في الرياضيات، المصفوفة (بالإنجليزية: Matrix)‏ هي مجموعة مستطيلة من الأعداد أومن الرموز أومن التعبيرات منتظمة بشكل أعمدة وصفوف. يُدعى جميع عنصر من هذا المجموعة بعنصرٍ أومدخلٍ للمصفوفة. فيما يلي، على سبيل المثال، مصفوفة تحتوي على صفين وعلى ثلاثة أعمدة :

${\displaystyle {\begin{bmatrix 1&9&13\\20&55&4\end{bmatrix$

مثالا على المدخلات في المصفوفة أعلاه 1, 9, 13, 20, 55 ,4. يشير عادة على أي مدخل في مصفوفة ما باسم المصفوفة بحرف لاتيني صغير وأسفله رقمين صغيرين بحيث يمثل العدد الأول رقم الصف والثاني رقم العمود مثل الشكل المرفق. ويعهد عدد الأسطر في عدد الأعمدة برتبة المصفوفة أوقياس المصفوفة.مثال ذلك المصفوفة المحتوية على أربعة أسطر وثلاثة أعمدة قياسها هو4*3 ويمكن اجراء عمليتي الجمع والطرح على المصفوفات المتساوية القياس. كما يمكن ضرب المصفوفات بأنسجام معين في القياس. ولهذه العمليات الكثير من خصائص الحساب العادي، باستثناء حتى ضرب المصفوفات ليس بعملية تبديلية, وبشكل عام يمكن حتى نقول حتى A.B لا يساوي B.A. تعهد المصفوف المؤلفة من صف واحد أوعمود واحد بمتجه. أما المصفوفة ذات القياس الأكبر تعهد بموتر.

تعتبر المصفوفات من إحدى أبرز مفاتيح الجبر الخطي. فيمكن حتى تستخدم المصفوفات في حل النقل الخطي. يتوافق ضرب المصفوفات مع النقل الخطي الدالة المركبة. كما يمكن للمصفوفات تتبع المعاملات في نظام المعادلات الخطية

يمكن تعريف المصفوفة عامة على أنها دالة رياضية خطية تحول مجموعة بداية أي انطلاق (مجال) إلى مجموعة وصول أونهاية (مدى). مجموعة الانطلاق والوصول يمكن حتى تكون متكونة من أعداد سليمة أوعقدية أوأشعة من الأعداد كما يمكن حتى تكون هاتان المجموعتان متكونة بدورها من دالات رياضية أوأشعة دالات رياضية. ويمكن حتى نرمز للمصفوفة بمعقفين يخط بينهما عناصر المصفوفة كما هومبين أسفله:
${\displaystyle {\begin{bmatrix {a _{11 &{a _{12 &\cdots &{a _{1n \\{a _{21 &{a _{22 &\cdots &{a _{2n \\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\{a _{m1 &{a _{m2 &\cdots &{a _{mn \end{bmatrix$
حيث ${\displaystyle {a _{ij$ يمكن حتى تكون أعدادا سليمة أومركبة كما يمكن حتى تكون دالات رياضية.

تعريف

المصفوفة هي تنظيم مستطيل الشكل لمجموعة من الاعداد على هيئة صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين. على سبيل المثال:

${\displaystyle \mathbf {A ={\begin{bmatrix 9&8&6\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{bmatrix$

يمكن حتى تضع المصفوفة بين قوسين مربعين أوبين قوسين هلاليين

${\displaystyle \mathbf {A ={\begin{pmatrix 9&8&6\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{pmatrix$

تدعى الخطوط الأفقية في المصفوفة بالأسطر بينما تدعى الخطوط العمودية باسم عمود. أما الأعداد فتدعى مدخلات المصفوفة أوعناصر المصفوفة. ترمز إلى مصفوفة بحرف لاتيني كبير وتحته عددين طبيعيين على شكل جداء هما m وn حيث m هوعدد الصفوف وn عدد الأعمدة. وبالتالي تعهد المصفوفة بعدد الصفوف والأعمدة (m × n مصفوفة), وتعهد m وn بأبعاد المصفوفة. فأبعاد المصفوفة أعلاه هي 3*4 أي أربعة أسطر وثلاثة أعمدة.

أما المصفوفة ذات العمود الواحد تحدد بالشكل (m × 1 مصفوفة) وتعهد باسم متجه عمودي. بينما المصفوفة المؤلفة من صف وحيد وn عمود تحدد بالشكل (a 1 × n مصفوفة) وتعهد باسم متجه صفي .

المصفوفة هي جدول من العناصر، قد تكون أعدادا حقيقية أوأعدادا مركبة وقد تكون دوالا وهي صورة رياضية لوضع الأعداد في جدول.

حيز المصفوفة

هوعدد الصفوف والأعمدة المكونة لهذه المصفوفة التي تحتوى على M من الصفوف وN من الأعمدة والحيز m*n وتخط (A (m*n.

المصفوفة تابعا

إن مصفوفة على الشكل ${\displaystyle \,m\times n\,\,(m,n\in \mathbb {N )$، هي تابع: ${\displaystyle \mathbf {A \colon \{1,2,\ldots ,m\ \times \{1,2,\ldots ,n\ \to \mathbf {S ,\,\,$

حيث ${\displaystyle (\{1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,m\times <!--\; \times \; -->\{1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n}$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,m\ \,$ و${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\ .)\,$.

العمليات على المصفوفات

المصفوفات الجزئية

${\displaystyle \mathbf {A ={\begin{bmatrix \color {red {1 &2&\color {red {3 &{\color {red 4 \\\color {red {5 &6&{\color {red 7 &{\color {red 8 \\9&10&11&12\end{bmatrix \rightarrow {\begin{bmatrix 1&3&4\\5&7&8\end{bmatrix$

انظر إلى محدد (مصفوفات).

الجمع

لكى يمكن جمع مصفوفتين فلابد حتىقد يكونا من نفس القياس. ويعهد حاصل جمع مصفوفتين بأنه المصفوفة الناتجة عن جمع العناصر المتناظرة في المصفوفتين. فيتم جمع العناصر الناتجة عن تقاطع نفس الأعمدة والأسطر في كلا المصفوفتين وفق القاعدة:
${\displaystyle {\begin{bmatrix {a _{11 &{a _{12 &\cdots &{a _{1n \\{a _{21 &{a _{22 &\cdots &{a _{2n \\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\{a _{m1 &{a _{m2 &\cdots &{a _{mn \end{bmatrix$ + ${\displaystyle {\begin{bmatrix {b _{11 &{b _{12 &\cdots &{b _{1n \\{b _{21 &{b _{22 &\cdots &{b _{2n \\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\{b _{m1 &{b _{m2 &\cdots &{b _{mn \end{bmatrix$= ${\displaystyle {\begin{bmatrix {a _{11 +{b _{11 &{a _{12 +{b _{12 &\cdots &{a _{1n +{b {1n \\{a _{21 +{b _{21 &{a _{22 +{b _{22 &\cdots &{a _{2n +{b _{2n \\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\{a _{m1 +{b _{m1 &{a _{m2 +{b _{m2 &\cdots &{a _{mn +{b _{mn \end{bmatrix$
.

عملى سبيل المثال إذا كان

ِ${\displaystyle A={\begin{bmatrix 1&2&3\\0&-1&2\end{bmatrix$ ,${\displaystyle B={\begin{bmatrix 0&-1&2\\7&2&3\end{bmatrix$

فإن ${\displaystyle C=A+B={\begin{bmatrix 1&1&5\\7&1&5\end{bmatrix$

الضرب

ضرب مصفوفة وحيدة العنصر مع مصفوفة متعددة العناصر

يُضرب العنصر الوحيد مع جميع عنصر من عناصر المصفوفة، وتكون النتيجة مصفوفة جديدة تحوي العدد نفسه من العناصر. ${\displaystyle {\begin{bmatrix 5&3&2\\1&7&6\end{bmatrix *2={\begin{bmatrix 10&6&4\\2&14&12\end{bmatrix$

ضرب مصفوفة في مصفوفة

• يجب في البداية حتى نفهم حتى ضرب المصفوفات غير تبديلي.
• من أجل إيجاد ناتج ضرب مصفوفتين (وهومصفوفة)، يجب حتى يتحقق الشرط التالي:

عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى = عدد الأسطر في مصفوفة الثانية.

بفرض A مصفوفة من الشكل a x b، وB مصفوفة من الشكل c x d، فمن أجل إيجاد ${\displaystyle A*B$، يجب حتىقد يكون b=c.

سنبدأ في البداية بضرب مصفوفة وحيدة السطر مع مصفوفة وحيدة العمود، فبفرض A وB مصفوفتان، حيث:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix a_{1 &a_{2 &a_{3 \end{bmatrix$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix b_{1 \\b_{2 \\b_{3 \end{bmatrix$

فيكون: ${\displaystyle A*B={\begin{bmatrix (a_{1 )(b_{1 )+(a_{2 )(b_{2 )+(a_{3 )(b_{3 )\end{bmatrix$

ونلاحظ حتى المصفوفة الناتجة هي مصفوفة وحيدة العنصر، وبالتالي، فإن ضرب مصفوفة وحيدة السطر مع مصفوفة وحيدة العمود ينتج مصفوفة وحيدة العنصر.

أما عند ضرب مصفوفتين متعددتي العناصر (وبفرض تحقق شروط الضرب)، فعندئذ، نقوم بتقسيم المصفوفة الأولى إلى سطور، والثانية إلى أعمدة، ونقوم بضرب الصف الأول بالعمود الأول (والنتيجة هي العنصر a_11 من النتيجة)، ثم نقوم بضرب الصف الأول مرة أخرى بالعمود الثاني (والنتيجة هي العنصر a_12 من النتيجة، إلى غير ذلك.

مثال توضيحي بالرموز:

بفرض: ${\displaystyle A={\begin{bmatrix {a _{11 &{a _{12 &{a _{13 \\{a _{21 &{a _{22 &{a _{23 \end{bmatrix$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix {b _{11 &{b _{12 \\{b _{21 &{b _{22 \\{b _{31 &{b _{32 \end{bmatrix$

فيكون:

${\displaystyle A*B={\begin{bmatrix ({a _{11 \times {b _{11 +{a _{12 \times {b _{21 +{a _{13 \times {b _{31 )&({a _{11 \times {b _{12 +{a _{12 \times {b _{22 +{a _{13 \times {b _{32 )\\({a _{21 \times {b _{11 +{a _{22 \times {b _{21 +{a _{23 \times {b _{31 )&({a _{21 \times {b _{12 +{a _{22 \times {b _{22 +{a _{23 \times {b _{32 )\end{bmatrix$

مثال بالأرقام:

${\displaystyle {\begin{bmatrix 1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix \times {\begin{bmatrix 3&1\\2&1\\1&0\\\end{bmatrix ={\begin{bmatrix (1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix 5&1\\4&2\\\end{bmatrix .$

منقول مصفوفة

منقول مصفوفة ما المصفوفة الناتجة عن المصفوفة A_mxn بعد حتى يتم تبديل الأعمدة بالأسطر وبالتالي تصبح A_nxm ويرمز لها بالرمز A^T. يلاحظ حتى العنصر الذي يقع في الصف i والعمود j في المصفوفة A، سيقع في الصف j والعمود i في منقول المصفوفة. .

على سبيل المثال، منقول المصفوفة A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix 1&9&13\\20&55&4\end{bmatrix$ هوالمصفوفة${\displaystyle {\begin{bmatrix 1&20\\9&55\\13&4\\\end{bmatrix$

من خواص منقول المصفوفة:

• منقول مجموع مصفوفتين هومجموع منقول هاتين المصفوفتين أي أن :

A+B)^T = A^T + B^T)

• منقول حاصل ضرب مصفوفتين يساوي حاصل ضرب المصفوفتين بشكل معاكس لمنقولهما أي:

A.B)^T = B^T × A^T)

معكوس المصفوفة

معكوس المصفوفة يقصد به المعكوس الضربى للمصفوفة بحيثقد يكون حاصل ضرب المصفوفة في معكوسها يساوى مصفوفة الوحدة.

تدعى المصفوفة A مصفوفة قابلة للعكس إذا وجدت مصفوفة B تحقق العلاقة التالية:

AB = I_n

وتدعى المصفوفة B بمقلوب المصفوفة A ويرمز لها بالرمز A⁻¹.قد يكون للمصفوفة المربعة من الدرجة n إذا كانت مصفوفة غير شاذة ويكون معكوسها وحيد. ويحسب معكوس المصفوفة من العلاقة :

${\displaystyle \mathbf {A ^{-1 ={1 \over {\begin{vmatrix \mathbf {A \end{vmatrix \left(\mathbf {C ^{\mathrm {T \right)_{ij ={1 \over {\begin{vmatrix \mathbf {A \end{vmatrix \left(\mathbf {C _{ji \right)={1 \over {\begin{vmatrix \mathbf {A \end{vmatrix {\begin{pmatrix \mathbf {C _{11 &\mathbf {C _{21 &\cdots &\mathbf {C _{n1 \\\mathbf {C _{12 &\mathbf {C _{22 &\cdots &\mathbf {C _{n2 \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {C _{1n &\mathbf {C _{2n &\cdots &\mathbf {C _{nn \\\end{pmatrix$

حيث |A| محدد المصفوفة A وC_ijالمصفوفة المرافقة:

وقد يكون بالتالي معكوس المصفوفة المربع ذات الدرجة الثاني :

${\displaystyle \mathbf {A ^{-1 ={\begin{bmatrix a&b\\c&d\\\end{bmatrix ^{-1 ={\frac {1 {ad-bc {\begin{bmatrix \,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix .$

يمتاز معكوس المصفوفة بالخصائص التالية:

• معكوس معكوس مصفوفة هوالمصفوفة الأصلية نفسها أي:

${\displaystyle \left(\mathbf {A ^{-1 \right)^{-1 =\mathbf {A$.

• منقول معكوس مصفوفة يساوي إلى معكوس منقول المصفوفة أي:

${\displaystyle (\mathbf {A ^{\mathrm {T )^{-1 =(\mathbf {A ^{-1 )^{\mathrm {T \,$

• معكوس جداء مصفوفتين يساوي إلى حاصل ضرب معكوس المصفوفة الثانية في معكوس المصفوفة الأولى أي:

${\displaystyle \left(\mathbf {AB \right)^{-1 =\mathbf {B ^{-1 \mathbf {A ^{-1$

مثال على تحويل من مجموعة انطلاق إلى مجموعة وصول

لنعتبر مثلا الشعاع التالي:
${\displaystyle V={\begin{bmatrix {s _{1 \\{s _{2 \\{s _{3 \\{s _{4 \end{bmatrix \in {R ^{4$
والمصفوفة التالية: ${\displaystyle A={\begin{bmatrix {a _{11 &{a _{12 &{a _{13 &{a _{14 \\{a _{21 &{a _{22 &{a _{23 &{a _{24 \end{bmatrix$

عملية تحويل الشعاع تتم على نحوالنحوالتالي:

${\displaystyle X=A*V={\begin{bmatrix {a _{11 &{a _{12 &{a _{13 &{a _{14 \\{a _{21 &{a _{22 &{a _{23 &{a _{24 \end{bmatrix {\begin{bmatrix {s _{1 \\{s _{2 \\{s _{3 \\{s _{4 \end{bmatrix ={\begin{bmatrix {a _{11 {s _{1 +{a _{12 {s _{2 +{a _{13 {s _{3 +{a _{14 {s _{4 \\{a _{21 {s _{1 +{a _{22 {s _{2 +{a _{23 {s _{3 +{a _{24 {s _{4 \end{bmatrix$

إلى غير ذلك نكون قد حولنا شعاعا V ينتمي إلى ${\displaystyle {R ^{4$ إلى شعاع X ينتمي إلى ال ${\displaystyle {R ^{2$. أما عامة إذا كانت المصفوفة تحتوي على عدد m من الأسطر وn من الأعمدة فإنها تحول مجموعة الانطلاق المكونة من أشعة تنتمي إلى ال ${\displaystyle {K ^{n$ إلى مجموعة الوصول المتكونة من أشعة تنتمي إلى ال ${\displaystyle {K ^{m$.
كما يمكن اعتبار المصفوفات نوعا خاصا من التنسورات ألا وهي التنسورات من الدرجة الثانية

المعادلات الخطية

إذا وضع عدد من المتغيرات x في متجه عمودي حيث n عدد المتغيرات وبذلك يتكون المتجه من المتغيرات x₂,..., x_n, وA مصفوفة ذات قياس nxm بحيث تتألف مدخلات المصفوفة من ثوابت المتغيرات، وb متجه عمودي يتألف من ثوابت المعادلات فإن:

Ax = b

بحيث:

a_1,1x₁ + a_1,2x₂ +... + a_1,nx_n = b₁

و

a_m,1x₁ + a_m,2x₂ +... + a_m,nx_n = b_m.

النقل الخطي

المصفوفة المربعة

المصفوفة المربعة هي مصفوفة تحوي نفس العدد من الأسطر والأعمدة. فالمصفوفة ${\displaystyle n\times <!--\; \times \; -->n}$

AB = I_n

وتدعى المصفوفة B بمقلوب المصفوفة A ويرمز لها بالرمز A⁻¹. ** المصفوفة المنفردة : المصفوفة المربعة التي ليس لها نظير ضربي تسمى مصفوفة منفردة. والمصفوفة المربعة التي لها نظير ضربي تسمى غير منفردة.

• • نظرية :

تكون المصفوفة A مصفوفة منفردة إذا وفقط إذا كان محددها يساوي صفرا.

الأنواع الرئيسية للمصفوفات المربعة

الاسم	مثال حيث n = 3
مصفوفة قطرية	${\displaystyle {\begin{bmatrix a_{11 &0&0\\0&a_{22 &0\\0&0&a_{33 \\\end{bmatrix$
مصفوفة مثلثية سفلى	${\displaystyle {\begin{bmatrix a_{11 &0&0\\a_{21 &a_{22 &0\\a_{31 &a_{32 &a_{33 \\\end{bmatrix$
مصفوفة مثلثية عليا	${\displaystyle {\begin{bmatrix a_{11 &a_{12 &a_{13 \\0&a_{22 &a_{23 \\0&0&a_{33 \\\end{bmatrix$

المصفوفة المثلثية والمصفوفة القُطرية

• المصفوفة الصفرية.
• مصفوفه العمود.

مصفوفة الوحدة

العمليات الأساسية على المصفوفات المربعة

أثر مصفوفة

يدعى مجموع عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة بأثر المصفوفة (tr(A وبما حتى الأثر الناتج عن مصفوفتين مستقل فإن ضرب أثري مصفوفتين هوعملية تبديلية أي : (tr(AB) = tr(BA. كما حتى أثر مصفوفة يساوي أثر منقول المصفوفة tr(A) = tr(A)^T

محدد مصفوفة

حساب قيمة محدد الدرجة الثالثة: هناك طريقتان لحساب محدد مصفوفة من الدرجة الثالثة

الطريقة الأولى:

1. نكرر كتابة العمود الأول والثاني على الترتيب بعد العمود الثالث.
2. نكون مجموع حاصل ضرب العناصر الواقعة على الخطوط المستقيمة المتجهة من اليسار إلى اليمين ونطرح منه مجموع حاصل ضرب العناصر الواقعة على الخطوط المستقيمة المتجهة من اليمين إلى اليسار.

${\displaystyle {\begin{bmatrix a_{11 &a_{12 &a_{13 &a_{11 &a_{12 \\a_{21 &a_{22 &a_{23 &a_{21 &a_{22 \\a_{31 &a_{32 &a_{33 &a_{31 &a_{32 \\\end{bmatrix$

الطريقة الثانية:

إشارة: الطريقة الأولى لا تصلح للتطبيق على محددات المصفوفات حيث بينما الطريقة الثانية يمكن تعميمها على محدد أي مصفوفة مع الاستفادة من خواص المحددات السابقة للتقليل من العمليات الحسابية.

الفك عن طريق المتعاملات: إذا كانت مصفوفة من الدرجة نفرض حتى هي المصفوفة الناتجة من المصفوفة A بعد حذف الصف رقمi والعمود رقم j في لمصفوفة A المحدد تسمى المحددة الصغرى للعنصر ويعهد متعامل العنصر بأنه

ولأي مصفوفة مربعة يتحقق الآتي مجموع حاصل ضرب عناصر أي صف أوعمود في متعاملاتها يعطي قيمة المحدد أي انه إذا كانت مصفوفة من الدرجة فان

1. ويسمى مفكوك المحدد حول الصف رقم i
2. ويسمى مفكوك الصف حول العمود

بالنسبة للمصفوفات التي تكون من الدرجة الرابعة أوأكثر يستحسن تحويلها إلى مصفوفة مثلثية لتبسيط حساب المحدد وبالتالي يصبح يساوي جداء عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة المثلثية الجديدة

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفة

تطبيقات

للمصفوفات الكثير من التطبيقات في الرياضيات وفي غيرها من العلوم.

نظرية المخططات

مخطط غير موجه مع مصفوفة القُرب المنبثقة عنه ${\displaystyle {\begin{bmatrix 1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix .$

التحليل والهندسة

انظر إلى اشتقاق من الدرجة الثانية.

${\displaystyle H(f)=\left[{\frac {\partial ^{2 f {\partial x_{i \,\partial x_{j \right].$

نظرية الاحتمال والإحصاء

البصريات الهندسية

انظر إلى بصريات هندسية.

التاريخ

استخدمت المصفوفات منذ تاريخ طويل في حلحلة المعادلات الخطية. فأقدم شكل لاستخدام المصفوفات في حلحلة المعادلات نص صيني يدعى الفصول التسعة في فن الرياضيات. كما تضمن مبدأ المحددات والذي يرجع تاريخه إلى ما بين 300 قبل الميلاد إلى 200 ميلادي , في سنة 1683 نشر درس عن المصفوفات من قبل الرياضي الياباني سيكي تاكاكازو. بعد ذلك نشر بحوث متعلقة بالمصفوفات العالم الألماني جوتفريد لايبنتز في سنة 1693. ومن ثم نشر غابرييل كرامر قواعده في الحساب سنة 1750.

ركزت نظريات المصفوفات المبكرة على دور المحددات بدلا عن المصفوفات بشكل مستقل. ولم يظهر مفهوم المصفوفة بشكل مستقل حتى وقت حديث، في سنة 1858 مع أرثور كايلي ونظرياته حول المصفوفات.

نظرية المصفوفات هي فرع الرياضيات الذي يركز على دراسة المصفوفات. عمليا يعتبر أحد فروع الجبر الخطي, ثم نمى ليغطي موضوعات ذات علاقة بنظرية المخططات والجبر, والتوافقيات والإحصاء.

المصفوفة تمثل منظومة (array) مربعة (rectangular) من الأعداد. في سنة 1848، ابتكر مصطلحَ المصفوفة عالمُ الرياضيات الإنجليزي جيمس جوزيف سيلفستر اسما لمجموعة مرتبة من الأعداد.

في 1855، قدم ارثر كايلي المصفوفة على أنها تمثيل لعناصر خطية. هذه الفترة اعتبرت بداية الجبر الخطى ونظرية المصفوفات. دراسة فضاء المتجه على المجال المحدد، فرع من الجبر الخطى يفيد في نظرية التشفير، يقود طبيبعيا إلى دراسة واستخدام المصفوفات عن المجال المحدد في نظرية التشفير.

الوحدة هوتعميم لفضاء المتجه. من الممكن اعتباره فضاء المتجه على حلقة. وهذا يؤدى إلى دراسة المصفوفات حول الحلقة. نظرية المصفوفات في هذه المنطقة لا تعتبر فرع من الجبر الخطى. بين النتائج الموجودة ضمن نظريات مفيدة ونظرية كايلى هاملتون تكون قابلة إذا كانت الحلقة الواقعة تبادلية، شكل سميث الطبيعي قابل لوكانت الحلقة الواقعة هي مجال مثالى رئيسي، لكن الآخرين قابلين فقط للمصفوفات ذات الأرقام المركبة أوالأرقام الحقيقية.

انظر أيضا

• قائمة المصفوفات
• حساب المصفوفات

المراجع