نظرية الاحتمال (بالإنجليزية: Probability theory)‏ هي النظرية التي تدرس احتمال الحوادث العشوائية، بالنسبة للرياضيين، الاحتمالات أعداد محصورة في المجال بين 0 و1 تحدد احتمال حصول أوعدم حصول وقع معين عشوائي أي غير مؤكد.

يتم تحديد احتمال الحدث ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F$، أي ${\displaystyle P(E\cap F)/P(F)$.

إذا لم تتغير قيمة الاحتمال الشرطي للحدث ${\displaystyle E$ فهما بوقوع ${\displaystyle F$ عن القيمة الأصلية غير الشرطية للحدث أي حتى الاحتمال واحد طالما وقوع ${\displaystyle F$ أوعدم وقوعه عندئذ نقول حتى هذين الحدثين مستقلين.

تناقش نظرية الاحتمالات مصطلحين غاية في الأهمية وهما: المتغير العشوائي والتوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي.

التاريخ

طورت الاحتمالات والإحصاء في أشكالها الأولى من طرف الفهماء العرب أثناء دراستهم لفهم التشفير، بين القرنين الثامن والثالث عشر الميلاديين. الخليل بن أحمد الفراهيدي خط كتابا في هذا الاتجاه.

تستمد النظرية الرياضياتية للاحتمالات جذورها من محاولات فهم وتحليل لُعب الحظ من طرف جيرولاموكاردانوالذي عاش خلال القرن السادس عشر الميلادي ومن طرف بيير دي فيرما وبليز باسكال، اللذان عاشا خلال القرن السابع عشر (انظر على سبيل المثال إلى معضلة النقط). انظر إلى كريستيان هوغنس. لنظرية الاحتمالات جذور متعلقة بألعاب الفُرص التي تواجدت في القرن السادس عشر، وتم استخدام نظرية حساب الاحتمالات في حساب الفرص لظهور عناصر من بين مجموعة كبيرة من العناصر الأخرى. للاحتمالات في هذه النظرية أنواع منها الاحتمالات المشروطة والمستقلة والمنفية والمؤكدة. وقد يحدث لكل نوع من هذه الأنواع قاعدة عامة وقواعد فرعية. ولنظرية الاحتمالات علاقة وثيقة بنظرية العد أيضا وتستخدم في التوافيق وأيضاً التباديل.

نظرة أكثر تجريدية

تهتم نظرية الاحتمالات بتحليل الظواهر العشوائية، إذا العناصر المركزية لنظرية الاحتمال هي الأحداث والمتغيرات العشوائية والعمليات العشوائية. لقد قاد كولموغوروف عملية تأسيس دراسة نظرية حديثة للاحتمالات بدمجه بين فكرة فضاءالعينة التي قدمها ريتشارد فون ميزيس وبين نظرية القياس وعرض في عام 1933 نظام بديهيات لنظرية الاحتمالات ما لبث حتى أصبح بلا منازع الأساس البديهي لنظرية الاحتمالات الحديثة.

يمكن تمثيل الفضاء الاحتمالي على أنه ثلاثية ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F ,P)$, حيث

• ${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$
• ${\displaystyle \mathcal{F}}$

لكي نستطيع حتى نقول حتى ${\displaystyle {\mathcal {F$ يشكل سيغما-جبر هذا يقتضي بالتعريف انها تحوي ${\displaystyle \Omega$, وأن متممة أي وقع تشكل حدثا أيضا، واجتماع أي تسلسل أحداث هووقع أيضا.

• ${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathcal{F}}$

${\displaystyle P(\Omega )=1$, أي حتى احتمال تام فضاء العينة يساوي الواحد. تدعى الثنائية ${\displaystyle (\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},\mathcal{F})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {F$ وليس على فضاء العينة ${\displaystyle \Omega$.

توزيع الاحتمال

في فهم الاحتمالات والإحصائيات، توزيع الاحتمال (بالإنجليزية: Probability distribution)‏ هوإعطاء احتمال معين لكل مجموعة جزئية قابلة للقياس من مجموعة نتائج تجربة عشوائية ما. وبتعبير آخر، هوقياس احتمالي مجاله تطبيق جبر بوريل على مجموعة الأعداد الحقيقية.

التوزيع الاحتمالي يعتبر حالة خاصة من مصطلح أكثر عمومية هوالقياس الاحتمالي، الذي يعتبر دالة تربط قيم احتمالات بمجموعات مقيسة من الفضاء المقاس بحيث تحقق فرضيات كولوموغروف.

كل متغير عشوائي ينشأعنه توزيع احتمالي يحتوي معظم المعلومات المهمة عن هذا المتغير. فاذا كان المتغير X متغيرا عشوائيا فان التوزيع الاحتمالي الموافق له ينسب للمجال [a, b] احتمالا : بمعنى حتى احتمال حتى يأخذ المتغير ${\displaystyle X$ قيمة ضمن المجال هي : ${\displaystyle \Pr \left[a\leq X\leq b\right]$.

تقارب المتغيرات العشوائية

في نظرية الاحتمالات، توجد عدة مفاهيم مختلفة لتقارب المتغيرات العشوائية. يعد تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية لبعض المتغيرات العشوائية الحد مفهومًا مهمًا في نظرية الاحتمالات وتطبيقاته على الإحصاء والعمليات العشوائية. تُعهد نفس المفاهيم في الرياضيات الأكثر عمومية باسم التقارب العشوائي وتضفي الطابع الرسمي على فكرة أنه يمكن تسقط تسلسل الأحداث العشوائية أوغير المتسقطة في بعض الأحيان في سلوك لا يتغير بشكل أساسي عند دراسة العناصر البعيدة بدرجة كافية في التسلسل. تتعلق المفاهيم المتنوعة الممكنة للتقارب بكيفية وصف مثل هذا السلوك: سلوكان مفهمان بسهولة هما حتى التسلسل يأخذ في نهاية المطاف قيمة ثابتة، وأن القيم في التسلسل تستمر في التغيير ولكن يمكن وصفها بتوزيع الاحتمالات غير المتغير.

قانون الأعداد الكبيرة

يقول قانون الأعداد الكبيرة بأن التردد النسبي لحادثة عشواء يقترب أكثر فأكثر من احتمالها النظري مع ازدياد عدد مرات إعادة تجربة عشواء۔

مبرهنة النهاية المركزية

في نظرية الاحتمال، تشكل مبرهنات النهاية المركزية (بالإنجليزية: Central limit theorem)‏ مجموعة نتائج لنظرية الاحتمالات تنص حتى مجموع عدة متغيرات عشوائية ومتشابهة التوزع، يميل إلى التوزع حسب توزيع احتمالي معين.

أهم هذه المبرهنات تقول أنه إذا كانت المتغيرات المجموعة تملك تباينات محددة فإن المجموع يميل إلى التوزع طبيعيا أي أنه يملك توزيعا احتماليا طبيعيا.

تسمى مبرهنة النهاية المركزية أيضا بالمبرهنة الأساسية الثانية في الإحصاء.

لتكن X1, X2, X3,... Xn متسلسلة من الاعدادالمستقلة والمتطابقة في التوزيع

المتغير العشوائي لكل منها لديه قيمه منتهي للوسط µ والتباين σ2 > 0.

تقول مبرهنة النهاية المركزية ان : حدثا ازداد حجم العينة n ,فان التوزيع لمتوسط هذه المتغيرات العشوائية يقترب من التوزيع الطبيعي القياسي.

مفهوم الاحتمال

هوإمكانية وقوع أمر ما لسنا على ثقة تامة بحدوثه، ويلعب الاحتمال دوراً أساسياً في الحياة اليومية بالتنبؤ بإمكانية وقوع وقع ما وهوالنظرية التي يستخدمها الإحصائي لتساعده في فهم مدى تمثيل العينة العشوائية محل الدراسة للمجتمع المأخوذ منه العينة، وتنحصر قيمة الاحتمال بين الصفر والواحد السليم والصفر للاحتمال المحال في حين الواحد السليم للاحتمال المؤكد والاحتمال يبحث في ثلاثة مسائل هامة معتمدة على القواعد الخاصة بالاحتمال التي سنذكرها في حينها والمسائل الثلاثة هي:

1. حساب الاحتمال المتمثل بالتكرار النسبي.
2. حساب الاحتمال بدلالة احتمالات أخرى معلومة من خلال عمليات مثل الاتحاد والتقاطع والفرق و.
3. طرق إجراء التقدير كالتوزيعات الاحتمالية.

أنواع الاحتمال

الاحتمال المنتظم

وهوتساوي احتمالات عناصر الظاهرة فاحتمال الحصول على أي عدد عند إلقاء حجر النرد هو${\displaystyle 1/6$

الاحتمال الضمني أوالشخصي (Subjective Probabilities)

الاحتمال الذي يعتقده إنسان أما على حساب خبرته في الظاهرة محل الدراسة وهويختلف من إنسان لآخر كاحتمال كسب حصان في سباق للخيل.

الاحتمالات التكرارية النسبية (The Relative Frequency)

ويتم تحديده كما يلي:

أ) نسبة وقوع الحدث على مدى طويل مع ثبات الظروف المحيطة بالحدث.

ب) حساب مرات وقوعه في عدد كبير من المحاولات أي : عدد مرات ظهوره مقسوم على عدد مرات إجراء التجربة .

التعاريف الأساسية للاحتمال

التجربة العشوائية (RANDOM SAMPLING): جميع إجراء نقوم به نفهم مكوناته دون فهم أي منها سيقع، وتعهد في فهم إحصاء بالتجربة الإحصائية وهي جميع عملية تعطي قياساً لظاهرة ما. التجربة العشوائية بإلقاء بترة النقود التي عناصرها المجموعة {صورة، كتابة وقد يقع أي منهم وتعهد الصورة والكتابة بعناصر العينة. التجربة العشوائية بإلقاء حجر النرد الذي عناصره المجموعة ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\$ وقد يقع أي منهم، إلى غير ذلك ...

فضاء النواتج (Sample Space)

تعهد المجموعة ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\$ في مثالنا السابق للتجربة العشوائية بفضاء النواتج أوقضاء الإمكانيات أوفضاء العينة (Sample Space) فضاء العينة لتجربة إلقاء بترة نقود مرة واحدة ${\displaystyle \{T,H\$ أوتمثل بشكل فن مستطيل أودائرة بالداخل العناصر الخاصة بالتجربة العشوائية.

الأحداث

الحدث هومجموعة جزئية من فضاء العينة وعدد الأحداث تخضع للصيغة ${\displaystyle N^{2$ حيث ${\displaystyle N$ عدد عناصر فضاء العينة واحتمال وقوع الحدث ${\displaystyle A$ هونسبة عدد حالات وقوعه بالعمل بالنسبة لكل الحالات الممكنة لوقوعه أي أن: ${\displaystyle P(A)=M/N$ حيث ${\displaystyle M$ عدد حالات وقوع ${\displaystyle A$ بالعمل، ${\displaystyle N$ عدد الحالات الممكنة فاحتمال ظهور عدد فردي عند إلقاء حجر النرد مرة واحدة هو${\displaystyle 0.5$ لأن الأعداد الفردية ثلاثة ${\displaystyle (1,3,5)$ والتي تحقق المطلوب (عدد فردي) وكل الأعداد ستة ${\displaystyle (1,2,3,4,5,6)$ فالاحتمال ${\displaystyle 3/6=0.5$ ، الشكل اللقاء لحجر النرد أوالزار أوالزهرة.

الحدث البسيط ( Simple event ): وهوالحدث المكون من عنصر واحد مثل ${\displaystyle \{1\$ في تجربة إلقاء حجر النرد .

الحدث المركب ( Compound event ): الحدث المكون من أكثر من عنصر مثل ${\displaystyle \{2,4,6\$ وقع العدد زوجي في تجربة إلقاء حجر النرد.

الحدث المحال: الحدث الذي لا يحوي أي عنصر كحدث ظهور العدد ${\displaystyle 7$ في تجربة إلقاء حجر النرد. الحدث المؤكد: الحدث الذي يضم كافة عناصر الفضاء كحدث ظهور عدد أقل من ${\displaystyle 7$ في تجربة إلقاء حجر النرد.

الحدثان المتنافيان ( Mutually Exclusive events ): الحدثان اللذان لا يشهجرا في أي عنصر وتقاطعهم المجموعة الخالية أي ${\displaystyle A\cap B=F$ مثل ${\displaystyle \{2\ ,\{3\$، وتعهد بالأحداث غير المتصلة.

الأحداث المنتظمة (dependent events): المتساوية في احتمالاتها. ففي تجربة إلقاء حجر النرد مرة واحدةقد يكون:

${\displaystyle P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6$

الأحداث الكاملة ( Exhaustive events ): إذا كان ${\displaystyle S$ فضاء عينة ما فإن الأحداث ${\displaystyle A,B,C$ شاملة إذا تحقق الشروط الثلاثة الآتية:

1. متنافية فيما بينها أي: ${\displaystyle A\cap B=F$ و${\displaystyle A\cap C=F$ و${\displaystyle C\cap B=F$
2. أياً منها ليست خالية أي : ${\displaystyle A\neq F$ و ${\displaystyle B\neq F$ و ${\displaystyle C\neq F$
3. إتحادها يساوي ${\displaystyle S$ أي : ${\displaystyle A\cup B\cup C=S$

الأحداث المكملة (Complementary events): الحدثان اللذان اتحادهم يساوي فضاء العينة بمعنى ${\displaystyle A$ وقع فإن ${\displaystyle A'$ الحدث المكمل حيث ${\displaystyle A\cup A'=S$

الحدثان المستقلان ( Independent events ): اللذان لا يتأثر أي منهم بالآخر (سقط أحدهم لا يؤثر أويتأثر بوقوع أوعدم وقوع الآخر) .

قاعدة الضرب للاحتمالات للإحداث المستقلة ${\displaystyle P(A\cap B)=P(B)*P(A)$ يمكن تعميم هذه القاعدة لأكثر من حدث :

${\displaystyle P(A\cap B\cap C\cap ...\cap Z)=P(A)*P(B)*P(C)*...*P(Z)$

الأحداث الغير مستقلة (المشروطة) Conditional Probability: حدثان وقوع أحدهما يؤثر في وقوع الآخر مثل سحب ورقة من أوراق اللعب دون إرجاع مما يؤدي لتأثير سحب ورقة جديدة لنقص الفرصة بنقص عدد الأوراق (من 52 إلى 51) فالحدثان ${\displaystyle A$, ${\displaystyle B$ نخط وقع وقوع ${\displaystyle A$ بشرط وقوع ${\displaystyle B$ بالصورة ${\displaystyle A/B$ ويكون:

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B) {P(B) ,$

لاحظ حتى العلامة خط الكسر ليس علامة القسمة بل علامة شرط وقوع ما يليها من أحداث .

${\displaystyle P(A/B)s$ وهواحتمال وقوع الحدث A بشرط وقوع الحدث B ، قد ترد تعبير أخرى تفيد الشرط كالقول فهماً بأن .

وفي حالة الحدثان مستقلان أي لا يؤثر وقوع أحدهما على الآخر ( when A and B are independent events ) يصبح القانون:

${\displaystyle P(A\cap B)=P(B)*P(A)$

مثال:

صندوق يحوي 14 كرة منهاثمانية حمراء،ستة زرقاء سحبت كرتان (عشوائياً) من الصندوق الواحدة وراء الأخرى دون إرجاع ( أوسحب كرتان معاً ).

أحسب احتمال حتى تكون الكرتان حمراء وزرقاء (الأولى زرقاء والثانية حمراء). (أنظر الشكل).

الحل:

ليكن A = وقع سحب كرة حمراء اللون

وليكن B = وقع سحب كرة زرقاء اللون

فالمطلوب هو${\displaystyle P(A/B)s$ حيث ${\displaystyle A$ السحبة الثانية، ${\displaystyle B$ السحبة الأولى.

${\displaystyle P(A\cap B)=P(B)*P(A)$

${\displaystyle P(A\cap B)=(6/14)*(8/13)=24/91=0,2637$

لاحظ سحب كرتان نفس اللون = ل(ح، ح) + ل(ز، ز) = (8÷14)×(7÷13) + (6÷14)×(5÷13) = 0.4725 لاحظ سحب كرتان مختلفتان في اللون = ل(ح، ز) + ل(ز، ح) = 0.2637 + 0.2637 = 0.5274 لاحظ مجموع الاحتمالان السابقان 0.4725 + 0.5274 = 0.9999 ≈ 1

قواعد الاحتمال

1) إذا كان ${\displaystyle A$ وقع من ${\displaystyle S$ أي أنَّ ${\displaystyle A$ مجموعة جزئية من ${\displaystyle S$ فإن: ${\displaystyle P(A)$ يعبر عن احتمال وقوع الحدث ${\displaystyle A$

احتمال وقوع الحدث ${\displaystyle A$: يساوي عدد حالات وقوع الحدث ${\displaystyle A$ بالعمل مقسوم على جميع الحالات التي يمكن وقوعها .

2) الحدثان المتكاملان (المتتامان) : ${\displaystyle A\cup A'=S$ حيثقد يكون: ${\displaystyle P(A)+P(A')=1$ ويمكن استنتاج: ${\displaystyle P(A')=1-P(A)s$ أو${\displaystyle P(A)=1-P(A')s$

أيضاً نقول حتى الحدث ${\displaystyle A'$هووقع عدم وقوع ${\displaystyle A$ .

3) مجموع احتمالات الأحداث الكاملة يساوي الواحد السليم لأن اتحادها يساوي${\displaystyle S$

4)الحدثان المتنافيان ${\displaystyle B$, ${\displaystyle A$ أي تقاطعهم ${\displaystyle F$ فإن: ${\displaystyle P(A\cap B)=0$, ${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ , " ويمكن تعميم ذلك على أكثر من حدثين متنافيين ".

5) إذا كان ${\displaystyle A$, ${\displaystyle B$ حدثان غير متنافيين (متصلين) أواحتمال وقوع أحدهم على الأقل فإن: ${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ عملية الطرح هنا للاحتمال ${\displaystyle P(A\cap B)s$ لتكراره مرتين عند حساب الاحتمال للجزء المشهجر بين ${\displaystyle A$, ${\displaystyle B$ حيث يحسب مرة مع ${\displaystyle A$ وأخرى مع ${\displaystyle B$.

يمكن تعميم القاعدة السابقة لأكثر من حدثين متصلين كالتالي:

${\displaystyle P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)$

6) عدد الأحداث في فضاء النواتج ${\displaystyle S$ للتجربة العشوائية هو${\displaystyle 2^{N$حيث ${\displaystyle N$ عدد عناصر الفضاء ${\displaystyle S$ فعدد أحداث تجربة إلقاء حجر النرد مرة واحدة هو${\displaystyle 2^{6 =64$ حدثاً بما فيهم الحدثان المحال ${\displaystyle \varnothing$ والمؤكد ${\displaystyle S$ حيث : ${\displaystyle S=\{1,2,3,4,5,6\$

أمثلــة:

(1) في تجربة إلقاء بترة نقود وحجر النرد ولمرة واحدة أخط فضاء النواتج ${\displaystyle S$.

الحل: بترة النقود لها عنصران ${\displaystyle H$, ${\displaystyle T$ صورة وكتابة، وحجر النرد له ${\displaystyle 6$ عناصر هي العداد من ${\displaystyle 1$ إلى ${\displaystyle 6$ وعليهقد يكون عدد عناصر فضاء التجربة ${\displaystyle 2*3=12$ هي:

${\displaystyle S=\{(H;1);(H;2);(H;3);(H;4);(H;5);(H;6);(T;1);(T;2);(T;3);(T;4);(T;5);(T;6)\$

ويمكن كتابتها اختصاراً بالصورة :

${\displaystyle S=\{(H;1);(H;2);...;(T;5);(T;6)\$

(2) سحبت كرة واحدة فقط من كيس يحوي ${\displaystyle 10$ كرات متماثلة تماماً ألوانها ${\displaystyle 3$ حمراء، ${\displaystyle 2$ سوداء، ${\displaystyle 5$ صفراء فما احتمال حتى تكون الكرة المسحوبة حمراء

الحل : عدد الكرات التي تحقق المطلوب (حمراء اللون) هو${\displaystyle 3$ وعدد الكرات التي يمكن حتى تسحب يساوي ${\displaystyle 10$وبافتراض حتى ${\displaystyle A$هووقع الكرة حمراء فيكون المطلوب: ${\displaystyle P(A)=M/N=3/10=0.3$.

(3) إذا كان احتمال وفاة إنسان هو${\displaystyle 0,05$ فما احتمال حتى يعيش؟

الحل: واضح حتى الاحتمال المطلوب هوالحدث المتمم للاحتمال المعطى أي حتى مجموعهم يساوي الواحد السليم وبفرض أن:

${\displaystyle A$ : وقع حتى يعيش الرجل و${\displaystyle A'$ : وقع حتى يموت الرجل فإن :

${\displaystyle P(A)=1-P(A')=1-0.05=0.95$.

(4) بين إذا كانت الأحداث الآتية شاملة (دالة احتمال) حيث احتمالاتها ${\displaystyle 0,1$، ${\displaystyle 0,3$،${\displaystyle 0,6$ مع الفهم بأنها متنافية فيما بينها

الحل: حتى تكون شاملة يجب حتىقد يكون مجموعها يساوي الواحد السليم وبجمعها نجد أن: ${\displaystyle 0.1+0.3+0.6=1$ فالأحداث شاملة.

(5) بين إذا كانت الأحداث الأربع الآتية شاملة (دالة احتمال) حيث احتمالاتها ${\displaystyle 0.6,\ 0.3,\ 0.1,\ 0.0$

الحل: حتى تكون شاملة يجب حتى لاقد يكون أياً منها لا يساوي ${\displaystyle F$ ولكن وجود الاحتمال المساوي للصفر يعني الحدث ${\displaystyle =$ ${\displaystyle F$ فالأحداث غير شاملة.

(6) إذا كان احتمال النجاح في مادة الرياضيات هو${\displaystyle 0,45$واحتمال النجاح في مادة الإحصاء هو${\displaystyle 0,65$واحتمال النجاح في المادتين معاً هو${\displaystyle 0,37$أوجد احتمال النجاح في أحد المادتين على الأقل.

الحل: بتطبيق صيغة الاحتمالات للحوادث المتصلة بفرض أنَّ:

${\displaystyle A$: احتمال النجاح في مادة الرياضيات

${\displaystyle B$ : احتمال النجاح في مادة الإحصاء

${\displaystyle A\cap B$: احتمال النجاح في المادتين معاً فأنَّ:

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.45+0.65-0.3=0.73$.

انظر أيضا

المراجع

وصلات خارجية

• "?Why is quantum mechanics based on probability theory" (بالإنجليزية)