أوكتونيون

أوكتونيون Octonion في الرياضيات هي امتداد كعملية غير تجميعية للكواتيرنيون. أبعادها الثمانية الحقيقية الجبرية في حقل الأعداد الحقيقية هوأوسع حقل بعدي من الممكن الحصول عليه باستخدام إنشاء كايلي-ديكسون. يرمز جبرياً إلى الأوكتونيون بالرمز O أوبالحرف العريض ${\displaystyle \mathbb {O$ .

ربما بسبب حتى الأوكتونيون لاتحقق الخاصة التجميعية لعملية الضرب، فإنها تجذب اهتماماً أقل من الكواتيرنيون، ولكن وعلى الرغم من شهرتها الضئيلة هذه فإن الأوكتونيون لها تطبيقات عدة في مجالات نظرية الأوتار، النسبية الخاصة، المنطق الكوانتي.

التاريخ

تم اكتشاف الأوكتونيون في عام 1843 من قبل العالم جون ت. غرافس، صديق ويليام هاملتون مكتشف الكواتيرنيون.

التعريف

من الممكن اعتبار الأوكتونيون على أنها مجموعات ثمانية (مثل الألحان الثمانية المعد لثماني آلات موسيقية أومغنينن) من الأعداد الحقيقية. جميع أوكتونيون هي اندماج خطي حقيقي لوحدات الزمرة الثمانية البسيطة {1, i, j, k, l, il, jl, kl ، وعليه فإن أي أوكتونيون xقد يكون ممكن الكتابة على الشكل التالي:

{\displaystyle x=x_{0 +x_{1 \,i+x_{2 \,j+x_{3 \,k+x_{4 \,l+x_{5 \,il+x_{6 \,jl+x_{7 \,kl.

ذات مكافئ حقيقي x_a.

عملية جمع الأوكتونيون تتم بجمع المكافئات المتوافقة، تماماً مثل الأعداد العقدية وكواتيرنيون. عملية الضرب في الأوكتونيون محددة بشكل تام بجدول الضرب التالي:

1	i	j	k	l	il	jl	kl
i	−1	k	−j	il	−l	−kl	jl
j	−k	−1	i	jl	kl	−l	−il
k	j	−i	−1	kl	−jl	il	−l
l	−il	−jl	−kl	−1	i	j	k
il	l	−kl	jl	−i	−1	−k	j
jl	kl	l	−il	−j	k	−1	−i
kl	−jl	il	l	−k	−j	i	−1

إنشاء كايلي-ديكسون

هناك طريقة أكثر منطقية في تعريف الأوكتونيون باستخدام إنشاء كايلي-ديكسون. حيث كما أنه من الممكن تعريف الكواتيرنيون على أنها زوج من الأعداد العقدية، يمكن تعريف الأوكتونيون على أنها زوج من الكواتيرنيون. حيث يعطى جداء زوجين من الكواتيرنيون (a, b) و(c, d) على النحوالتالي:

{\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{* b,da+bc^{* )

حيث ${\displaystyle z^{*$ هونظير الكواتيرنيون z.

النظير، الطويلة، المقلوب

يعطى نظير الأوكتونيون التالية

{\displaystyle x=x_{0 +x_{1 \,i+x_{2 \,j+x_{3 \,k+x_{4 \,l+x_{5 \,il+x_{6 \,jl+x_{7 \,kl

بالعلاقة:

{\displaystyle x^{* =x_{0 -x_{1 \,i-x_{2 \,j-x_{3 \,k-x_{4 \,l-x_{5 \,il-x_{6 \,jl-x_{7 \,kl.

يعهد الجزء الحقيقي للأوكتونيون x بالعلاقة:

½x + x^*) = x₀)

كما يعهد الجزء التخيلي بالعلاقة:

½(x - x^*)

تعطى طويلة الأوكتونيون x بالعلاقة:

{\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{* x

يعطى الجذر التربيعي هنا بالعلاقة: ${\displaystyle x^{* x=xx^{*$ وهودائماً عدد حقيقي غير سالب:

{\displaystyle \|x\|^{2 =x^{* x=x_{0 ^{2 +x_{1 ^{2 +x_{2 ^{2 +x_{3 ^{2 +x_{4 ^{2 +x_{5 ^{2 +x_{6 ^{2 +x_{7 ^{2

وهذه الطويلة تتوافق مع الطويلة في الفضاء الإقليدي من البعد الثامن R⁸.

إن وجود طويلة للأوكتونيون يحتاج وجود مقلوب لكل أوكتونيون غير صفري. حيث يعطى مقلوب x ≠ 0 بالعلاقة:

{\displaystyle x^{-1 ={\frac {x^{* {\|x\|^{2

وهي تحقق

${\displaystyle xx^{-1 =x^{-1 x=1$ .

مراجع

^ (Baez 2002, p. 6)
^ Hamilton (1848), "Note, by Sir W. R. Hamilton, respecting the researches of John T. Graves, Esq.", Transactions of the Royal Irish Academy, 21: 338–341, مؤرشف من الأصل في 26 أبريل 2018 CS1 maint: ref=harv (link)
^ G Gentili, C Stoppato, DC Struppa and F Vlacci (2009), "Recent developments for regular functions of a hypercomplex variable", in Irene Sabadini; M Shapiro; F Sommen (المحررون), (الطبعة Conference on quaternionic and Clifford analysis; proceedings), Birkhäuser, صفحة 168, ISBN , مؤرشف من الأصل في أربعة ديسمبر 2016 صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون (link) CS1 maint: ref=harv (link)