معايير تقارب سلسلة

في التحليل الرياضي، نستخدم معايير التقارب للتحقق من تقارب سلسلة لامنتهية معطاة.

لتكن لدينا السلسلة ${\displaystyle \left\{a_{1 ,\ a_{2 ,\ a_{3 ,\dots \right\ \!$

${\displaystyle S=\sum _{n=1 ^{\infty a_{n =a_{1 +a_{2 +a_{3 +\dots \!$

نعهد ${\displaystyle S_{N \!$ على انها سلسلة جزئية من ${\displaystyle S\!$ ، حيث نكتفي بمجموع أول عدد N من الحدود

${\displaystyle S_{N =\sum _{n=1 ^{N a_{n =a_{1 +a_{2 +a_{3 +\dots +a_{N \!$

نقول عن سلسلة بأنها متقاربة اذا تقاربت المتتالية المكونة من السلاسل الجزئية ${\displaystyle \left\{S_{1 ,\ S_{2 ,\ S_{3 ,\dots \right\$ .

هناك عدة معايير لتحديد ما اذا كانت السلسلة متقاربة أم متباعدة

معيار المقارنة

نقارن حدود المتتالية ${\displaystyle \{a_{n \ \!$ بمتتالية أخرى ${\displaystyle \{b_{n \ \!$ بحيث من أجل أي n،

اذا كان ${\displaystyle 0\leq \ a_{n \leq \ b_{n$ ، وكانت السلسلة ${\displaystyle \sum _{n=1 ^{\infty b_{n$ هي سلسلة متقاربة، فان ${\displaystyle \sum _{n=1 ^{\infty a_{n$ متقاربة حتماً.

أما اذا كان ${\displaystyle 0\leq \ b_{n \leq \ a_{n$ وكانت السلسلة ${\displaystyle \sum _{n=1 ^{\infty b_{n$ هي سلسلة متباعدة، فان السلسلة ${\displaystyle \sum _{n=1 ^{\infty a_{n$ هي سلسلة متباعدة حتماً.

معيار دالامبير

من أجل جميع القيم الموجبة لـ n وa_n، يوجد عدد L بحيث

{\displaystyle L=\lim _{n\rightarrow \infty \left|{\frac {a_{n+1 {a_{n \right|

اذا كان ${\displaystyle L<1$ فالسلسلة متقاربة.
اذا كان L>1 فالسلسة متباعدة.
في حال كان L=1 فعندهاقد يكون المعيار غير ذي جدوى. ويمكن استعمال معيار رابي Raabe.