خماسي أضلاع

مخمس منتظم
مخمس منتظم
أضلاع ورؤوس	5
رمز شليفلي	{5
مخطط كوكستير-دينكين
مجموعة التناظر	تناظر ثنائي السطوح (D₅)
زاوية داخلية (درجة)	108°
خصائص	محدب، مضلع دائري، منتظم، رأسي، متعدي الحافة

الصفحة 34 من كتاب فيما یحتاج إليه الصانع من أعمال الهندسة لأبي الوفاء البوزجاني حيث يذكر فيها كيفية رسم مخمس في دائرة

في الهندسة الرياضية، خُمَاسِيّ الأَضْلاَعِ أوالمُخَمَّس (بالإنجليزية: Pentagon)‏ هومضلع له خمسة أضلاع.. مجموع الزوايا الداخلية لخماسي أضلاع سهل (أي أضلاعه لا تتقاطع مع بعضها البعض) ومحدب يساوي 540 درجة.

قد يحدث خماسي الأضلاع بسيطا وقد يحدث ذاتي التقاطع. خماسي ذاتي التقاطع يسمى نجمة خماسية.

الخماسي المنتظم

خطوات إنشاء المخمس باستخدام الفرجار والمسطرة.

الزاوية الداخلية للخماسي تساوي 108°.

مساحة خماسي منتظم

تعطى مساحة المخمس ذوطول الضلع t بالعلاقة التالية:

{\displaystyle A={\frac {t^{2 {\sqrt {25+10{\sqrt {5 {4 ={\frac {5t^{2 \cdot \tan(54^{\circ ) {4 \ \approx 1.720477401\,t^{2 .

تعطى مساحة المخمس بدلالة نصف قطر الدائرة المحاطة داخله r بالعلاقة:

${\displaystyle t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5 {2 \ \approx 1.17557050458R$ .

شعاع الدائرة المحيطة

يعطى نصف قطر الدائرة المحيطة R بالعلاقة:

${\displaystyle R={\frac {\sin(54^{\circ )a {\sin(72^{\circ ) \ \approx 0.85065a$

إنشاء خماسي منتظم

المخمس هومضلع قابل للإنشاء باستخدام إنشاءات الفرجار والمسطرة. ويعود ذلك إلى كونخمسة عددا أوليا لفيرما. هناك الكثير من الطرق اللائي يمكنن من إنشاء خماسي منتظم. منهن ما يلي.

طريقة ريشموند

دوائر كارليل

رسم خماسي باستعمال دوائر كارليل

البرهان على حتى cos 36° = ${\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5 {4$

{\displaystyle {\begin{aligned 0&=\cos 90^{\circ \\&=n^{2 +2n+1\\&=\cos(72^{\circ +18^{\circ )\\&=\cos 72^{\circ \cos 18^{\circ -\sin 72^{\circ \sin 18^{\circ \end{aligned

(باستخدام قائمة المطابقات المثلثية)

{\displaystyle \quad =(2\cos ^{2 36^{\circ -1){\sqrt {\tfrac {1+\cos 36^{\circ {2 -2\sin 36^{\circ \cos 36^{\circ {\sqrt {\tfrac {1-\cos 36^{\circ {2

ليكن u = cos 36°. أولا لاحظ أن

0 < u < 1

(والتي ستساعدنا في التبسيط أثناء العمل). الآن،

{\displaystyle {\begin{aligned 0&{ =(2u^{2 -1){\sqrt {\tfrac {1+u {2 -2{\sqrt {1-u^{2 \cdot u{\sqrt {\tfrac {1-u {2 \\2{\sqrt {1-u^{2 \cdot u{\sqrt {\tfrac {1-u {2 &{ =(2u^{2 -1){\sqrt {\tfrac {1+u {2 \\2{\sqrt {1+u {\sqrt {1-u \cdot u{\sqrt {1-u &{ =(2u^{2 -1){\sqrt {1+u \\2u(1-u)&{ =2u^{2 -1\\2u-2u^{2 &{ =2u^{2 -1\\0&{ =4u^{2 -2u-1\\u&{ ={\frac {2+{\sqrt {(-2)^{2 -4(4)(-1) {2(4) \\u&{ ={\frac {1+{\sqrt {5 {4 \end{aligned

قد يعبر عن هذه النتيجة نثرا كما يلي :

الجيب التمام لزاوية تساوي ستة وثلاثين درجة هونصف النسبة المضىية.

طريقة أقليدس

أمثلة عن الخماسيات

نباتات

المبتر العرضي للبامية.
مجد الصباح، مثل الكثير من الزهور الأخرى ، لها شكل خماسي.
يحتوي متاع التفاح على خمس نقرات ، مرتبة بنجمة ذات خمس فروع.
فاكهة النجمة

حيوانات

نجم البحر، مجموعة من شوكيات الجلد لها تماثل خماسي.
رسم توضيحي لنجم البحر الهش، أيضا من شوكيات الجلد اللائي لهن شكل خماسي.

معادن

الشبه بلورة "Ho-Mg-Zn" عشرينية الأوجه تشكلت كاثنا عشري سطوح خماسي الشكل. الوجوه كلها خماسيات منتظمة.
بلورة بيريت، تعبير عن اثنا عشري الوجوه له 12 وجهًا خماسيًا متطابقًا غير مقيد ليكون منتظمًا.

إنشاءات إنسانية

بنتاغون، المقر الرئيسي لوزارة دفاع الولايات المتحدة.
صفيحة ملعب كرة القاعدة (Home Plate)
كرة قدم أديداس تيليستار، باللونين المعتادين الأبيض والأسود. هي على شكل عشريني أوجه مبتر الرؤوس. ابتكرت في عام 1970. الأشكال السوداء هن خماسيات أضلاع.

انظر أيضا

نسبة مضىية
قائمة الأشكال الهندسية
عدد مخمسي
نجمة خماسية
مبرهنة فيثاغورس

وصلات خارجية

المراجع

↑ ترجمة حدثة pentagon على مسقط قاموس المعاني. (تاريخ الاطلاع:خمسة نوفمبر 2017) نسخة محفوظة 07 نوفمبر 2017 على مسقط واي باك مشين.
^ كتاب فيما یحتاج إليه الصانع من أعمال الهندسة لأبي الوفاء البوزجاني.
^ "معلومات عن مخمس على مسقط babelnet.org". babelnet.org. مؤرشف من الأصل في 13 ديسمبر 2019.
^ "معلومات عن مخمس على مسقط vocab.getty.edu". vocab.getty.edu. مؤرشف من الأصل في 18 أبريل 2020.
^ "معلومات عن مخمس على مسقط jstor.org". jstor.org. مؤرشف من الأصل في 26 مايو2019.