إثبات خاطئ

تطلق تعبير إثبات خاطئ أومغالطة رياضية أومبرهنة خاطئة أوإثبات غير مشروع على أي تعبير زائف الإثبات في الرياضيات. تعتمد أغلب طرق البراهين الزائفة أساليب تضليل بارعة تصل في النهاية لعمل خرق فاضح في القانون الرياضي مما يعطي البعض فرصة للتشكيك في صحة الرياضيات. ومع ذلك فإن مثل هذه البراهين تدل على مدى ضرورة الدقة في الرياضيات. يعد كتاب سيوداريا Pseudaria من الخط القديمة ذات البراهين الخاطئة ويعزى إلى إقليدس.

فيما يلي ستتم الإشارة إلى بعض وأكثر البراهين الخاطئة انتشارا.

الأس والجذر

إثبات حتى 1=-1

نسخة 1

نبدأ بالمطابقة

{\displaystyle -1=-1\,

نحول طرفي المعادلة إلى كسور عامية

{\displaystyle {\frac {1 {-1 ={\frac {-1 {1

بتطبيق قاعدة الجذر على الطرفين نجد أن

{\displaystyle {\sqrt {\frac {1 {-1 ={\sqrt {\frac {-1 {1

${\displaystyle {\frac {\sqrt {1 {\sqrt {-1 ={\frac {\sqrt {-1 {\sqrt {1$

بضرب الطرفين × ${\displaystyle {\sqrt {1 \cdot {\sqrt {-1$ نحصل على

{\displaystyle {\sqrt {1 \cdot {\sqrt {1 ={\sqrt {-1 \cdot {\sqrt {-1

إن تربيع أي جذر تربيعي يعطي الرقم الأصلي وعليه

{\displaystyle \displaystyle {1=-1

وهوالمطلوب إثباته (هـ.ط.ث. Q.E.D.)

بالطبع الاثبات غير مشروع لأنه تم تطبيق قاعدة الجذر التربيعي بطريقة خاطئة.

{\displaystyle {\sqrt {\frac {x {y ={\frac {\sqrt {x {\sqrt {y

يكون هذا سليما فقط عندما تكون قيم x وy أعداد حقيقية موجبة وهذا مالم يتم اقتضاؤه سابقا. على هذا الأساس فالبرهان خاطئ

نسخة 2

بواسطة التلاعب بالأساسات، يمكن اشتقاق البراهين الخاطئة التالية:

{\displaystyle 1={\sqrt {1 ={\sqrt {(-1)(-1) ={\sqrt {-1 {\sqrt {-1 =-1

هـ.ط.ث.

تكون القاعدة ${\displaystyle {\sqrt {xy ={\sqrt {x {\sqrt {y$ عموما مشروعة فقط إذا كان أحد الأعداد x أوy على الأقل موجبا، وهذه ليست الحال هنا. بطريقة أخرى يمكن للمرء النظر للجذر التربيعي على أنه دالة ثنائية القيمة في الأعداد المركبة وفي هذه الحال يقدر طرفا المعادلة السابقة بـ{1, −1 .

كذلك يقتضى أنه إذا كان الجذر التربيعي في بداية مسألة تكون الإجابة الموجبة هي الوحيدة المطلوبة، ولذلك إذا

بدأنا بـ1=1 ثم البناء حتى ${\displaystyle {\sqrt {1 \,$ سنصل في النهاية إلى 1= ± 1

تقنيا نستخلص حتى تعويض ± 1 = ± 1 فيما تجاوز يصل بنا إلى النتيجة الخاطئة 1 = 1, 1 = -1, -1 = 1, -1 = -1

نسخة 3

بالعبور إلى ومن الأعداد الحقيقية للأعداد المركبة يمكن اشتقاق الاثبات الغير مشروع كما يلي:

{\displaystyle -1=(-1)^{3 =(-1)^{\frac {6 {2 =((-1)^{2 )^{\frac {3 {2 =1^{\frac {3 {2 =1

هـ.ط.ث.

المعادلة a^bc = (a^b)^c لأي عددين حقيقيين b وc عمومامشروعة فقط عندماقد يكون a موجبا، وهذه الحالة ليست هنا.

نسخة 4

بالاستعانة بالمتطابقة المثلثية

{\displaystyle \,\cos ^{2 x=1-\sin ^{2 x

.

بحمل طرفي المعادلة للقوة 3/2 نحصل على

{\displaystyle (\cos ^{2 x)^{\frac {3 {2 =(1-\sin ^{2 x)^{\frac {3 {2

{\displaystyle (\cos ^{3 x)=(1-\sin ^{2 x)^{\frac {3 {2

.

والان لتكن x = π. حينئذ

{\displaystyle -1=(1-0)^{\frac {3 {2

{\displaystyle -1=1.\,

هـ.ط.ث.

في هذا البرهان، بدأت المغالطة في المستوى الثالثة، حيث تم تطبيق القاعدة (a^b)^c = a^bc دون التأكد من حتى a موجبة القيمة. أيضا، في المستوى الرابعة، لم يتم الكشف عن جميع الجذور الممكنة ${\displaystyle (1-0)^{\frac {3 {2$ . مع حتى 1 يعتبر جذرا، −1 هوجذر أيضا.

بالغاء الإجابة الخاطئة 1 يتبقى لدينا الإجابة السليمة −1 = −1.

اثبات أنx = y لأي أعداد حقيقية x وy

إذا كان a^b = a^c'، فإن b = c. لذلك، بما أن1x = 1y، يمكننا استنباط حتى x = y.

هـ.ط.ث.

الخطأ في هذا الاثبات يقع في الحقيقة حتى القاعدة المنصوص عليها سليمة فقط لعدد موجب a لا يساوي 1.

اثبات حتى الجذر التربيعي لـ 1 = -1

{\displaystyle {\sqrt {-1 =(-1)^{\frac {2 {4 =((-1)^{2 )^{\frac {1 {4 =

{\displaystyle 1^{\frac {1 {4 =1

هـ.ط.ث.

يقع الخطأ هنا في السطر الأخير من الاثبات، حيث أهملنا الجذور الرباعية الأخيرة لـ1، وهي −1, i

و− i (حيث حتى i هي الوحدة التخيلية).

1+1+1+... =1

هنا أيضا خدعة شائعة تستخدم لإثبات حتى حاصل جمع أي عدد من الواحدات ينتج عنه الرقم 1 أيضا:

لووضعنا:

0 + 0 = 0 ثم عوضنا عن x = 0 في المعادلة السابقة لتصبح:

x = x + x

وبقسمة الطرفين على x نحصل على

1 + 1 = 1

بتعميم هذه الطريقة يمكن أيضا اثبات أن

1 + 1 + 1 +... 1 = 1

طالما وصلنا للصيغة:

x = x... + x + x + x

بالتأكيد فالخطأ الذي يقع فيه الجميع هوعند السماح بالقسمة على x مع أنه لا يجوز رياضيا القسمة على 0 وبشكل خاص عندماقد يكون جميع من البسط والمقام أصفارا لأن النتيجة تصبح غير فهم. كما أنه لا يمكن تحويل العبارة 0=0+0 إلى x+x=x.

1=2

إثبات حتى 1=2 هونوع من الإثباتات الخاطئة في الرياضيات، وهي الإثباتات التي تصل إلى نتيجة غير منطقية رغم استخدامها القوانين الرياضية.

1.لنأخذ المقدار

س = ص

2.بضرب الطرفين في س

س² =س ص

3.بطرح ص² من الطرفين

س² – ص²=س ص – ص²

4.بتحليل الطرفين

(س+ص) (س–ص) = ص (س–ص)

5.بقسمة الطرفين على (س–ص)

(س+ص)= ص

6.وبما حتى س = ص ←

(ص+ص) = ص ←

2ص = ص ←

بقسمة الطرفين على ص ←

1 = 2

وهذه من طبيعة الحال نتيجة غير منطقية، وذلك لأنه في المستوى الخامسة قُسم الطرفين على (س-ص)، وهذا المقدار يساوي الصفر (لأن س=ص)، فإن ذلك يعتبر خطأً، لأنه لا يجوز القسمة على صفر.

انظر أيضا

مفارقة

مراجع

^ Maxwell 1959، Chapter VI, §I.1
^ Maxwell 1959
^ Barbeau, Ed (1990), "Fallacies, Flaws and Flimflam #19: Dolt's Theorem", The College Mathematics Journal, 21 (3): 216–218 CS1 maint: ref=harv (link)