجيب مضاعف كسري لـ π
الدوال المثلثية
المراجع
↑ Bradie, Brian (Sep 2002). "Exact values for the sine and cosine of multiples of 18°: A geometric approach". The College Mathematics Journal . 33 (4): 318–319. doi:10.2307/1559057. JSTOR 1559057.
روابط خارجية
المضلعات المنتظمة القابلة للإنشاء
تسمية المضلعات
يتضمن Sine and cosine in surds تعبيرات بديلة في بعض الحالات وكذلك تعبيرات لبعض الزوايا الأخرى.
![{\displaystyle \tan \left({\frac {\pi {60 \right)=\tan \left(3^{\circ \right)={\frac {\left[\left(2-{\sqrt {3 \right)\left(3+{\sqrt {5 \right)-2\right]\left[2-{\sqrt {10-2{\sqrt {5 \right] {4 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3def0c4623027bd006e5772927044dc5f2c82f41)
![{\displaystyle \cot \left({\frac {\pi {60 \right)=\cot \left(3^{\circ \right)={\frac {\left[\left(2+{\sqrt {3 \right)\left(3+{\sqrt {5 \right)-2\right]\left[2+{\sqrt {10-2{\sqrt {5 \right] {4 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5604f62a7ebebb43eb6e64baa6f88872c7e9d069)
![{\displaystyle \sin {\frac {\pi {15 =\sin 12^{\circ ={\tfrac {1 {8 \left[{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5 \right) +{\sqrt {3 -{\sqrt {15 \right]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1228d7e22be483539e4ba91a0b4c9bfaf074eebe)
![{\displaystyle \cos {\frac {\pi {15 =\cos 12^{\circ ={\tfrac {1 {8 \left[{\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5 \right) +{\sqrt {5 -1\right]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2ac6239ea26bcfc4e7eefcc375f7f67b6a0acb)
![{\displaystyle \tan {\frac {\pi {15 =\tan 12^{\circ ={\tfrac {1 {2 \left[3{\sqrt {3 -{\sqrt {15 -{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5 \right) \,\right]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b57f4f65cc3f783c5b77b860a2297a8a8cbab4)
![{\displaystyle \cot {\frac {\pi {15 =\cot 12^{\circ ={\tfrac {1 {2 \left[{\sqrt {15 +{\sqrt {3 +{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5 \right) \,\right]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe18dfa13f93c50f52d019bc3ea48fa0ca9bf472)
![{\displaystyle \sin {\frac {2\pi {15 =\sin 24^{\circ ={\tfrac {1 {8 \left[{\sqrt {15 +{\sqrt {3 -{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5 \right) \right]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08024470722b423345f24249ea960c772fc87ae)
![{\displaystyle \tan {\frac {2\pi {15 =\tan 24^{\circ ={\tfrac {1 {2 \left[{\sqrt {50+22{\sqrt {5 -3{\sqrt {3 -{\sqrt {15 \right]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa351918ed8323175584ed4751bfacf5f61e67e)
![{\displaystyle \cot {\frac {2\pi {15 =\cot 24^{\circ ={\tfrac {1 {2 \left[{\sqrt {15 -{\sqrt {3 +{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5 \right) \right]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/679f693d22aa397b2aa744452edc6d64496e09fd)
![{\displaystyle \sin {\frac {3\pi {20 =\sin 27^{\circ ={\tfrac {1 {8 \left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5 -{\sqrt {2 \;\left({\sqrt {5 -1\right)\right]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598d2e8e06f65d78a64d4c8450bff3de5e5c5220)
![{\displaystyle \cos {\frac {3\pi {20 =\cos 27^{\circ ={\tfrac {1 {8 \left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5 +{\sqrt {2 \;\left({\sqrt {5 -1\right)\right]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ed3130d2995af89ffd7fed92ca75b79e11b580)
![{\displaystyle \sin {\frac {11\pi {60 =\sin 33^{\circ ={\tfrac {1 {16 \left[2\left({\sqrt {3 -1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5 +{\sqrt {2 \left(1+{\sqrt {3 \right)\left({\sqrt {5 -1\right)\right]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67cd8c6ce776c45fc5b1dfaa972f24628f4d57ab)
![{\displaystyle \cos {\frac {11\pi {60 =\cos 33^{\circ ={\tfrac {1 {16 \left[2\left({\sqrt {3 +1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5 +{\sqrt {2 \left(1-{\sqrt {3 \right)\left({\sqrt {5 -1\right)\right]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d8b1c326975404f0f829d7b88fcfd06abfee06)
![{\displaystyle \tan {\frac {11\pi {60 =\tan 33^{\circ ={\tfrac {1 {4 \left[2-\left(2-{\sqrt {3 \right)\left(3+{\sqrt {5 \right)\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5 \right) \,\right]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb93b95e09248b579de718f6c6670c64b38a785)
![{\displaystyle \cot {\frac {11\pi {60 =\cot 33^{\circ ={\tfrac {1 {4 \left[2-\left(2+{\sqrt {3 \right)\left(3+{\sqrt {5 \right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5 \right) \,\right]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637555b8bd052954d2c6cff5ec40071d29d1ffeb)
![{\displaystyle \sin {\frac {13\pi {60 =\sin 39^{\circ ={\tfrac {1 {16 \left[2\left(1-{\sqrt {3 \right){\sqrt {5-{\sqrt {5 +{\sqrt {2 \left({\sqrt {3 +1\right)\left({\sqrt {5 +1\right)\right]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde6336d3d6afde0136a7171d6f40a9e695c3436)
![{\displaystyle \cos {\frac {13\pi {60 =\cos 39^{\circ ={\tfrac {1 {16 \left[2\left(1+{\sqrt {3 \right){\sqrt {5-{\sqrt {5 +{\sqrt {2 \left({\sqrt {3 -1\right)\left({\sqrt {5 +1\right)\right]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84363bc38d47561a10590df7ae08c6353619596)
![{\displaystyle \tan {\frac {13\pi {60 =\tan 39^{\circ ={\tfrac {1 {4 \left[\left(2-{\sqrt {3 \right)\left(3-{\sqrt {5 \right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5 \right) \,\right]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7739885ff94d55132c58be5a2ca59b17eb44037)
![{\displaystyle \cot {\frac {13\pi {60 =\cot 39^{\circ ={\tfrac {1 {4 \left[\left(2+{\sqrt {3 \right)\left(3-{\sqrt {5 \right)-2\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5 \right) \,\right]\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a960ac308ab19d558f2f1c6399a1913bfe1f5ca)
![{\displaystyle {\begin{array {r|l|l|l n&\sin \left({\frac {2\pi {n \right)&\cos \left({\frac {2\pi {n \right)&\tan \left({\frac {2\pi {n \right)\\\hline 1&0&1&0\\\hline 2&0&-1&0\\\hline 3&{\frac {1 {2 {\sqrt {3 &-{\frac {1 {2 &-{\sqrt {3 \\\hline 4&1&0&\pm \infty \\\hline 5&{\frac {1 {4 \left({\sqrt {10+2{\sqrt {5 \right)&{\frac {1 {4 \left({\sqrt {5 -1\right)&{\sqrt {5+2{\sqrt {5 \\\hline 6&{\frac {1 {2 {\sqrt {3 &{\frac {1 {2 &{\sqrt {3 \\\hline 7&{\frac {1 {2 {\sqrt {{\frac {1 {3 \left(7-{\sqrt[{3 ]{\frac {7+21{\sqrt {-3 {2 -{\sqrt[{3 ]{\frac {7-21{\sqrt {-3 {2 \right) &{\frac {1 {6 \left(-1+{\sqrt[{3 ]{\frac {7+21{\sqrt {-3 {2 +{\sqrt[{3 ]{\frac {7-21{\sqrt {-3 {2 \right)&\\\hline 8&{\frac {1 {2 {\sqrt {2 &{\frac {1 {2 {\sqrt {2 &1\\\hline 9&{\frac {i {2 \left({\sqrt[{3 ]{\frac {-1-{\sqrt {-3 {2 -{\sqrt[{3 ]{\frac {-1+{\sqrt {-3 {2 \right)&{\frac {1 {2 \left({\sqrt[{3 ]{\frac {-1+{\sqrt {-3 {2 +{\sqrt[{3 ]{\frac {-1-{\sqrt {-3 {2 \right)&\\\hline 10&{\frac {1 {4 \left({\sqrt {10-2{\sqrt {5 \right)&{\frac {1 {4 \left({\sqrt {5 +1\right)&{\sqrt {5-2{\sqrt {5 \\\hline 11&&&\\\hline 12&{\frac {1 {2 &{\frac {1 {2 {\sqrt {3 &{\frac {1 {3 {\sqrt {3 \\\hline 13&&&\\\hline 14&{\frac {1 {24 {\sqrt {3\left(112-{\sqrt[{3 ]{14336+{\sqrt {-5549064193 -{\sqrt[{3 ]{14336-{\sqrt {-5549064193 \right) &{\frac {1 {24 {\sqrt {3\left(80+{\sqrt[{3 ]{14336+{\sqrt {-5549064193 +{\sqrt[{3 ]{14336-{\sqrt {-5549064193 \right) &{\sqrt {\frac {112-{\sqrt[{3 ]{14336+{\sqrt {-5549064193 -{\sqrt[{3 ]{14336-{\sqrt {-5549064193 {80+{\sqrt[{3 ]{14336+{\sqrt {-5549064193 +{\sqrt[{3 ]{14336-{\sqrt {-5549064193 \\\hline 15&{\frac {1 {8 \left({\sqrt {15 +{\sqrt {3 -{\sqrt {10-2{\sqrt {5 \right)&{\frac {1 {8 \left(1+{\sqrt {5 +{\sqrt {30-6{\sqrt {5 \right)&{\frac {1 {2 \left(-3{\sqrt {3 -{\sqrt {15 +{\sqrt {50+22{\sqrt {5 \right)\\\hline 16&{\frac {1 {2 \left({\sqrt {2-{\sqrt {2 \right)&{\frac {1 {2 \left({\sqrt {2+{\sqrt {2 \right)&{\sqrt {2 -1\\\hline 17&&{\frac {1 {16 \left(-1+{\sqrt {17 +{\sqrt {34-2{\sqrt {17 +2{\sqrt {17+3{\sqrt {17 -{\sqrt {34-2{\sqrt {17 -2{\sqrt {34+2{\sqrt {17 \right)&\\\hline 18&{\frac {i {4 \left({\sqrt[{3 ]{4-4{\sqrt {-3 -{\sqrt[{3 ]{4+4{\sqrt {-3 \right)&{\frac {1 {4 \left({\sqrt[{3 ]{4+4{\sqrt {-3 +{\sqrt[{3 ]{4-4{\sqrt {-3 \right)&\\\hline 19&&&\\\hline 20&{\frac {1 {4 \left({\sqrt {5 -1\right)&{\frac {1 {4 \left({\sqrt {10+2{\sqrt {5 \right)&{\frac {1 {5 \left({\sqrt {25-10{\sqrt {5 \right)\\\hline 21&&&\\\hline 22&&&\\\hline 23&&&\\\hline 24&{\frac {1 {4 \left({\sqrt {6 -{\sqrt {2 \right)&{\frac {1 {4 \left({\sqrt {6 +{\sqrt {2 \right)&2-{\sqrt {3 \end{array](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58c300b825038dd0577a860656f0940c89b1a01)
