المتتالية (بالإنجليزية: Sequence)‏ (ويطلق عليها المتتابعة والمتوالية والتناسب) هي مجموعة من الأغراض أوالأحداث أوالحروف المرتبة بنمط خطي (وله معنى بحيث ظهور الحرف أوالحدث بعد الآخر له دلالة ولم يأتي عبثاً قد يحدث وفق تطبيق محدد) حيثقد يكون ترتيب أعضاء المتتالية محدداً تماماً ومميزاً. هذه الأعضاء تسمى عناصر المتتالية أوحدودها.

إذا وضعنا لقاء جميع عدد طبيعي ${\displaystyle n$ عددا حقيقيا ${\displaystyle x_{n$ فنحصل على : ${\displaystyle x_{0 ,x_{1 ,x_{2 ,...,x_{n ,...$ وكل هذه الاعداد ندعوها بحدود المتتالية و${\displaystyle x_{n$الحد العام .

والمهم في المتتالية أنها من أجل جميع ${\displaystyle n\in N$ حتى الحد ${\displaystyle x_{n+1$ يلي الحد ${\displaystyle x_{n$ والحد ${\displaystyle x_{n$ يسبق الحد ${\displaystyle x_{n+1$${\displaystyle x_{n+1$ بغض النظر عن قيمهما .

نبذة تاريخية

• تمت دراسة المتتاليات العددية الاولى من طرف اليونان، مثل متتالية الأعداد الأولية وأرخميدس قام بأعمال حول المتتاليات التي نهايتها تساوي p .
• في القرن الثالث عشر اكتشف الإطالي ليوناردوفيبوناتشي المتتالية التراجعية البسيطة التي تحمل اسمه : ${\displaystyle u_{n =u_{n-1 +u_{n-2$مع ${\displaystyle u_{0 =1$ و${\displaystyle u_{1 =1$والتي تترجم نموتكاثر الحيوانات وتدخل المتتالية في توزيع وترتيب اوراق بعض النباتات بحيث يضمن هذا التوزيع وصول أكبر قدر من اشعة الشمس، وقد أثبت عام 1975 بأن عناصر هذه المتتالية تمثل جذورا لكثيرات حدود من الدرجة الخامسة. .
• المتتاليات الحسابية والهندسية ظهرت في أوروبا وفي الصين في القرون الوسطى .
• في عصر النهضة درست المتتاليات المعروفة لدينا الان .

التعريف الرسمي والخصائص الأساسية

تعريف

يُسمى متتاليةً عدديّةً جميع تطبيق منطلقه مجموعة الأعداد الطبيعية ${\displaystyle N$ ومستقره حقل ${\displaystyle K$. نرمز عادة إلى المتتالية بالرمز ${\displaystyle (U_{n )_{n\in N$أو${\displaystyle \{u_{n \$عوضاََ عن :

${\displaystyle {\begin{matrix u:N\rightarrow K\\n\mapsto u_{n \end{matrix$

تعريف متتالية من خلال الاستنادىء الذاتي ( تعريف التدرجي ) :

حيثقد يكون جميع حد في المتتالية متعلقاً بالحد أوالحدود التي قبله، كأنقد يكون جميع حد هومجموع الحدين الذين قبله

مثال :مهما يكن ${\displaystyle \forall n\in N$ نعهد المتتالية ${\displaystyle \{x_{n \$ كما يلي : ${\displaystyle {\begin{matrix x_{0 =1\\x_{n+1 =(n+1)x_{n \end{matrix$

تعريف متتالية دالة :

مثال : ${\displaystyle x_{n ={\frac {2^{n {2^{n +1$

متتالية عددية حقيقية لانهائية محدودة

نقول عن المتتالية ${\displaystyle \{x_{n \$محدودة إذا كانت محدودة في ${\displaystyle R$ أي : مهما كان ${\displaystyle m,M\in R$يكون : ${\displaystyle m\leq x_{n \leq M$

أو : ${\displaystyle \left\vert x_{n \right\vert <K$من أجل جميع ${\displaystyle n\in N$و${\displaystyle K$ عدد حقيقي موجب .

أي حتى مجموعة قيم أي متتالية عددية حقيقية لا نهائية تكون مجموعة اما منتهية وغير خالية أوغير منتهية وتكون إما محدودة أوغير محدودة .

ونقول انها محدودة من الأعلى إذا كانت مجموعة قيمها محدودة من الأعلى ونقول أنها محدودة من الأدنى إذا كانت مجموعة قيمها محدودة من الأدنى .

ونقول ان المتتالية ما محدودة لما تكون مجموعة قيمها محدودة من الأعلى والأدنى في اَن واحد .

المتتاليات الحسابية والمتتاليات الهندسية

قد تكون متتالية ما حسابيةً إذا كان الفرق بين قيمتي حدين متتابعين للمتتالية ثابثاً، وتكون هندسيةً إذا كانت النسبة بين قيمتي حدين متتابعين للمتتالية ثابثة. وقد تكون غير ذلك (أي أنها ليست حسابية وليست هندسية).

المتتاليات المطردة

نقول عن المتتالية العددية إنها متتالية مطردة إذا كانت إما متتالية تصاعدية أوتنازلية أوتصاعدية تماما أوتنازلية تماما .

متتالية تصاعدية ومتتالية تنازلية

ينطق عن متتالية ما أنها تصاعدية إذا كان جميع حد أكبر من الحد الذي يسبقه أويساويه. وينطق عنها أنها تصاعدية تماماً إذا كان جميع حد أكبر تماماً من الحد الذي يسبقه. وينطق عن متتالية ما أنها تنازلية إذا كان جميع حد أصغر من الحد الذي يسبقه أويساويه. وينطق عنها أنها تنازلية تماماً إذا كان جميع حد أصغر تماماً من الحد الذي يسبقه.

بالتعبير الرياضي :

نقول حتى المتتالية العددية ${\displaystyle \{x_{n \$أنها :

• تصاعدية إذا كان ${\displaystyle x_{n \leq x_{n+1$ من أجل جميع ${\displaystyle n\in N^{*$
• تنازلية إذا كان ${\displaystyle x_{n \geq x_{n+1$ من اجل جميع ${\displaystyle n\in N^{*$
• تصاعدية تماما إذا كان ${\displaystyle x_{n <x_{n+1$ من اجل جميع ${\displaystyle n\in N^{*$
• تنازلية تماما إذا كان ${\displaystyle x_{n >x_{n+1$ من اجل جميع ${\displaystyle n\in N^{*$

المتتاليات الجزيئة

المتتالية الجزئية لمتتالية ما، هي متتالية تتكون من عناصر المتتالية الأصلية، بعد حذف بعض العناصر منها، دون تغير الترتيب النسبي الذي اتىت فيه العناصر غير المحذوفة. على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الزوجية 0، 2، 4، 6، ... هي متتالية جزئية من متتالية الأعداد الطبيعية، 0، 2، 4، 6، 8.... (في هذا المثال حذفت جميع الأعداد الفردية).

لتكن لدينا المتتالية العددية ${\displaystyle x_{1 ;x_{2 ;...;x_{n ;...$ولنختر من بين حدودها حدََا نرمز له بالرمز ${\displaystyle x_{n_{1$ثم نحذف من هذه المتتالية الحدود ${\displaystyle x_{1 ;x_{2 ;...,x_{n_{1$فتبقى لدينا الحدود ${\displaystyle x_{n_{1 +1 ;x_{n_{1 +2 ;...$, ومن الحدود المتبقية نختار الحدََا نرمز له بـ ${\displaystyle x_{n_{2$ونكرر نفس عملية الحذف إلى غير ذلك حتى نحصل على المتتالية الجديدة : ${\displaystyle x_{n_{1 ;x_{n_{2 ;...;x_{n_{k ;...$, تدعى هذه المتتالية بالمتتالية الجزئية من المتتالية ${\displaystyle x_{1 ;x_{2 ;...;x_{n ;...$وقد يكون الحد العام للمتتالية الجزئية هو${\displaystyle x_{n_{k$ونلفت النظر ان رقم الحد ${\displaystyle x_{n_{k$يتعين بواسطة ${\displaystyle k$وليس ${\displaystyle n$.

وننوه أن : ${\displaystyle n_{k \geq k$من أجل جميع ${\displaystyle k\in N^{*$وهذا يعني انه من اجل جميع ${\displaystyle k\in N^{*$يكون الحد ${\displaystyle x_{n_{k$إما يساوي الحد ${\displaystyle x_{k$أويساوي أحد الحدود التي تلي الحد ${\displaystyle x_{k$, ويمكن البرهان على هذا بالاستقراء :فمن أجل ${\displaystyle k=1$تكون القضية ${\displaystyle n_{1 \geq 1$سليمة لان الحد ${\displaystyle x_{n_{1$هوإما ${\displaystyle x_{1$ أواحد الحدود التي تلي ${\displaystyle x_{1$في المتتالية ${\displaystyle x_{1 ;x_{2 ;...;x_{n ;...$ولنفرض حتى المتباينة ${\displaystyle n_{m \geq m$سليمة من اجل ${\displaystyle k=m$ عندئذ نجد أن : ${\displaystyle n_{m+1 \geq n_{m +1\geq m+1$ وبهذا قد أثبتنا المطلوب .

أنواع أخرى من المتتاليات

تُدعى متتالية ما جدائية إذا كان$f(x\times <!--\; \times \; -->y)=f(x)\times <!--\; \times \; -->f(y)$

انظر إلى مجموعة مرتبة جزئيا وإلى دالة رتيبة.

نهاية متتالية وتقاربها

متتالية عددية حقيقية متقاربة

نقول عن العدد ${\displaystyle a$ انه نهاية المتتالية العددية ${\displaystyle \{x_{n \$ونخط : ${\displaystyle \lim _{n\to \infty x_{n =a$ عندما وفقط عندما يتحقق ما يلي :

${\displaystyle \forall \epsilon \in R_{+ ^{* \ \exists \ n_{\epsilon \in N:n\geq n_{\epsilon \Rightarrow |x_{n -a|<\epsilon$

حيث العدد الطبيعي ${\displaystyle n_{\epsilon$يتغير في الحالة العام بتغير العدد ${\displaystyle \epsilon$ .

ونقول عن المتتالية العددية الحقيقية اللانهائية التي توجد لها نهاية بإنها متتالية متقاربة . وإذا كانت هذه النهاية تساوي ${\displaystyle a$ نقول عن هذه المتتالية انها متقاربة من ${\displaystyle a$

ويمكن كتابة تعريف المتتالية المتقاربة في ${\displaystyle R$بالشكل التالي :

نقول عن المتتالية ${\displaystyle \{x_{n \$أنها متقاربة من العدد الحقيقي ${\displaystyle a\in R$ إذا وفقط إذا كان ${\displaystyle \lim _{n\to \infty x_{n =a$ .

متتالية متباعدة

يُنطق عن متتالية عددية ${\displaystyle \{x_{n \$ أنها متباعدة إذا لم تكن متقاربة. ويتوفر ذلك في إحدى الحالتين التاليتين :

• نهاية هذه المتتالية هوما لا نهاية له. المتتالية الحيادية التي تربط جميع عدد n بنفسه مثال على ذلك.
• المتتالية حيث متتاليتان جزئيتان تقتربان من نهايتين مختلفتين. المتتالية المتناوبة ${\displaystyle \{x_{n \ =(-1)^{n$ مثال على ذلك.

متتالية كوشي

يُنطق عن متتالية أنها لكوشي إذا كانت حدود هذه المتتالية تتقارب من بعضها البعض بشكل غير محدود من القرب حدثا آل n إلى ما لا نهاية له. سُمين هذه المتتاليات هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لوي كوشي.

مبرهنات اساسية حول التقارب

المبرهة الأولى : وحدانية نهاية متتالية

إذا كانت المتتالية العددية ${\displaystyle \{x_{n \$ متقاربة من العدد ${\displaystyle a$ ومن العدد ${\displaystyle b$ فإن ${\displaystyle a=b$.

الاثبات : ليكن ${\displaystyle \epsilon \in R_{+ ^{*$عندئذ ${\displaystyle {\frac {\epsilon {2 \in R_{+ ^{*$ويوجد عددان طبعيان يختلفان عن الصفر ${\displaystyle n_{1$و${\displaystyle n_{2$ بحيثقد يكون :

${\displaystyle \forall n\in N^{* \ :n\geq n_{1 \Rightarrow |x_{n -a|<{\frac {\epsilon {2$

${\displaystyle \forall n\in N^{* \ :n\geq n_{2 \Rightarrow |x_{n -b|<{\frac {\epsilon {2$

ومنه يوجد عدد الطبيعي ${\displaystyle n_{3 =\max(n_{1 ;n_{2 )$ بحيثقد يكون :

${\displaystyle \forall n\in N^{* \ :n\geq n_{3 \Rightarrow |x_{n -a|<{\frac {\epsilon {2 \ \land \ |x_{n -b|<{\frac {\epsilon {2$

${\displaystyle \Rightarrow |a-b|=|a-x_{n +x_{n -b|\leq |a-x_{n |+|x_{n -b|<{\frac {\epsilon {2 +{\frac {\epsilon {2 =\epsilon$

وبهذا قد برهن على القضية السليمة الاتية :

${\displaystyle \forall \epsilon \in R_{+ ^{* \exists n_{3 \in N^{* \ :n\geq n_{3 \Rightarrow |a-b|<\epsilon$

ومنه يمكن استنتاج حتى ${\displaystyle a=b$كما يلي :

لوكان ${\displaystyle a\neq b$ لكان ${\displaystyle |a-b|>0$وبالتالي لكان يوجد عدد ${\displaystyle n_{3 \in N^{*$ بحيثقد يكون ${\displaystyle |a-b|\leq |a-b|$عندما ${\displaystyle n\geq n_{3$ وهذا غير ممكن اذن ${\displaystyle a=b$ وهوالمطلوب .

المبرهة الثانية : جميع متتالية متقاربة محدودةٌ

كل متتالية عددية متقاربة تكون محدودة .

الاثبات : لتكن المتتالية ${\displaystyle \{x_{n \$ متقاربة ولنفرض انها متقاربة نحو${\displaystyle a$ عندئذ يوجد من اجل جميع العدد الحقيقي الموجب 1 عدد طبيعي يختلف عن الصفر ${\displaystyle n_{1$ بحيثقد يكون :

${\displaystyle n>n_{1 \Rightarrow |x_{n -a|<1$

ومنه يوجد العدد الحقيقي الموجب : ${\displaystyle K=\max(1;|x_{1 -a|;...;|x_{n -a|)+1$بحيثقد يكون من أجل جميع ${\displaystyle n\in N^{*$ :

${\displaystyle |x_{n -a|<K$ومنه : ${\displaystyle a-K<x_{n <a+K$ وهذا يعني ان مجموعة قيم المتتالية ${\displaystyle \{x_{n \$محدودة وبالتالي فالمتتالية ${\displaystyle \{x_{n \$محدودة .

ليس من الضروري ان جميع متتالية عددية محدودة تكون متقاربة .

المبرهنة الثالثة : إزاحة حدود متتالية

لتكن المتتالية العددية ${\displaystyle \{x_{n \$ ليكن ${\displaystyle n_{\epsilon \in N^{*$ و${\displaystyle a\in \mathbb {R$ لنفرض أنه من اجل جميع ${\displaystyle n\in N^{*$قد يكون ${\displaystyle y_{n =x_{n_{0 +n-1$ ولنأخذ المتتالية العددية ${\displaystyle \{y_{n \$ عنذئذ :

1. المتتالية ${\displaystyle \{x_{n \$متقاربة من ${\displaystyle a$ ${\displaystyle \Leftrightarrow$المتتالية ${\displaystyle \{y_{n \$متقاربة من ${\displaystyle a$.
2. المتتالية ${\displaystyle \{x_{n \$متباعدة ${\displaystyle \Leftrightarrow$ لمتتالية ${\displaystyle \{y_{n \$متباعدة .

الاثبات

1) لتكن ${\displaystyle \{x_{n \$متتالية متقاربة من ${\displaystyle a$وليكن ${\displaystyle \epsilon \in R^{+$عندئذ يوجد ${\displaystyle N_{1 \in N^{*$بحيث أن :

${\displaystyle n\geqslant N_{1 \Rightarrow \mid x_{n -a\mid <\epsilon$

ثم نفرض حتى ${\displaystyle N_{2 =\max(N_{1 ,N_{0 )$عندئذقد يكون :

${\displaystyle n\geqslant N_{2 \Rightarrow \mid x_{n -a\mid <\epsilon$

وحسب تعريف ${\displaystyle y_{n$يمكن القول أنه يوجد عدد طبيعي ${\displaystyle N'$ بحيثقد يكون :

${\displaystyle n\geqslant N'\Rightarrow \mid y_{n -a\mid <\epsilon$

اذن ${\displaystyle \lim _{n\to \infty y_{n =a$ وهذا يعني حتى ${\displaystyle \{y_{n \$متقاربة من ${\displaystyle a$.

وبالعكس نفرض حتى ${\displaystyle \{y_{n \$متتالية متقاربة من ${\displaystyle a$ وليكن ${\displaystyle \epsilon '\in R^{+$عندئذ يوجد ${\displaystyle N_{3 \in N^{*$بحيثقد يكون :

${\displaystyle n\geqslant N_{3 \Rightarrow \mid y_{n -a\mid <\epsilon '$

وحسب تعريف ${\displaystyle y_{n$يمكن ايجاد عدد طبيعي ${\displaystyle N''$بحيثقد يكون :

${\displaystyle n\geqslant N''\Rightarrow \mid x_{n -a\mid <\epsilon '$

اذن ${\displaystyle \lim _{n\to \infty x_{n =a$وهذا يعني حتى ${\displaystyle \{x_{n \$متقاربة من ${\displaystyle a$.

2) لتكن ${\displaystyle \{x_{n \$ متباعدة ولنفرض حتى ${\displaystyle \{y_{n \$ متقاربة وعندئذ وحسب (1) تكون ${\displaystyle \{x_{n \$ وهذا محال ومنه ${\displaystyle \{y_{n \$ متباعدة .

وبالعكس لتكن ${\displaystyle \{y_{n \$ متباعدة ولنفرض حتى ${\displaystyle \{x_{n \$ أنها متقاربة وحسب (1) تكون ${\displaystyle \{y_{n \$ وهذا محال اذن ${\displaystyle \{x_{n \$ متباعدة .

المبرهنة الرابعة : تقارب المتتاليات الجزئية

تكون المتتالية العددية ${\displaystyle \{x_{n \$متقاربة من ${\displaystyle a$ إذا وفقط إذا كانت جميع متتالية جزئية منها متقاربة من ${\displaystyle a$.

الاثبات : اولا نفرض حتى جميع متتالية جزئية من المتتالية ${\displaystyle \{x_{n \$متقاربة من ${\displaystyle a$عندئذ تكون المتتالية ${\displaystyle \{x_{n \$متقاربة من ${\displaystyle a$لانها متتالية جزئية من نفسها .

ثانيا لنفرض حتى المتتالية ${\displaystyle \{x_{n \$متقاربة من ${\displaystyle a$ ولنأخذ منها متتالية جزئية اختيارية ولتكن ${\displaystyle \{x_{n_{k \$ثم نأخذ ${\displaystyle \epsilon \in R_{+ ^{*$عندئذ يوجد ${\displaystyle n_{1 \in N^{*$بحيثقد يكون : ${\displaystyle n\geq n_{1 \Rightarrow |x_{n -a|<\epsilon$ لما كان ${\displaystyle n_{k \geq k$ من أجل جميع ${\displaystyle k\in N^{*$ فإن الحد ${\displaystyle x_{n_{k$إما حتى يساوي ${\displaystyle x_{k$أوقد يكونقد يكون واقعا على يمين الحد ${\displaystyle x_{k$في المتتالية ${\displaystyle x_{1 ;x_{2 ;...;x_{n ;...$ ومنهقد يكون : ${\displaystyle k\geq n_{1 \Rightarrow |x_{n_{k -a|<\epsilon$إذن المتتالية الجزئية ${\displaystyle \{x_{n_{k \$متقاربة من ${\displaystyle a$. وبهذا قد أثبتنا المطلوب .

المتسلسلات

مجموع حدود متتالية هومتسلسلة. وبتعبير أدق، إذا كانت (x₃, x₂, x₁, ...) متتالية، فإنه قد يُنظر إلى متتالية المجاميع الجزئية (S₃, S₂, S₁, ...) حيث :

${\displaystyle S_{n =x_{1 +x_{2 +\cdots +x_{n =\sum \limits _{i=1 ^{n x_{i .$

${\displaystyle \sum \limits _{i=1 ^{\infty x_{i .$

المتتاليات في مجالات أخرى من الرياضيات

الطوبولوجيا

مفهوم الكثافة : كثافة مجموعة جزئية من فضاء طبولوجي في نفس الفضاء أوفضاء آخر. فأنت إذا أردت مثلا إثبات مساواة أومتباينة في مجموعة الأعداد الحقيقية يكفيك في أغلب الأحيان حتى تثبتها في مجموعة الأعداد الناطقة، وهذا بفضل كثافة هذه المجموعة الأخيرة في مجموعة العداد الحقيقية. انظر إلى فضاء متري.

التحليل الرياضي

• دراسة المعادلات التفاضلية : نحصل على حلول هذه المعادلات في الكثير من الأحيان نهايات متتاليات تقربنا شيئا فشيئا من الحل الدقيق.

• الحساب (أوالتحليل) العددي : التقريبات وتقديرات الأخطاء تتم عموما عبر المتتاليات.
• تعريف مفاهيم رياضية أخرى : الانتنطق مثلا من تعريف مفهوم المكاملة للدالة فهم على مجال حقيقي وتأخذ قيمها في فضاء مجرد.

• فضاء باناخي ( Banach (1945-1892 مثل ${\displaystyle R^{n$- يمر عبر المتتاليات .
• ومن التطبيقات التي نجدها في المتتاليات أنها تمكن من تعريف الكثير من الدوال المألوفة مثل :
  • الدالة الأسية .
  • الدالة المثلثية جب.
  • الدالة المثلثية تجب.
  • الدالة اللوغاريتمية (بوصفها الدالة العكسية للدالة الأسية).
  • الدالة المثلثية ظل (بوصفها نسبة للدالتين المثلثيتين جب وتجب).

في فهم الحاسوب

في فهم الحاسوب، متتالية منتهية من الحروف تسمى سلسلة.

انظر أيضا

• المتتالية 1±
• متتالية حسابية
• متتالية هندسية
• متتالية كوشي
• تبديل
• علاقة متعدية

مصادر

• بابا حامد، بن حبيب ( الطبعة الرابعة 2006) التحليل 1 تذكير بالدروس وتمارين محلولة عدد 300. (ترجمة عبد الحفيظ مقران) الجزائر ديوان المطبوعات الجامعية (ISBN 9961-0-0997-5)
• عمران، قوبا (2017).التحليل الجزء الأول . الطبعة الثانية .الجمهورية العربية السورية .المعهد العالي للعلوم التطبيقية والتكنولوجيا.
• مراد، محمد فاتح ; تاوريريت، جمال; قورين، مجمد ; فلاح، عبد الحفيظ ; موس، عبد المؤمن ; بلجيلالي، غريسي (2007) الرياضيات الجزء الثاني لسنة الثالثة من التعليم الثانوي العام . الجزائر . الديوان الوطني للمطبوعات المدرسية .
• أبوحمدة، عبد الواحد (1988).التحليل 1.الجمهورية العربية السورية . جامعة دمشق - مديرية الخط الجامعية .

مراجع