كواتيرنيون

يمكن استعمال كواتيرنيون لتمديد مجموعة جوليا ومجموعة ماندلبرووتقديمها بصريا في أبعادها الثلاثية.

الكواتيرنيون (بالإنجليزية: Quaternion)‏ في مجال الرياضيات هوامتداد عملية غير تبديلية للأعداد المركبة. وصَف الكواتيرنيون السير ويليام هاميلتون في عام1843 وطبقهم على الميكانيك في الفضاء ثلاثي الأبعاد. في البداية تم اعتبار الكواتيرنيون عنصرا غير مفيد لأنها تخالف قانون العملية التبديلية ab = ba. على الرغم أنه تم الاستعاضة عنهم في كثير من التطبيقات بالأشعة والمصفوفات، إلا ما زال يوجد لهم الكثير من الاستخدامات في الرياضيات النظرية والتطبيقية، بشكل خاص الحسابات المتعلقة بالدوران ثلاثي الأبعاد كما في الرسوميات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد.

في العصر الحديث يشار إلى الكواترنيون بالرمز الجبري H نسبة إلى العالم هاميلتون أوباستخدام الرمز العريض ${\displaystyle \mathbb {H$ .

التعريف

ضرب كواتيرنيون
×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1

تعهد الكواتيرنيون على شكل حلقة

{\displaystyle \mathbb {H =\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in \mathbb {R \

وتكون عملية الجمع على الشكل التالي:

{\displaystyle (a_{1 +b_{1 i+c_{1 j+d_{1 k)+(a_{2 +b_{2 i+c_{2 j+d_{2 k)\,

{\displaystyle =(a_{1 +a_{2 )+(b_{1 +b_{2 )i+(c_{1 +c_{2 )j+(d_{1 +d_{2 )k\,

وعملية الطرح كما يلي:

{\displaystyle (a_{1 +b_{1 i+c_{1 j+d_{1 k)(a_{2 +b_{2 i+c_{2 j+d_{2 k)\,

وباستخدام قانون التوزيع وتطبيق العلاقات الفهم ينتج لدينا:

{\displaystyle i^{2 =j^{2 =k^{2 =ijk=-1,\,

بحيث حتى جميع كواتيرنيون هي علاقة خطية حقيقية متفردة للزمر الرباعية الأساسية 1, i, j, k.

الخصائص

الجداء البسيط

من أجل أي كواتيرنيون تعطى الصيغ الأساسية لجداء عوامل الكواتيرنيون على الشكل التالي:

{\displaystyle i^{2 =j^{2 =k^{2 =ijk=-1\,

حيث i, j, k وتلخص جداءات العناصر الرئيسية للكواتيرنيونات في الجدول التالي:

{\displaystyle {\begin{matrix ij&=&k,&&&&ji&=&-k,\\jk&=&i,&&&&kj&=&-i,\\ki&=&j,&&&&ik&=&-j.\end{matrix

على سبيل المثال: بما أن

{\displaystyle -1=ijk,\,\!

فإن حاصل الجداء اليميني لكلا طرفي المعادلة بـ k يعطي:

{\displaystyle {\begin{matrix -k&=&ijkk,\\-k&=&ij(-1),\\k&=&ij.\end{matrix \,\!

وبمثل هذه الطريقة يتم الحصول على تام جدول الضرب. على خلاف جداء الأعداد الحقيقية أوالعقدية، فإن جداء الكواتيرنيون ليس عملية تبديلية مثلاً ${\displaystyle ij=k$ , بينما ${\displaystyle ji=-k$ . إن الخاصة اللاتبديلية لجداء الكواتيرنيون له خصائص غير متسقطة، مثلاً فإن المعادلات متعددة الحدود الممثلة على شكل كواتيرنيونات من الممكن حتىقد يكون لها عدد حلول فريدة أكثر من درجة المعادلة. مثلاً المعادلة

 ${\displaystyle z^{2 +1=0$

تملك عدد حلول لانهائي للكواتيرنيون تعطى بالعلاقة

 ${\displaystyle z=bi+cj+dk$  حيث  ${\displaystyle b^{2 +c^{2 +d^{2 =1$

حيث تمثل مجموعة الحلول كرة واحدية متمركزة في الفضاء العقدي الثلاثي الأبعاد الذي هوفضاء جزئي من فضاء الكواتيرنيون، وتبتر هذه الكرة المستوي العقدي فقط عند قطبيها ${\displaystyle i$ و ${\displaystyle -i$ .

مراجع

^ "quaternion group". Wolframalpha.com. مؤرشف من الأصل في 28 أبريل 2018.
^ Simon L. Altmann (December 1989). "Hamilton, Rodrigues, and the Quaternion Scandal". Mathematics Magazine. 62 (5): 306. doi:10.2307/2689481. JSTOR 2689481.
^ pages 357–361. نسخة محفوظة 02 فبراير 2017 على مسقط واي باك مشين.