تكامل سطحي

مواضيع في التفاضل والتكامل
حساب التفاضل
	اشتقاق; حساب المتغيرات; تفاضل ضمني ; مبرهنة تايلور ; معدلات مرتبطة ; متطابِقات; قواعد: ; قاعدة القوة، قاعدة الضرب،; قاعدة ناتج القسمة، قاعدة التسلسل
حسبان تكاملي
	تكامل; قائمة التكاملات ; تكاملات معتلة ; تكامل ريمان; تكامل متعدد; التكامل بواسطة: ; التجزئة، الأقراص، الأسطوانية، التعويض،; التعويضات المثلثية،; الكسور الجزئية، تغيير الرتب
حساب المتجهات
	تدرج ; تباعد ; تدور (إلتواء) ; لابلاسي ; مبرهنة التدرج ; مبرهنة غرين ; مبرهنة ستوكس ; مبرهنة التباعد
حساب متعدد المتغيرات
	حسبان المصفوفات ; اشتقاق جزئي ; تكامل متعدد ; تكامل خطي ; تكامل سطحي ; تكامل حجمي ; جاكوبي

التكامل السطحي في فهم الرياضيات هوتكامل محدود مأخوذ على سطح جسم، يمكن النظر اليه كتكامل ثنائي تماثلي للتكامل الخطي. للتكامل الخطي تطبيقات عدة خاصة في مجال الكهرومغناطيسيات.

تعريف التكامل السطحي يعتمد على تقسيم السطح لأجزاء متناهية في الصغر.

مثال توضيحي لعنصر سطحي مفرد. تكون العناصر متناهير في الصغر بحيث يمكن تقريبه كسطح.

التكامل السطحي للمجالات القياسية

لنعتبر السطح S والذي عليه يعهد عليه مجال قياسي f. لوتخيلنا السطح S قد خلق من مادة ما، ولكل نقطة x فيه تكون قيمة f(x) هي كثافة المادة عند x, وعليهقد يكون التكامل السطحي لـf على السطح S هوكتلة المادة لكل وحدة سماكة من S,بالطبع شريطة حتىقد يكون السمك متناهي في النحافة. تكمن احدى الطرق في حساب التكامل السطحي بأن يتم تقسيم السطح إلى بتر صغيرة جدا بحيث يمكن فرض جميع بترة صغيرة ثابتة الكثافة ومن ثم تحسب الكتلة لوحدة السماكة في جميع بترة بضرب الكثافة بمساحة البترة، وأخيرا تجمع القيم للحصول على الكتلة الكلية.

لإيجاد صيغة واضحة للتكامل السطحي ينبغي التفكير في نظام إحداثيات مناسب تماما مثل نظام احداثيات الطول والعرض على الكرة. ليكن نظام الاحداثيات المختار هوx(s, t), حيث (s, t) متغيرة في منطقة ما T في الاحداثيات الكارتيزية. حينئذ يعطى التكامل السطحي بالعلاقة:

{\displaystyle \int _{S f\,dS=\iint _{T f(\mathbf {x (s,t))\left|{\partial \mathbf {x \over \partial s \times {\partial \mathbf {x \over \partial t \right|ds\,dt

حيث ان التعبير بين العمودين على اليمين هوقيمة الضرب المتجهي للمشتقات الجزئية من x(s, t).

ولورغبنا بحساب المساحة السطحية لجسم ذي دالة مثلا ${\displaystyle z=f\,(x,y)$ , فلدينا

{\displaystyle A=\int _{S \,dS=\iint _{T \left|{\partial \mathbf {r \over \partial x \times {\partial \mathbf {r \over \partial y \right|dx\,dy

حيث ${\displaystyle \mathbf {r =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))$ . وعليه, ${\displaystyle {\partial \mathbf {r \over \partial x =(1,0,f_{x (x,y))$ , و ${\displaystyle {\partial \mathbf {r \over \partial y =(0,1,f_{y (x,y))$ . أي,

{\displaystyle {\begin{aligned A&{ =\iint _{T \left|\left(1,0,{\partial f \over \partial x \right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y \right)\right|dx\,dy\\&{ =\iint _{T \left|\left(-{\partial f \over \partial x ,-{\partial f \over \partial y ,1\right)\right|dx\,dy\\&{ =\iint _{T {\sqrt {\left({\partial f \over \partial x \right)^{2 +\left({\partial f \over \partial y \right)^{2 +1 \,\,dx\,dy\end{aligned

وهي الصيغة الشهيرة التي نستخدمها لإيجاد المساحة السطحية لجسم له دالة. لاحظ حتى الصيغ السابقة يعمل بها في الاسطح ثلاثية الأبعاد فقط بسبب وجود الضرب المتجهي.

التكامل السطحي للمجالات المتجهة

مجال متجه لسطح.

ليكن المجال المتجة v على S, بمعنى أنه لكل x في S,قد يكون (v(x متجه. تصور حتى لدينا مائع يمر خلال S, بحيثقد يكون v(x) تعطينا سرعة المائع عند x. يعهد الفيض على أنه كمية المائع المار في S بكمية وحدة زمنية.

يقتضي التوضيح أنه إذا كان المجال المتجه مماسا لـS عند جميع نقطة، يصبح الفيض صفرا، لأن المائع يسري بشكل موازي لـ S, وليس داخلا ولا خارجا. وكذلك يقتضي أنه لوكان v يسري بشكل مائل (مماسي وعمودي) فإن المركبة العمودية فقط هي التي تشارك في الفيض. ولإيجاد الفيض بناء على هذا السبب، يجب حتى نأخذ الضرب القياسي لـv مع وحدة العمودي على السطح لـS عند جميع نقطة، والتي ستعطينا مجال قياسي، ونكامل المجال المحصل كما في الأعلى. نجد الصيغة:

{\displaystyle \int _{S {\mathbf {v \cdot \,d{\mathbf {S =\int _{S ({\mathbf {v \cdot {\mathbf {n )\,dS=\iint _{T {\mathbf {v (\mathbf {x (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x \over \partial s \times {\partial \mathbf {x \over \partial t \right)ds\,dt.

الضرب المتجهي على الطرف الأيمن من التعبير هوالعمودي على السطح بعد نقل الاحداثيات.

تعهد هذه الصيغة بأنها تكامل مجال المتجه v على S.

انظر أيضا

تكامل حجمي

المصادر

^ "معلومات عن تكامل سطحي على مسقط zthiztegia.elhuyar.eus". zthiztegia.elhuyar.eus. مؤرشف من الأصل في 15 ديسمبر 2019.
^ "معلومات عن تكامل سطحي على مسقط bigenc.ru". bigenc.ru. مؤرشف من الأصل في 15 ديسمبر 2019.
^ "معلومات عن تكامل سطحي على مسقط jstor.org". jstor.org. مؤرشف من الأصل فيتسعة يناير 2020.