نظرية الفئات أونظرية المجموعات Set theory طريقة لحل مسائل الرياضيات والمنطق (أوالاستنباط). ودراستنا لنظرية المجموعات تزيد فهمنا لفهم الحساب وللرياضيات ككل.

ويعتقد كثير من الفهماء أنه في الإمكان استخلاص جميع القواعد الرياضية، بما في ذلك نظرية الدوال على سبيل المثال، من نظرية المجموعات، ولذا فإن نظرية المجموعات تعد من الفروع الأساسية لفهم الرياضيات.

والمجموعة تجمُّع من الأمور المحسوسة أوالأفكار. فمثلاً جميع أسرة ما، أوحتى علبة أقلام شمعية، أوقطيع أغنام هي مجموعة من الأمور المحسوسة، بينما جميع من قوانين لعبة ما، أوحتى الأعداد الزوجية منعشرة إلى 20 مجموعة من الأفكار. وتسمى الأمور التي تشكل المجموعة عناصر أوأعضاء المجموعة. فأي قلم شمعي هوعنصر من مجموعة الأقلام الشمعية، والرقم 16 عنصر من مجموعة الأعداد الزوجية منعشرة إلى 20.

يستخدم فهماء الرياضيات الحروف لتمييز المجموعات وعناصرها. فقد تستعمل حروف لتسمية المجموعات، بينما تستخدم حروف أخرى لتسمية عناصر المجموعات. فالحرف ح مثلا، يمكن حتى يرمز إلى ¸مجموعة طلاب الصف الخامس ذوي الشعور المجعَّدة·، بينما ترمز الحروف ك، م، ن لعناصر هذه المجموعة ـ كريم، محمود، نزار. ولذلك نقول إذا المجموعة ح تتألف من العناصر كريم، محمود، نزار، ونخط: ح = { ك، م، ن . أي حتى المجموعة تحدَّد عن طريق حصر عناصرها بين القوسين { .

وإذا أردنا أنْ نبيَّن أنَّ عنصراً ما موجود في مجموعة معينة، (مثلاً نريد توضيح حتى محمودًا عنصر من ح)، فإننا نخط م ينتمي إلى ح، ويقرأ: “م عنصر من المجموعة ح”. أما إذا رغبنا في توضيح حتى طارقًا ليس عنصرًا من المجموعة ح فإننا نخط ط لا تنتمي إلى ح، ويُقرأ: “ط ليس موجوداً في ح”. ويمكن أيضاً تحديد مجموعة ما بدلالة خواصها. والخاصية مفهوم يربط عناصر المجموعة بعضها ببعض. ففي المثال أعلاه، للمجموعة ح ثلاث خواص: 1- عناصرها مـن الطــلاب 2-عناصـرها في الصــف الخامــــس 3- عناصرها من ذوي الشعور المجعَّدة. ولتوضيح هذه الخصائص نخط: ح ={س: س طالب في الصف الخامس وشعره مجعد ، وتقرأ هذه العبارة: ح هومجموعة الأفراد س حيث س طالب في الصف الخامس. وتمثل النقطتان بين الرمزين س حدثة (حيث).

أنواع المجموعات

من المهم عند التعامل مع المجموعات حتى نقارن مجموعة بمجموعة أخرى. وقد أطلق الرياضيون تسميات لأنواع عدة من المجموعات، وذلك بغرض تصنيفها. وهذه التسميات تتعلق بعدد عناصر المجموعة وبطبيعة علاقة المجموعات فيما بينها.

وهناك عشرة أنواع رئيسية من المجموعات هي:

1- المجموعات المنتهية

2- المجموعات غير المنتهية

3- المجموعات الخالية

4- المجموعات وحيدة العنصر

5- المجموعات المتكافئة

6- المجموعات المتساوية

7- المجموعات المتداخلة

8- المجموعات المنفصلة

9- المجموعات الكاملة

10- المجموعات الجزئية.

وكل مجموعة يمكن حتى تكون ضمن واحدة أوأكثر من هذه التسميات. فالمجموعات المتكافئة مثلاً يمكن حتى تكون منتهية وتكون أيضاً منفصلة.

المجموعات المنتهية

هي التي لها عدد محدود من العناصر، فمثلاً “ثلاث قطط” و”ثلاثة آلاف رأس من الماشية” مجموعات منتهية. ولوصف المجموعة المنتهية قليلة العناصر، فإننا نخط عناصر المجموعة كلها. فمثلاً، إذا كانت ص هي مجموعة الأعداد الطبيعية التي تزيد عن أربعة وتقل عن 10، نخط: ص = {خمسة ،ستة ،سبعة ،ثمانية ، 9 .

المجموعات غير المنتهية

هي التيقد يكون عدد عناصرها غير محدود. فمجموعة الأعداد التي تستخدمها في العد مثلا تشكِّل مجموعة غير منتهية: 1 ، 2 ، ثلاثة ، أربعة ،خمسة إلى غير ذلك بدون توقف. ومن المحال كتابة عناصر المجموعة غير المنتهية كلها، ولوصف عناصر مجموعة كهذه نخط العناصر القليلة الأولى، ثم نضع ثلاث نقاط لتوضيح حتى عدد العناصر غير محدود: {1 ، 2 ، ثلاثة ، أربعة ، …

المجموعات الخالية

هي التي لاتحتوي على أي عناصر. فمثلاً إذا كانت المجموعات التالية تمثِّل قائمة التلاميذ الغائبين في مدرسة معينة خلال ثلاثة أيام، حيث تغيَّب يوم الإثنين صالح وأحمد، وفي يوم الثلاثاء خالد، وفي يوم الأربعاء لم يتغيب أحد. نلاحظ حتى مجموعة الإثنين تحتوي على عنصرين، ومجموعة الثلاثاء تحتوي على عنصر واحد فقط، بينما لاتحتوي مجموعة الأربعاء على أي عنصر. ولذلك فإن مجموعة الأربعاء مجموعة خالية. ولكي نوضِّح حتى مجموعة ما خالية، فإننا نهجر فراغاً بين قوسيها.

مجموعة الأربعاء = {

المجموعات وحيدة العنصر

هي التي تحوي عنصرًا واحداً فقط. فمجموعة الثلاثاء في المثال المتقدم مجموعة وحيدة العنصر؛ مجموعة الثلاثاء = {خالد .

المجموعات المتكافئة

هي المجموعات التي لها نفس العدد من العناصر، بمعنى حتى جميع مجموعتين تكونان متكافئتين إذا أمكن لقاءة عناصرهما عنصراً لعنصر. فمثلاً إذا كان عدد الأدراج في أحد الفصول مساوياً لعدد الطلاب، فإن مجموعة الأدراج مكافئة لمجموعة الطلاب. وفي الشكل التوضيحي أدناه تكون مجموعة الكلاب مكافئة لمجموعة أوجار الكلاب.

ولكي تبين حتى أ وب متكافئتان فإنك تخط: أ ¶ ب، حيث يعني الرمز ¶ حتى هذا مكافئ لذلك. وهذا يشير إلى حتى أفراد مجموعة ما يمكن تبادلها مع أفراد المجموعة الأخرى حسب الشكل. ولوكانت لديك خمسة كلاب وأربعة أوجار فإن المجموعتين غير متكافئتين، وعليك حتى تخط الرمز هكذا: أ ¶ ب التي تعني حتى أ غير مكافئ لـ ب.

المجموعات المتساوية

هي التي لها نفس العناصر. فإذا فرضنا حتى ح هي مجموعة الطلاب الذين حصلوا على العلامة الكاملة في اختبار الإملاء في مدرسة معينة وكانت:

ح = {رائد، ياسر، محمد، عمر .

وإذا فرضنا حتى ع هي مجموعة الطلاب الذين حصلوا على العلامة الكاملة في اختبار الحساب وكانت:

ع = {عمر، محمد، ياسر، رائد . عندئذ ح تساوي ع لأن لكل منهما نفس العناصر التي للأخرى. ولتوضيح أنهما متساويتان، نخط: ح= ع.

المجموعات المتداخلة

هي التي لها عناصر مشهجرة فيما بينها. فبفرض حتى الطلبة المثاليين في إحدى المدارس للعام الماضي، هم جمال، وقاسم، وإبراهيم وأن الطلبة المثاليين لهذا العام هم رائد وقاسم وعمر، فإننا نلاحظ حتى قاسم ينتمي لمجموعة الطلبة المثاليين في العام الماضي، وكذلك لمجموعة الطلبة المثاليين في هذا العام، أي حتى المجموعتين متداخلتان، ويمكن إيضاح ذلك على النحوالتالي.

المجموعات المنفصلة

هي التي لاتحتوي على أي عناصر مشهجرة فيما بينها والجدول أدناه يبين زوجاً من المجموعات المنفصلة.

المجموعات الكاملة

هي المجموعات التي تحتوي على جميع العناصر تحت الاختبار في وقت ومسألة معينين، وعادة ما يرمز إليها بالرمز س. فإذا فرضنا في مسألة ما أننا نتعامل فقط مع الأعداد الطبيعية من 1 إلىعشرة ، تكون المجموعة الكاملة هي: س = {1 ، 2 ، ثلاثة ، أربعة ،خمسة ،ستة ،سبعة ،ثمانية ،تسعة ، 10 .

وقد تكون المجموعة الكاملة في مسألة أخرى هي جميع الأعداد الزوجية، وفي حالة ثالثة جميع الطلاب الذين يدرسون العلوم الطبيعية.

المجموعات الجزئية

هي المتضمَّنَة في مجموعات أخرى. فمجموعة أفراد الشرطة الذين يعملون ليلا، على سبيل المثال، مجموعة جزئية من مجموعة جميع أفراد الشرطة. وفي الشكل أدناه تظهر مجموعتان جزئيتان من مجموعة الأعداد من 1 إلى 10

ولتوضيح حتى كلاً من المجموعتين ص، ع مجموعة جزئية من س نخط:ص C س ، ع C س حيث يعني الرمز C “متضمَّن في”. لاحظ حتى تحت المجموعتين ص وع مجموعتين منتهيتين. وهما متكافئتان لأنه يمكن لقاءة عناصرهما عنصراً بعنصر. كما أنهما أيضاً مجموعتان منفصلتان لأنه لايوجد أي عناصر مشهجرة تنتمي لكلتا المجموعتين في آن واحد.

أشكال تمثيل المجموعات

يستخدم فهماء الرياضيات أحياناً الأشكال لتوضيح العلاقات ولحل المسائل. ففي القرن الثامن عشر على سبيل المثال، استخدم عالم الرياضيات السويسري ليونهارد أولير الدوائر لأول مرة لتمثيل المجموعات والعلاقات فيما بينها. ثم في العام 1894م تلاه العالم الإنجليزي جون فن الذي أضاف المستطيلات إلى تلك الأشكال. وتُستخدم هذه الأشكال. التي تُسمَّى أشكال فن أودوائر أولير، في تمثيل المجموعات. ولكن حجم الشكل لايعطي أي دلالة معينة على المجموعة التي يمثلها، إذ قد تمثِّل دائرة معينة مجموعة منتهية أومجموعة غير منتهية أوحتى مجموعة خالية. كما حتى دائرتين بنفس الحجم قد تمثلان مجموعتين مكافئتين أومجموعتين تختلفان في عدد العناصر. ومن هنا فلا توجد أشكال خاصة بعينها لتمثيل المجموعات المنتهية، أوالمجموعات غير المنتهية، أوالمجموعات الخالية، أوالمجموعات وحيدة العنصر، أوالمجموعات المتكافئة.

شكل تمثيل المجموعات الكاملة

هومستطيل مميز بالحرف س ويمثل مجموعة جميع العناصر تحت الاعتبار في مسألة معينة. فقد يشير هذا الشكل مثلاً على جميع الأعداد الطبيعية أوجميع شهور السنة أوأية مجموعة شاملة أخرى.

شكل تمثيل المجموعات الجزئية

هودائرة مميزة بالحرف الذي يرمز إلى هذه المجموعة الجزئية. فإذا فرضنا حتى س هي مجموعة جميع الطلاب في فلسطين مثلاً، وأن المجموعة الجزئية ح هي مجموعة الطلاب في القدس، فإننا نرسم دائرة تمثل المجموعة ح، بحيث تكون هذه الدائرة واقعة كلياً داخل مستطيل المجموعة الكاملة س لأن جميع عنصر في ح هوأيضًا عنصر في س

وإذا أردنا حتى نبين مجموعة جزئية من ح، فإننا نرسم دائرة أخرى داخل دائرة ح. فإذا كانت ح هي مجموعة طلاب في مدينة القدس، فيكون تمثيل ع في شكل فن السابق هو:

شكل تمثيل المجموعات المتساوية

هودائرة واحدة مميزة بحرفين أوأكثر، حيث يرمز جميع حرف لإحدى المجموعات المتساوية. وتكون الدائرة واحدة فقط، لتبين حتى جميع مجموعة من هذه المجموعات لها بالضبط نفس العناصر. ويمكننا تخيل الدائرة كدائرتين أوأكثر متطابقة بعضها مع بعض. فمثلاً، لنفرض س هي مجموعة الأعداد من 1 إلى 10، ولتكن ق هي مضاعفات العدد 2 في س، هـ هي الأعداد في س التي تقبل القسمة على 2. إذا عناصر هذه المجموعات هي

س = {1، 2، ثلاثة ، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10

ق = { 2 ، أربعة ،ستة ،ثمانية ، 10

هـ = { 2 ، أربعة ،ستة ،ثمانية ، 10

المجموعتان ق، هـ لهما نفس العناصر، لذلك تُمثَّل كلتاهما بدائرة واحدة كما في الشكل.

شكل تمثيل المجموعات المتداخلة

يتكون من دوائر متداخلة. والشكل التالي يبين حتى بعض عناصر ص هي أيضًا

عناصر في ع. فإذا كانت س هي مجموعة الطلاب والطالبات في فلسطين وص هي مجموعة الطالبات فقط في فلسطين، بينما ع هي مجموعة طلبة وطالبات مدينة القدس، فإن الجزء المظلل في الشكل يمثل مجموعة الطالبات في مدينة القدس.

شكل تمثيل المجموعات المنفصلة

يتألف من اثنتين أوأكثر من الدوائر المنفصلة عن بعضها البعض.

فإذا فرضنا حتى س هي المجموعة الكاملة كما تجاوز وكانت ح هي مجموعة الطلاب الذكور في القدس، ق هي مجموعة الطالبات في القدس، فإن كلاً من ح ، ق هي مجموعة جزئية من س. وهما مجموعتان منفصلتان لأنه لايوجد أي عنصر مشهجر بينهما.

العمليات على المجموعات

هناك ثلاث عمليات أساسية تستخدم في حل المسائل المتعلقة بالمجموعات:

1- الاتحاد

2- التقاطع

3- المُتمِّمة.

تقابل هذه العمليات العمليات الحسابية على الأعداد كالجمع والطرح. ففي جميع مرة تُجرى عملية على مجموعتين للحصول على مجموعة جديدة. وتطلق الحدثات اتحاد، تقاطع، متمِّمة على العمليات على المجموعات وكذلك على نواتج هذه العمليات.

اتحاد مجموعتين

هوالمجموعة التي تتألف عناصرها من عناصر كلتا المجموعتين. ويستخدم لهذه العملية الرمز U حيث نخط ص U ع ليعني اتحاد المجموعة ص والمجموعة ع ويُقرأ “ص اتحاد ع”.

اتحاد مجموعتين منفصلتين. لتكن

ص={1، 2، 3 ،

ع ={4، 5

عندئذ ص U ع = {1، 2، 3، 4، 5

فاتحاد ص وع يحتوي على جميع عناصر ص، وعناصر ع. وفي شكل فن، تُمثَّل ص U ع بالجزءين المظللين معاً. لاحظ حتى ص تحتوي على ثلاثة عناصر، ع تحتوي على عنصرين، بينما تحتوي ص U ع على خمسة عناصر. وبما حتىخمسة = ثلاثة + 2، فإن عدد عناصر اتحاد مجموعتين منفصلتين يساوي مجموع عناصر المجموعتين.

اتحاد مجموعتين متداخلتين. لتكن

ح = {فهد، وليد، مريم

ق= {مريم، حاتم، سالم

عندئذ تكون ح U ق= { فهد، وليد، مريم، حاتم، سالم ، ويمثل الجزء المظلل في الشكل ح U ق. نلاحظ حتى عدد عناصر ح U ق هوخمسة بينما مجموع عدد عناصر ح وعدد عناصر ق هو3+3=6، أي حتى عدد عناصر اتحاد مجموعتين متداخلتين هودائماً أقل من مجموع عددي عناصرهما.

لتكن هـ= {3 ،ستة ،تسعة ، 12

ف = {ستة ، 12

عندئذ

هـ U ف = { ثلاثة ،ستة ،تسعة ، 12

وهذا يتضح من المنطقة المظللة في شكل فن والتي تمثل الاتحاد هـ U ف. لذلك فإن اتحاد مجموعة مع مجموعة جزئية منها يساوي دائماً المجموعة نفسها.

تقاطع مجموعتين

هوالمجموعة المؤلفة من العناصر المشهجرة بين المجموعتين. فمثلاً، إذا كانت ق = {1، 2، 3 وك = {2، 3، 4 ، فإن تقاطع ق وك هومجموعة العناصر الموجودة في جميع من ق، ك أي {2 ، 3 .

نستعمل الرمز n لعملية التقاطع. فتقاطع ق، ك هوق n ك ويُقرأ “ق تقاطع ك”.

تقاطع المجموعات المنفصلة هومجموعة خالية:

فإذا كانت ص={1 ، 2 ، 3

ع= {4 ، 5

فإن ص n ع= {

كما في الشكل

أي حتى تقاطع ص ، ع مجموعة خالية لعدم وجود عناصر مشهجرة بينهما.

تقاطع المجموعات المتداخلة:

لتكن ب= {محمد، فاطمة، صالح

ح ={عمر، على، فاطمة

عندئذ ب n ح = { فاطمة

وبما حتى فاطمة هي العنصر المشهجر الوحيد بين المجموعتين ب وح، فإن تقاطع ب وح هومجموعة وحيدة العنصر هي {فاطمة ويمثلها الجزء المظلل من شكل فن أعلاه.

تقاطع مجموعة ومجموعة جزئية منها:

لتكن ف= {12، 9،ستة ، 3

ق= {6 ، 12

عندئذ ف n ق= {6 ، 12 = ق لأن العناصر المشهجرة بين ف وق هي عناصر ق فقط. والجزء المظلل من شكل فن يمثل ف n ق، وهذا الجزء مطابق للدائرة التي تمثل المجموعة ق، لذلك فالتقاطع يساوي ق.

مُتمِّمة مجموعة

هي مجموعة العناصر في س التي لاتوجد في المجموعة ص.

فإذا كانت ص أي مجموعة جزئية من س فإن متممة ص هي عناصر س التي لاتوجد في ص. ويمثل الجزء المظلل في شكل فن متممة ص. ونرمز عادة لمتممة ص بالرمز ص. فمثلاً لنفرض:

س = { 1 ، 2 ، ثلاثة ، أربعة ، 5

ص = { 2، 3، 4

عندئذ ص = {1 ، 5 .

لأن 1 ،خمسة هي فقط العناصر التي في س وليست في ص كما هومشروح في شكل فن.

استخدامات نظرية المجموعات

في الحساب

تساعد نظرية المجموعات على فهم بعض المفاهيم الأساسية في التعامل مع الأعداد. فمثلاً، يمكن ربط مفهوم العدد بلقاءة عناصر مجموعتين متكافئتين عنصراً بعنصر.

حيث نلاحظ حتى س تكافئ ص. ومع حتى عناصر س تختلف عن عناصر ص، إلاَّ أنَّ هناك شيئاً مشهجراً بينهما، وهذا الشيء هوعدد العناصر في جميع منهما. ويميز العدد رمزياً باستخدام الأرقام. فالرقم أربعة مثلا، يرمز للعدد أربعة وهوعدد عناصر جميع من المجموعتين س، ص. وقبل حتى يعهد الإنسان كيف من الممكن أن يَعُدُّ، كان يستخدم تكافؤ المجموعات ـ بدون حتى يدرك ذلك ـ في حساب ممتلكاته. وتفسِّر نظرية المجموعات أيضًا لما يمكننا جمع أوضرب الأعداد بأي ترتيب نريد لنحصل على الجواب نفسه، فمثلاً، 2+3 يساوي 3+2.

والجمع في الحساب يقابل في المجموعات اتحاد مجموعات منفصلة. فمثلاً لتفسير 2+3 و3+2 عن طريق نظرية المجموعات نفرض أن تبين الأسهم حتى كلاً من ج n ق وق n ج لهما العدد نفسه من العناصر، ولذلك فإن 2+3 يساوي 3+2. ويعبِّر فهماء الرياضيات عن ذلك بقولهم إذا الجمع عملية إبدالية، أي حتى الترتيب غير مهم، حيث يمكن جمع الأعداد مع بعضها البعض بأي ترتيب للحصول على جواب واحد. كما يستخدم فهماء الرياضيات نظرية المجموعات لشرح خواص أخرى للعمليات الحسابية.

في الجبر

تلعب المجموعات دوراً مهماً في نواحٍ عدة. فإذا اعتبرنا في مسألة معينة حتى الحرف س يرمز لأي من الأعداد من 1 إلىعشرة فإننا نسمِّيه متغيرًا، كما نُسمِّي مجموعة الأعداد من 1 إلىعشرة نطاق المتغير. ونقصد بحل المسألة إيجاد جميع الأعداد في النطاق، والتي عند التعويض بها عن المتغير س في المسألة نحصل على جملة سليمة، كما نسمي هذه القيمة مجموعة الحل.

لنفرض في مسألة معينة حتى نطاق س هوالمجموعة ش= {4 ،خمسة ، 6،سبعة ،ثمانية ، 9 وأن المطلوب إيجاد قيم س التي تحقق الشرط: س يقبل القسمة على 2. لحل هذه المسألة، يُقسَّم جميع عدد في النطاق س على 2، فنجد حتى الأعداد 4، 6،ثمانية تقبل القسمة على 2 أما الأعداد 5، 7،تسعة لا تقبل القسمة على 2. لذلك فإن مجموعة الحل هي {4، 6، 8 . وتعتمد مجموعة الحل لأي مسألة على طبيعة المسألة، ويمكن حتى تكون منتهية أوغير منتهية. انظر: الجبر.

ويمكننا أيضًا استعمال العمليات على المجموعات، كالاتحاد والتقاطع، لفهم وحل مسائل جبرية معينة. فمثلاً، افرض حتى نطاق س هوش = {4، 5، 6، 7، 8، 9 والمطلوب إيجاد قيم س التي تحقق واحدًا من الشرطين: (1) س تقبل القسمة على 2، أو(2) س تقبل القسمة على3. نلاحظ حتى الشرط (1) متحقق لقيمة 4، 6،ثمانية أي حتى مجموعة حل الشرط(1) هي ص = {4، 6، 8 . أما بالنسبة للشرط (2) فإن مجموعة الحل هي ع = {6، 9 . وحيث إننا نبحث عن القيم التي تحقق الشرط (1) أوالشرط (2)، فإن هذه القيم هي اتحاد مجموعة حل (1) ومجموعة حل (2) أي حتى مجموعة القيم المطلوبة هي: ص U ع = {4، 6، 8، 9 والشكل أدناه يوضح ذلك.

عندما نستبدل الرابط (أو) في المسألة السابقة بالرابط (و)، فإن مجموعة الحل هي قيم س التي تحقق الشرطين (1) و(2) معاً، أي هي المجموعة {6 والتي تساوي تقاطع ص وع، كما هومشروح بالشكل التالي.

في الهندسة

المجموعات قيد البحث هي مجموعات من النقاط. والشكل أدناه يبين مجموعة من نقطتين أ،ب حيث مثلنا جميع نقطة بدائرة سوداء صغيرة.

وعندما نصل بين هاتين النقطتين نحصل على بترة مستقيمة نرمز لها بالرمز أ ب ونُسمِّي أ،ب نهايتي هذه البترة المستقيمة. ويمكننا الحصول على نقاط كثيرة أخرى على هذه البترة المستقيمة نفسها مثل ج، د، هـ … إلخ، لتلك البترة المستقيمة أ ب والتي تتألف من النقطتين أ، ب وجميع النقاط الواقعة بينهما.

أيضاً يمكن بطريقة مماثلة اعتبار مجموعة النقاط على ظهر صفحة من الورق أوعلى حائط أوأي سطح منبسط. وإذا تخيلنا سطحاً منبسطاً يمتد بلاحدود بين جميع اتجاه نحصل على مستوى، وفي هذا المستوى، يمكننا رسم منحنيات مغلقة بسيطة، وذلك بأن نبدأ من أي نقطة في المستوي برسم أي مسار، ثم نعود إلى النقطة نفسها بدون حتى نحمل القلم عن المستوي وبدون حتى يبتر المنحنى نفسه.

ومن الأمثلة على المنحنيات المغلقة البسيطة، الدوائر والمربعات والمثلثات. فالدائرة منحنى سهل مغلق، ولكن نصف الدائرة ليست كذلك.

يقسم المنحنى البسيط المغلق المستوى إلى ثلاث مجموعات منفصلة من النقاط:

1- مجموعة النقاط الواقعة خارج المنحنى،

2- مجموعة النقاط الواقعة داخل المنحنى،

3- مجموعة النقاط الواقعة على المنحنى.

تُسمَّى مجموعة النقاط الواقعة داخل منحنى سهل مغلق المنطقة،أما مجموعة النقاط الواقعة على المنحنى فتُسمَّى حدود المنطقة والمجموعتان معًا يشكلان منطقة مغلقة.

في الشكل التالي، النقطة أ تنتمي إلى مجموعة نقاط حدود المنطقة. أما النقطة ب فهي تنتمي إلى مجموعة النقاط داخل الدائرة بينما النقطة ج تنتمي إلى مجموعة النقاط الواقعة خارج الدائرة.

ويمكن استعمال عمليتي الاتحاد والتقاطع لوصف العلاقة بين الأشكال الهندسية. في الشكل أدناه، البترتان المستقيمتان ج د، هـ وتتقاطعان في النقطة ر، وبلغة المجموعات فإننا نقول حتى {ر هي تقاطع مجموعة نقاط جـ د، ومجموعة نقاط وهـ، ونخط: ج د n هـ و= {ر

وفي الشكل التالي، تتألف البترة المستقيمة ق ل من البترتين المستقيمتين ق ك ، ك ل ويمكننا التعبير عن ذلك كما يلي: ق ك U ك ل = ق ل.

في المنطق

تساعد نظرية المجموعات في الحصول على استنتاجات مبنية على معطيات نسميها المقدمات المنطقية. وسنعرض فيما يلي كيفية توظيف نظرية المجموعات لاستنباط ثلاث نتائج منطقية بسيطة. سنفرض خلال الأمثلة الثلاثة حتى المجموعة الكاملة هي طالبات مدرسة ابتدائية معينة.

مثال 1- المقدمة المنطقية الأولى: جميع طالبات المستوى الرابع يحفظن جدول الضرب، المقدمة المنطقية الثانية: أمل في الصف الرابع. والاستنتاج: أمل تحفظ جدول الضرب. لنرمز لمجموعة الطالبات اللاتي يحفظن جدول الضرب في المدرسة بالرمز ص. ولنرمز لمجموعة الطالبات في الصف الرابع بالرمز ع. من المقدمة المنطقية الأولى نستنتج حتى ع مجموعة جزئية من ص. ولكن أمل عنصر في ع وبالتالي ص، أي حتى أمل تحفظ جدول الضرب.

مثال 2- المقدمة المنطقية الأولى: بعض الطالبات في الصف الخامس يأخذن دروسًا إضافية. المقدمة المنطقية الثانية: هيفاء في الصف الخامس. والاستنتاج: قد تكون هيفاء تأخذ دروسًا إضافية أوقد لا تكون.

لتكن ح هي مجموعة الطالبات اللاتي يأخذن دروساً إضافية، وق مجموعة الطالبات في الصف الخامس. من المقدمة المنطقية، فإن بعضاً من عناصر ق تنتمي للمجموعة ح. لذلك فالمجموعتان متداخلتان وتقاطعهما هومجموعة الطالبات في الصف الخامس اللاتي يأخذن دروسًا إضافية. وتفيدنا المقدمة المنطقية الثانية حتى هيفاء عنصر في ق ولكن لاتفيدنا هل هيفاء موجودة في ح أم لا، وعليه فإن هيفاء قد تكون ممن يأخذن دروسًا إضافية وقد لا تكون كذلك.

مثال 3- لتكن المقدمة المنطقية الأولى: طالبات الصف الثالث لا يشاركن في النشاط الاجتماعي، المقدمة المنطقية الثانية: هند في الصف الثالث. فيكون الاستنتاج: هند لا تشارك في النشاط الاجتماعي. لنفرض ف مجموعة طالبات الصف الثالث، ولتكن هـ هي مجموعة الطالبات المشاركات في النشاط الاجتماعي. من المقدمة المنطقية الثانية فإن هندًا عنصر في ف ومن المقدمة المنطقية الأولى نستنتج حتى ف ، هـ مجموعتان منفصلتان، أي لايوجد عناصر في ف تكون في ه. وبالتالي فإن هندًا ليست عنصراً في هـ، أي حتى هندًا لاتشارك في النشاط الاجتماعي.

تاريخ

تطورت نظرية المجموعات نتيجة لنشوء مفهومين رياضيين جديدين خلال القرن التاسع عشر الميلادي، وهما المنطق الرمزي والمجموعات المجردة.

والمنطق الرمزي يعالج طرق استخدام الأنظمة والعمليات الرياضية في حل مسائل المنطق. ويعتبر عالم الرياضيات الإنجليزي جورج بول (1815-1864م) واضع أسس هذا الفهم في العقد الخامس من القرن التاسع عشر الميلادي.

وفي العقد الثامن من القرن التاسع عشر الميلادي، استخدم عالم الرياضيات الألماني جورج كانتور (1845 – 1918م)، بعض أساليب المنطق الرمزي في دراسة المجموعات العددية. وقد طور من خلال ذلك نظاماً رياضياً سماه نظرية المجموعات، وكان الحافز له في ذلك رغبته في دراسة الخواص الجبرية للمجموعات غير المنتهية. عملى سبيل المثال، أوضح كانتور كيف من الممكن أن يمكن لقاءة عناصر مجموعتين متكافئتين وغير منتهيتين، عنصراً بعنصر. فمثلاً يمكن لقاءة مجموعة الأعداد الطبيعية مع مجموعة الأعداد الزوجية عنصراً بعنصر كما يلي.

حيث نلاحظ حتى كلاً من المجموعتين غير منتهيتين. وهما متكافئتان، ومع ذلك فإن المجموعة الثانية مجموعة جزئية من الأولى وغير مساوية لها. وفي خلال العقدين السادس والسابع من القرن العشرين، استوعب فهماء الرياضيات وخبراء التعليم أهمية المفاهيم المضمَّنة في نظرية المجموعات، في مساعدة طلاب التعليم العام على فهم أساسيات الحساب والرياضيات، فأصبحت مبادئ نظرية المجموعات جزءًا أساسيًاً مما يُسمَّى الرياضيات الحديثة. فباستخدام المجموعات يمكن للطلاب حتى يستوعبوا مفاهيم أساسية مثل العدد والرقم، كما يمكنهم أيضاً توظيف المجموعات في المسائل المنطقية.

وفي وقتنا الحاضر لا يزال فهماء الرياضيات وخبراء التعليم يؤكدون على أهمية الرياضيات الحديثة. ولكنهم مع ذلك لايغفلون الهجريز على المهارات الأساسية في الحساب وطرق حل المسائل.

تمارين على نظرية المجموعات

1- إذا كان ص ={ ثلاثة ، أربعة ،خمسة ،ستة ،سبعة ،ثمانية ، 9

ع ={ أربعة ،ستة ،ثمانية ، 10 اخط عناصر ص U ع.

2- اخط عناصر

ق={س: س عدد فردي أكبر من 11 وأقل من 22 .

3- إذا كان ح ={ عوامل العدد 6 ، هـ={عوامل العدد 12 . اخط عناصر ح n هـ.

4- أوجد اتحاد وتقاطع جميع زوج من المجموعات التالية:

ص ={50 ، 25 ، 165

ع ={ 50 ، 33 ، 25 ، 20

ف ={1 ، 3،خمسة ، 7 ، ك={ 2 ، أربعة ،ستة ،8 .

5- أوجد المجموعات المتساوية فيما يلي:

{ أ د ب، ج، د ،{ 1 ، 2 ، ثلاثة ، 4 ،

{ أحمد ، خالد، سعد ،{4، 2 ، ثلاثة ،1 .

6- أوجد فيما يلي المجموعات المتكافئة فيما بينها:

{قطة، كلب، ثعلب ،{ أ، ب، جـ، د

{قطة، ديك، غزال، أسد ،{3 ،ستة ، 9 .

7- إذا كانت ص هي {مجموعة الأعداد الطبيعية فاخط عناصر ص.

8- ارسم شكل فن للمسألة التالية:

إذا كانت ش ={ 1 ، 2 ، ثلاثة ، 4،خمسة ،ستة ،سبعة ،ثمانية ، 9 ، أوجد قيم س التي تحقق الشرطين التاليين {س: س عدد فردي . ع ={س: س يقبل القسمة على 3 .

9- ارسم شكل فن الذي يمثل المسألة المنطقية التالية: جميع الطيور تبيض، العصافير من الطيور، العصافير تبيض.

10- إذا كانت ش={مربع، مستطيل، دائرة، مثلث

ق={ دائرة ، فأوجد عناصر ق.

الأجوبـة

1- ص Uع ={ ثلاثة ،4 ،5 ،6 ،سبعة ،8 ،9 ،10 .

2- ق ={13 ، 15، 17، 19، 21 .

3- ح n هـ{1، 2، ثلاثة ، .

4- ح U هـ ={1، 2 ،3 6 .

5-{ 1، 2، ثلاثة ،4 ={ 4، 3، 2 ،1 .

6- المجموعة الأولى تكافئ الرابعة، المجموعة الثانية تكافئ الثالثة.

7-{ 1، 2، 3، 4، 5، … .

-قَ ={مربع، مستطيل، مثلث .

أنظر أيضاً

• Category theory
• List of set theory topics
• Musical set theory concerns the application of combinatorics and group theory to music; beyond the fact that it uses finite sets it has nothing to do with mathematical set theory of any kind. In the last two decades, transformational theory in music has taken the concepts of mathematical set theory more rigorously (see Lewin 1987).
• Relational model - Borrows from Set Theory.

قراءات أخرى

• Keith Devlin, (2nd ed.) 1993. The Joy of Sets. Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4
• Tiles, Mary, 2004 (1989). The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise. Dover Publications.
• Johnson, Philip, 1972. A History of Set Theory. Prindle, Weber & Schmidt ISBN 0871501546
• Kunen, Kenneth, Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland, 1980. ISBN 0-444-85401-0.

وصلات خارجية

• Foreman, M., Akihiro Kanamori, eds. Handbook of Set Theory. ثلاثة vols., 2010. Each chapter surveys some aspect of contemporary research in set theory. Does not cover established elementary set theory, on which see Devlin (1993).