مستوسط

رسم يوضح المثلث الأصلي (بالأسود) ومنصفات الزوايا (منقطة) ومستوسطات المثلث (بالأحمر). تتقاطع مستوسطات المثلث في النقطة

{\displaystyle G

المستوسط أوشبيه المتوسط أوالسميديان (بالإنجليزية: Symmedian)‏ هوانعكاس أحد متوسطات المثلث حول منصف الزاوية الخارج منها هذا المتوسط. الزاوية الذي يصنعها مستوسط المثلث مع أحد ضلعيه المجاورين له تساوي الزاوية التي يصنعها المتوسط لكن من الضلع المجاور له. يُسمَّى انعكاس مستقيم مار برأس مثلثٍ حول منصف زاوية هذا الرأس «المرافق الزاوي» (بالإنجليزية: Isogonal conjugate)‏. لذا يُمكن وصف مستوسط المثلث على أنّه المرافق الزاوي لمتوسطه. تتقاطع مستوسطات المثلث في مركزٍ من مراكزه تُدعى نقطة ليموين.

مستوسط المثلث هو

{\displaystyle AD

.

إنشاء المستوسط

يُنشئ مستوسط المثلث ${\displaystyle \triangle ABC$ اللقاء للرأس ${\displaystyle A$ برسم مماسين للدائرة المحيطة بالمثلث في النقطتين ${\displaystyle B,C$ ثم أخذ نقطة تقاطعهما ${\displaystyle D$ ليكون مستوسط المثلث هوالمستقيم ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AD$ . بمعنىً آخر: مستوسط المثلث هوالمستقيم الواصل بين رأس مثلث وتقاطع المماسين للدائرة المحيطة عند الرأسين الآخرين.

البرهان: باعتبار انعكاس ${\displaystyle AD$ حول منصف الزاوية ${\displaystyle \angle A$ ، لتكن ${\displaystyle M'$ هي نقطة تقاطعه مع ${\displaystyle BC$ . إذن:

${\displaystyle {\frac {BM' {M'C ={\frac {AM'{\frac {sin\angle {BAM' {sin\angle {ABM' {AM'{\frac {sin\angle {CAM' {sin\angle {ACM' ={\frac {sin\angle {BAM' {sin\angle {ACD {\frac {sin\angle {ABD {sin\angle {CAM' ={\frac {sin\angle {CAD {sin\angle {ACD {\frac {sin\angle {ABD {sin\angle {BAD ={\frac {CD {AD {\frac {AD {BD =1$

انظر أيضاً

ارتفاع (مثلث).
رباعي دائري.
مرافق زاوي.

ملاحظات

^ متوسط المثلث هوالخط الواصل بين رأس مثلث ومنتصف الضلع اللقاء له.
^ منصف الزاوية هومستقيم يقسم زاوية المثلث من الداخل إلى نصفين متساويين.

مراجع

↑ صابر, طارق; أندريكا, دورين (1434هـ). . الرياض. دار الخريجي للنشر والتوزيع. مؤرشف من الأصل في 18 ديسمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 21 سبتمبر، 2018م.
↑ Yufei, Zhao (2010). (PDF). صفحة 5. مؤرشف من الأصل (PDF) فيعشرة يناير 2017.