المبرهنة الأساسية للتكامل

صورة توضح كيفية تقسيم السطح تحت المنحنى إلى اجزاء مستطيلة لحساب مجموع الأجزاء.

تقوم المبرهنة الأساسية في التكامل على اثبات حتى تابع المساحة الذي يربط بين قيمة x والمساحة المحصورة بين منحني التابع والمحورين الإحداثيين والمستقيم X=x هوتابع أصلي للتابع المكامل أي حتى اشتقاقه سيعطي تابع المنحنى نفسه.

ويعتمد برهان ذلك على تقسيم المساحة المحصورة تحت منحنى التابع إلى مستطيلات صغيرة يعتبر مجموعها تقريبا للمساحة المحصورة تحت المنحني المعتبر. تقوم المبرهنة بعد ذلك باستخدام مفهوم النهايات حيث تعتبر حتى مجموع مساحات المستطيلات يقترب إلى نهاية تساوي المساحة المحصورة تحت منحني التابع حدثا قلصنا قاعدة المستطيلات المساوية لتفاضل المتغير المستقل x.

الصيغ الأساسية

تقول المبرهنة :

I.

لتكن f دالة حقيقية مستمرة فهم على مجال مغلق [a, b]. إذا كان F دالة فهم للمتغير x ضمن المجال [a, b] فإن

${\displaystyle F(x)=\int _{a ^{x f(t)\,dt$

عندئذ :

${\displaystyle F'(x)=f(x)\,$

من أجل جميع قيمة ل x في [a, b].

II.

لتكن f دالة حقيقية فهم على المجال المغلق [a, b]. إذا كانت F دالة فهم بحيث تحقق
${\displaystyle f(x)=F'(x)\,$ أيا كانت قيمة x ضمن المجال [a, b]

عندئذ :

${\displaystyle \int _{a ^{b f(x)dx=F(b)-F(a)$ .

النتيجة

لتكن f دالة حقيقية فهم على المجال المغلق [a, b]. إذا كانت F دالة فهم بحيث تحقق

${\displaystyle f(x)=F'(x)\,$ أيا كانت قيمة x ضمن المجال [a, b]

عندئذ

${\displaystyle F(x)=\int _{a ^{x f(t)dt+F(a)$

و

${\displaystyle f(x)={\frac {d {dx \int _{a ^{x f(t)dt$ .