استقرار رقمي
دراسة الإستقرار العددي لطرائق حل المعادلات هواهتمام من اهتمامات الرياضيات العددية وهوشبيه وشديد الارتباط بدراسة الإستقرار في النظم. أهمية دراسة الإستقرار العددي تنبع من أنه إذا كان لديك معادلة, سواء حتى كانت تفاضلية أوتفاضلية جزئية أوخطية أوغيره, قد يحدث من الممكن حلها تحليليا (عن طريق الورقة والقلم واختزال معادلات وتطويعها إلخ) ولكن المشكلة تتمثل طالما أنه نريد حلها عن طريق الحاسوب.
إشكاليات حل المعادلات بالحاسوب
تتمثل أبرز إشكاليات حل المعادلات الرياضية في الحاسوب في مشكلتين:
- الحاسوب لا يمكنه تخزين أوتمثيل جميع الأعداد في ذاكرته. العدد العشري (أي في القاعدة 10) 0.1 مثلا يساوي في القاعدة الثنائية التي يعمل بها الحاسوب عددا دوريا(periodic) ونظرا لمحدودية ذاكرة الحاسوب فهويبتر هذه البيريود بعد عدد معين من البتات مما يتسبب في خطئ في تمثيل الأعداد في ذاكرة الحاسوب.
- المشكل الثاني هوحتى الحاسوب الرقمي أي المنتشر الآن(على عكس الحاسوب المتواتر) في الحقيقة لا يمكنه إلا حتى يقوم بعملية حسابية واحدة ألا وهي الجمع مما يجعلنا نضطر إلى التعبير عن التفاضل أوالتكامل بطريقة أخرى. أي أنه يتم تقريب عملية التفاضل أوالتكامل بعمليات أخرى مما يولد خطئا ثاني عند حل المعادلات عن طريق الحاسوب
هذه الأخطاء إذا تراكمت أثناء عملية حل المعادلة فإنه يمكن حتى نتحصل على حل خاطئ تماما ولا يتطابق مع الحل الحقيقي للمعادلة.
مبرهنة لاكس
تقول مبرهنة لاكس أنه إذا:
- كانت طريقة حل المعادلة مستقرة عدديا
- كانت طريقة حل المعادلة خالية من التناقض (consistent)
فإن حل المعادلة بهذه الطريقة يعطي الحل السليم أوبالأحرى حتى الحل العددي يتوق نحوأويتجه نحوالحل السليم (convergence)
الإستقرار العددي
وكما نرى من المبرهنة أعلاه فإن الإستقرار العددي لطريقة حل المعادلة لازم حتىقد يكون الحل العددي أي نتيجة الحاسوب تساوي النتيجة التحليلية السليمة أوعلى الأقل حتى نضمن حد معين من تطابق الحل العددي والحل التحليلي.
تعتبر طريقة ما لحل معادلة, طريقة مستقرة عدديا إذا كانت الأخطاء المذكورة أعلاه أي الأخطاء المرتبطة بمحدودية ذاكرة الحاسوب زائد الخطئ الناجم عن استعمال تقريب لبعض العمليات, إذا كان هذا الخطئ يصبح خلال عملية حل المعادلة أصغر فأصغر. أي حتى خوارزمية حل المعادلة تعتمد على إعادة نفسها وفي جميع إعادة يصبح الخطئ أصغر. وفي ما يلي مثال ندرس فيه الإستقرار العددي ونبين فيه بعض ما ذكرناه أعلاه. ولكن قبل ذلك سنذكر بعض التقريبات لعمليات رياضية.
تقريب لعملية الإشتقاق
تتم عادة في الرياضيات تعريف الاشتقاق أوالتفاضل كما يلي:
ولذلك يمكننا إذا كانت قيمة صغيرة جدا حتى (وإذا لم تكن صفرا) نعتبر عملية الاشتقاق تنفذ تقريبا بتطبيق المعادلة التالية:
(يجدر بالذكر حتى هذه ليست إلا طريقة من طرق تقريب الاشتقاق وهي ليست الوحيدة)
تقريب لعملية التكامل
كما يمكن التعبير عن التكامل كما يلي:
وطالما حتى صغيرة القيمة فأنه يمكن التعبير عن التكامل تقريبيا عن طريق المعادلة التابية:
(يجدر بالذكر حتى هذه ليست إلا طريقة من طرق تقريب التكامل وهي ليست الوحيدة)
مثال لدراسة الإستقرار العددي
الخلومن التناقض
