مبرهنة كايزي

في الرياضيات، مبرهنة كايزي (بالإنجليزية: Casey's theorem)‏ وتُعرَفُ أيضاً على أنها تعميمُ مبرهنة بطليموس، هي مبرهنةٌ في الهندسة الإقليدية أسميت نسبةً إلى الرياضياتي جون كايزي.

المبرهنة

{\displaystyle t_{12 \cdot t_{34 +t_{14 \cdot t_{23 -t_{13 \cdot t_{24 =0

لتكن ${\displaystyle \,O$ دائرةً شعاعها ${\displaystyle \,R$ . ولتكن ${\displaystyle \,O_{1 ,O_{2 ,O_{3 ,O_{4$ أربعَ دوائرٍ غير متقاطعةٍ تقع داخل ${\displaystyle \,O$ وتمسها على الترتيب. وليرمز ${\displaystyle \,t_{ij$ إلى المماس المشهجر الخارجي للدائرتين ذواتي المركزين ${\displaystyle \,O_{i ,O_{j$ ، فإنَّ مبرهنة كايزي تنصُّ على أنَّ:

{\displaystyle \,t_{12 \cdot t_{34 +t_{14 \cdot t_{23 =t_{13 \cdot t_{24 .

لاحظ أنَّ الحالةَ المُنعدمةَ لمبرهنة كايزي هي مبرهنة بطليموس. وعكسُ النظريةِ سليمٌ أيضاً، أي إذا وجدت أربعة دوائر تُحقق العلاقة السابقة فإنَّ هناكَ دائرةٌ تمسُّهم جميعاً.

التطبيقات

تُستعمل مبرهنة كايزي وعكسها في إثبات عدة مسائل في الهندسة الإقليدية. على سبيل المثال اعتبرت المبرهنة أقصر حل لمبرهنة فويرباخ.

انظر أيضاً

مبرهنة فويرباخ.
دائرة النقاط التسع.
رباعي توافقي.
دائرة.
دوائر داخلية وخارجية لمثلث.
دائرة.

مراجع

↑ Johnson, Roger A. (1929). Modern Geometry. Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry).
^ Casey, J. (1866). "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane". Proceedings of the Royal Irish Academy. 9: 396–423. JSTOR 20488927.