في الرياضيات وبالتحديد في الهندسة الوصفية، البتر المخروطي هومنحنى ناتج عن تقاطع مخروط ${\displaystyle K}$${\displaystyle K$ وغير متماس له (التقاطع في هاتين الحالتين نقطة أومستقيم).

دُرست البتر المخروطية منذ وقت طويل يعود إلى 200 قبل الميلاد عندما قام أبلونيوس البرغاوي بإجراء دراسة تبين خصائصها.

التعريف التحليلي

في التحليل الرياضي البتر المخروطي هوالمحل الهندسي لنقطة تتحرك بحيث تكون العلاقةُ بينَ بعدها عن نقطةٍ ثابتةٍ وبعدها عن مستقيمٍ ثابتٍ نسبةً ثابتةً. تسمى هذه النسبة الاختلاف المركزي (Eccentricity)، كما تسمى النقطة الثابتة البؤرة (Focus)، أما المستقيم الثابت فيسمى الدليل (directrix).

${\displaystyle PS=e.PM$

حيث:

- P هي نقطة (x,y) تقع على البتر.

- S البؤرة

- e معامل الاختلاف المركزي

- وm هي مسقط العمودي ل P على الدليل.

إذا كان الاختلاف المركزي مساويا للوحدة (عدد الواحد السليم) سُمِّيَ المنحنى بترا مكافئا (Parabola)، وإذا كان الاختلاف المركزي أقل من الوحدة (الواحد السليم) سمي المنحنى بترا ناقصا (Ellipse)، وإذا كان الاختلاف المركزي أكبر من الوحدة (الواحد) سمي المنحنى بترا زائدا(Hyperbola).

وتسمى القطوع المكافئة والناسيرة والزائدة بالقطوع المخروطية، لأنه يمكن حتى تتولد نتيجة بتر السطح المخروطي بمستوفي وضع معين.

أنواع القطوع المخروطية

لها ثلاثة أنواع هي البتر المكافئ (شلجم)، البتر الزائد (هذلول)، والبتر الناقص (إهليج). وقد تُعدُّ الدائرة نوعًا رابعًا (كما عدَّها أبولونيو) أويمكن عدُّها نوعا من القطوع الناسيرة. ويتشكل البتر الناقص والدائرة عندماقد يكون تقاطع المستوى والمخروط منحنى مغلق. وتتشكل الدائرة عندماقد يكون المستوى القاطع موازيًا لدائرة القاعدة المولدة للمخروط. بالنسبة لمخروط يميني (كما في الشكل اللقاء في أعلى الصورة)قد يكون المستوى القاطع عموديًا على محور تماثل المخروط. إذا كان المستوى القاطع موازيا لخط واحد فقط من الخطوط المولدة للمخروط حينها يصبح البتر مفتوحًا وليس مغلقًا فيسمى بترًا مكافئًا. وفي الحالة الأخيرة يتكون البتر الزائد وعندما يتقاطع المستوى مع نصفي المخروط الإثنين، مكونًا بذلك منحنيين منفصلين ومفتوحين، يتم في الغالب تجاهل أحدهما والعمل بالآخر.

حالات شاذة

توجد حالات شاذة تنتج عندما يمر المستوى القاطع برأس المخروط Apex. التقاطع في هذه الحالات قد يحدث خطًا مستقيما (إذا كان المستوى مماسًا لسطح المخروط)؛ أونقطة (إذا كانت الزاوية بين المستوى ومحور المخروط أكبر من المماس)؛ أوزوجا من الخطوط المتقاطعة (عندما تكون الزاوية أصغر).

عندما يصبح المخروط أسطوانة أي عندماقد يكون الرأس واقعا في منطقة اللانهاية تنتج قطوع أسطوانية. بالرغم من حتى ذلك يتسبب غالبًا في بتر ناقص أودائرة، إلا حتى هناك حالة شاذة تنتج خطين متوازيين.

الاختلاف المركزي

انظر أيضاً: لا مركزية (رياضيات)

شروط التعريف الأربعة الواردة أعلاه يمكن جمعها في شرط واحد يعتمد على نقطة افتراضية F(البؤرة) ومستقيم L (الدليل) لا يمر بالنقطة Fوعدد حقيقي غير سالب e (هومعامل الاختلاف المركزي). البتر المخروطي اللقاء يتكون من جميع النقاط التي تبعد عن F مسافةً تساوي e مرة بعدها عن L. إذا كانت e بين 0 و1 نحصل على بتر ناقص، إذا كانت e=1 نتحصل على بتر مكافئ وإذا كانت أكبر من 1 نحصل على بتر زائد.

يوجد دليلان وبؤرتان لكل من البتر الزائد والناقص. المسافة من المركز إلى الدليل هي ${\displaystyle a/e}$${\displaystyle ae\$.

في حالة الدائرةقد يكون معامل الاختلاف المركزي e= 0 ويمكن تخيل حتى الدليل قد تم استبعاده لانهائيًا عن المركز. لكن من غير المفيد استخدام التعبير: إذا الدائرة تتكون من جميع النقاط التي التي تبعد مسافة e مرة بعدها عن L لأننا سنحصل على 0 مضروبة في مالانهاية.

لذلك فإن المميز الأساسي ما يخص البتر المخروطي هومقياس يبين لأي مدى يبعد البتر عن حتىقد يكون دائرة. لقيمة معطاة ${\displaystyle a}$

المعادلة الجبرية

يمكن تمثيل معادلة البتر المخروطي بأشكال مختلفة منها:

1. إذا كان الاختلاف المركزي يساوي ھ وكانت البؤرة عند نقطة الأصل (0،0) والدليل مستقيما عموديا على محور السينات يبتره على بعد ف فإن معادلة البتر المخروطي تعطى بالمعادلة التالية:

(1 - ھ^2) س^2 + 2ھ^2 ف س + ص^2 = ھ^2 ف

1. معادلة من الدرجة الثانية في متغيرين س، ص ويمكن كتابة هذه المعادلة على الصورة التالية:

أ س^2 + 2ب س ص + جـ ص^2 + 2د س + 2ھ ص + و= 0

الإحداثيات الديكارتية

في النظام الإحداثي الديكارتيقد يكون منحنى دالة تربيعية في متغيرين دوما بترا مخروطيا، وكل القطوع المخروطية تتكون بهذه الطريقة. معادلتها تكون في الصورة:

${\displaystyle Ax^{2 +Bxy+Cy^{2 +Dx+Ey+F=0$ حيث ${\displaystyle A$, ${\displaystyle B$, ${\displaystyle C$ ليسوا جميعًا أًصفارًا.

إذن:

• إذا كانت ${\displaystyle x^{2 +y^{2 +10=0$)؛
  • إذا كان ${\displaystyle A=C}$
• إذا كان ${\displaystyle B^2-<!--\; -\; -->4AC=0}$
• إذا كان ${\displaystyle B^2-<!--\; -\; -->4AC>0}$
  • أيضاًإذا كان ${\displaystyle A+C=0}$

لاحظ حتى A وB هي معاملات لا تمثل أي أطوال للمحاور الأكبر والأصغر كما سيتم تعريفها في القسم التالي

في تعبير المصفوفات تصبح المعادلات السابقة كالتالي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix x&y\end{bmatrix .{\begin{bmatrix A&B/2\\B/2&C\end{bmatrix .{\begin{bmatrix x\\y\end{bmatrix +Dx+Ey+F=0.$

أو

${\displaystyle {\begin{bmatrix x&y&1\end{bmatrix .{\begin{bmatrix A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix .{\begin{bmatrix x\\y\\1\end{bmatrix =0.$

و

${\displaystyle B^{2 -4AC=-4\left|{\begin{matrix A&B/2\\B/2&C\end{matrix \right|$.

رغم تغيير الإحداثيات يمكن وضع هذه المعادلات في صورة قياسية:

• الدائرة: ${\displaystyle x^{2 +y^{2 =r^{2 \,$
• البتر الناقص: ${\displaystyle {x^{2 \over a^{2 +{y^{2 \over b^{2 =1,\;{x^{2 \over b^{2 +{y^{2 \over a^{2 =1$
• البتر المكافئ:${\displaystyle y^{2 =4ax\,$, ${\displaystyle x^{2 =4ay\,$
• البتر الزائد:${\displaystyle {x^{2 \over a^{2 -{y^{2 \over b^{2 =1,\;{x^{2 \over b^{2 -{y^{2 \over a^{2 =-1$
• البتر الزائد المستطيل:${\displaystyle xy=c^{2 \,$

مثل هذه الصيغ تكون متماثلة حول محور x، وفيما يخصُّ الدائرة والبتر الزائد والناقص حول محور y و البتر الزائد المستطيل هي حالة التماثل الوحيدة التي تكون حول ${\displaystyle y=x$ و${\displaystyle y=-x$. لذلك فان دالتها العكسية هي نفس الدالة الأصلية.

يمكن كتابة هذه الصيغ القياسية في صورة معادلات وسيطية (بارامترية):

• الدائرة: ${\displaystyle (a\cos \theta ,a\sin \theta )$
• البتر الناقص: ${\displaystyle (a\cos \theta ,b\sin \theta )$
• البتر المكافئ: ${\displaystyle (at^{2 ,2at)$
• البتر الزائد: ${\displaystyle (a\sec \theta ,b\tan \theta )$ أو${\displaystyle (\pm a\cosh u,b\sinh u)$
• البتر الزائد المستطيل:${\displaystyle \left(ct,{c \over t \right)$

الإحداثيات المتجانسة

في الإحداثيات المتجانسة، البتر المخروطي يمكن تمثيلها كالتالي:

${\displaystyle A_{1 x^{2 +A_{2 y^{2 +A_{3 z^{2 +2B_{1 xy+2B_{2 xz+2B_{3 yz=0.$

أوبتعبير المصفوفات:

${\displaystyle {\begin{bmatrix x&y&z\end{bmatrix .{\begin{bmatrix A_{1 &B_{1 &B_{2 \\B_{1 &A_{2 &B_{3 \\B_{2 &B_{3 &A_{3 \end{bmatrix .{\begin{bmatrix x\\y\\z\end{bmatrix =0.$

المصفوفة ${\displaystyle M={\begin{bmatrix A_{1 &B_{1 &B_{2 \\B_{1 &A_{2 &B_{3 \\B_{2 &B_{3 &A_{3 \end{bmatrix$ تدعى "مصفوفة البتر المخروطي".

على سبيل المثال البتر المخروطي ${\displaystyle {\begin{bmatrix x&y&z\end{bmatrix .{\begin{bmatrix 1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix .{\begin{bmatrix x\\y\\z\end{bmatrix =0$ يختزل اتحاد المستقيمين:

${\displaystyle \{x^{2 -y^{2 =0\ =\{(x+y)(x-y)=0\ =\{x+y=0\ \cup \{x-y=0\$.

وبالمثل يختزل البتر المخروطي أحيانًا خطًا مفردا:

${\displaystyle \{x^{2 +2xy+y^{2 =0\ =\{(x+y)^{2 =0\ =\{x+y=0\ \cup \{x+y=0\ =\{x+y=0\$.

CP² بترين مخروطيين بينهما أربعة نقاط مشهجرة (إذا أخذنا في الاعتبار التعددية Multiplicity)أي لا يوجد أكثر من أربعة نقاط تقاطع وتوجد دائمًا نقطة تقاطع واحدة (الاحتمالات: أربعة نقاط تقاطع مختلفة، أونقطتي تقاطع فرديتين ونقطة تقاطع مزدوج، أونقطتي تقاطع مزدوج، أونقطة تقاطع فردي ونقطة تقاطع بتعددية 3، أونقطة تقاطع واحدة بتعددية 4). إذا وجدت نقطة تقاطع واحدة على الأقل ذات تعددية > 1 ينطق حتى البترين المخروطيين متماسين. أما إذا كان هناك نقطة تقاطع واحدة ذات تعددية أربعة ينطق حتى البترين متلامسين osculating.

إضافة لما تجاوز فإن جميع خط مستقيم يقاطع جميع من البترين المخروطيين مرتين. إذا كانت نقطة التقاطع مزدوجة عُدَّ الخط مماسًا ويسمى المماس. لأن جميع مستقيم يقاطع البتر مرتين فإن كلا البترين المخروطيين له نقطتين في مالانهاية (تقاطع النقاط مع خط المالانهاية) فإذا كانت النقطتان حقيقيتان فلابد حتىقد يكون البتر زائدًا، وإذا كانتا تخيليتين فلابد حتىقد يكون البتر ناقصًا، أما إذا كان للبتر نقطة واحدة مزدوجة في مالانهاية فهومكافئ.

تطبيقات

انظر إلى تطبيقات الدائرة والبتر الناقص والبتر المكافئ والبتر الزائد.

انظر أيضا

• بتر مكافيء
• بتر ناقص
• بتر زائد

مصادر

• معجم الرياضيات - تأليف لجنة من الخبراء من وزارة التربية والتعليم - عمان - طبعة مخطة لبنان - ساحة رياض الصلح/ بيروت - 1980م.