الجبر Algebra هوفرع من الرياضيات أسسه العالم العربي (( محمد بن موسى الخورازمي))ووضع أول كتاب فيه وذلك في القرن التاسع للميلاد يهتم هذا الفهم بدراسة البنى الجبرية ، والعلاقات والكميات . الجبر الابتدائي يتم تدريسه غالبا في التعليم الثانوي إضافة إلى إعطاء أفكار أساسية حول بقية مواضيع الجبر التجريدي : في الجبر الابتدائي تتم دراسة جمع وضرب الأعداد ، دراسة كثيرات الحدود وطرق إيجاد الجذور لكثيرات الحدود هذه .

يتم بعد ذلك في الجبر التجريدي، عملية تجريد للعملية الحسابية فيستعاض عن الأعداد برموز تدعى في الجبر متغيرات أوعناصر لمجموعة ما . عندئذ تصبح عمليات الجمع والضرب مجرد أمثلة عن المؤثرات الجبرية operator والعمليات الجبرية الثنائية، وتعريف هذه العمليات يقودنا إلى بنى جبرية مثل الزمر، الحلقات، الحقول.

يشكل الجبر أحد الفروع الثلاثة الأساسية في الرياضيات إضافة إلى الرياضيات التطبيقية والتحليل الرياضي.

التاريخ

التصنيف

يمكن تقسيم فهم الجبر إلى:

• الجبر الابتدائي، وفيه يتم دراسة خصائص الاعداد الحقيقية، وتستخدم رموز للتعبير عن المتحولات والثوابت، وتتم دراسة القواعد التي تضبط المعادلات والتعابير الرياضية المونة من هذه الرموز.
• الجبر المجرد، وفيه تتم دراسة البنى الجبرية كالمجموعة، الحلقة، والحقل، الحالة الخاصة من الحقل وهي الفضاء الشعاعي، يتم دراستها في الجبر الخطي.
• الجبر الكامل، وفيه تتم دراسة الخواص العامة لكل البنى الجبرية.
• الجبر الخطي: يفهم الخواص المميزة للفضاءات الشعاعية بما فيها المحددات والمصفوفات وغزت هذا المفاهيم بسرعة وصارت لغة أساسية للتعبير عن أفكار وموضوعات فهمية شتى .
• الجبر الكامل حيث تـُدرس الخصائص المشهجرة لكل البنى الجبرية.
• جبر الأعداد  : وهويهتم بدراسة خواصالأعداد من الناحية النظرية .
• جبر هندسي : ويهتم بدراسة تجريد قواعد الهندسة

• جبر التوافيق : يهتم بدراسة التبادل والتوافيق .

أنواع أخرى للجبر

تستخدم حدثة الجبر مع انواع عديدة من البنى الجبرية :

• جبر على حقل Algebra over a field
• جبر على مجموعة Algebra over a set
• جبر بولياني Boolean algebra
• جبر إف F-algebra and جبر إف المرافق F-coalgebra في نظرية التصنيف category theory.
• جبر سيگما Sigma-algebra.

الجبر الإبتدائي

الجبر الابتدائي : هوأبسط أنواع الجبر الذي يتم تدريسه لطلاب الرياضيات المفترض محدودية معهدتهم برياضيات مابعد الأرقام كالعمليات الحسابية البسيطة والأساسية مثل ( + , - , × و÷ ) |نستخدم في الجبر رموز تدل على أعداد في أغلب الأحيان (مثل : X, Y ,Z ) وهذا يفيدنا بعدة أمور :

• يسمح لنا بصياغة القوانين الحسابية بشكل عام بحيث لا يقتصر القانون على أعداد محددة مثلْْ ( X +Y = Y +X )
• يسمح لنا للإشارة إلى أعداد مجهولة , وهذا نحتاجه لصياغة المعادلات ودراسة كيفية حلها مثال ( يجب علينا إيجاد العدد x بحيث يحقق المعادلة التالية 3X + 1 = 10) ) يمكننا كتابة هذه المعادلة بالشكل التالي ( aX + b = c )

ما نريد قوله ليست طبيعة الأعداد ما تحل المعادلات بل هي العمليات الحسابية والمنطقية الموجودة داخل المعادلات

• يسمح لصياغة العلاقات الدالية

(such as "If you sell x tickets, then your profit will be 3x −عشرة dollars, or f(x) = 3x − 10, where f is the function, and x is the number to which the function is applied.").

قوانين الجبر الابتدائي

يعتمد الجبر الابتدائي على عمليتين أساسيتين هما الجمع والضرب ولكل من هاتين العمليتين عملية معاكسة . العملية المعاكسة للجمع هي الطرح والعملية المعاكسة للضرب هي القسمة . ويعتمد الجبر الإبتدائي على رقمي بالغين الأهمية هما الواحد والصفر . يدعى الواحد بالمحايد بالنسبة لعملية الضرب والواحد المحايد بالنسبة لعملية الجمع

كثيرة الحدود

هوتعبير عنهجريب جبري يتكون من واحد ثابت اواكثر من المتغيرات والثوابت نستخدم بها العملياتالحسابية الأربع فقط : الجمع والضرب والطرح مثال (sqr(x)+2x- 3)متعدد حدود في متغير ثابت واحد هوx)

يوجد لدينا صنف هام من كثيرات الحدود يحل لنا الكثير من المشاكل الحسابية التي يمكن حتى نقع بها هوالتحليل إلى جداء عوامل مثلاً يمكننا كتابة المثال السابق (x-1)(x+3) ويمكن بهذه الطريقة حتى نسهل العمليات الحسابية إذا كانت معقدة

الجبر المجرد

Abstract algebra extends the familiar concepts found in elementary algebra and arithmetic of numbers to more general concepts.

Sets: Rather than just considering the different types of numbers, abstract algebra deals with the more general concept of sets: a collection of all objects (called elements) selected by property, specific for the set. All collections of the familiar types of numbers are sets. Other examples of sets include the set of all two-by-two matrices, the set of all second-degree polynomials (ax² + bx + c), the set of all two dimensional vectors in the plane, and the various finite groups such as the cyclic groups which are the group of integers modulo n. Set theory is a branch of logic and not technically a branch of algebra.

Binary operations: The notion of addition (+) is abstracted to give a binary operation, ∗ say. The notion of binary operation is meaningless without the set on which the operation is defined. For two elements a and b in a set S, a ∗ b is another element in the set; this condition is called closure. Addition (+), subtraction (-), multiplication (×), and division (÷) can be binary operations when defined on different sets, as is addition and multiplication of matrices, vectors, and polynomials.

Identity elements: The numbers zero and one are abstracted to give the notion of an identity element for an operation. Zero is the identity element for addition and one is the identity element for multiplication. For a general binary operator ∗ the identity element e must satisfy a ∗ e = a and e ∗ a = a. This holds for addition as a + 0 = a and 0 + a = a and multiplication a × 1 = a and 1 × a = a. Not all set and operator combinations have an identity element; for example, the positive natural numbers (1, 2, 3, ...) have no identity element for addition.

Inverse elements: The negative numbers give rise to the concept of inverse elements. For addition, the inverse of a is −a, and for multiplication the inverse is 1/a. A general inverse element a⁻¹ must satisfy the property that a ∗ a⁻¹ = e and a⁻¹ ∗ a = e.

Associativity: Addition of integers has a property called associativity. That is, the grouping of the numbers to be added does not affect the sum. For example: (2 + 3) + أربعة = 2 + (3 + 4). In general, this becomes (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). This property is shared by most binary operations, but not subtraction or division or octonion multiplication.

Commutativity: Addition of integers also has a property called commutativity. That is, the order of the numbers to be added does not affect the sum. For example: 2+3=3+2. In general, this becomes a ∗ b = b ∗ a. Only some binary operations have this property. It holds for the integers with addition and multiplication, but it does not hold for matrix multiplication or quaternion multiplication .

انظر أيضا

• بنى جبرية
• الخوارزمي مؤسس فهم الجبر .
• المبرهنة الأساسية في الجبر
• نظام جبري حاسوبي
• المبرهنة الأساسية للجبر
• قائمة منطقات الرياضيات
• Order of operations

الهوامش

المصادر

• خط على النت حول الجبر.
• حلول لمسائل الجبر على النت.
• دروس جبر على النت.
• الجبر- أفكار أساسية     ست فصول تغطي أساسيات الجبر.
• أضواء على تاريخ الجبر
• شرح المواضيع الأساسية في الجبر
• I.N. Herstein: Topics in Algebra. ISBN 047102371X
• R.B.J.T. Allenby: Rings, Fields and Groups. ISBN 0340544406

• Donald R. Hill, Islamic Science and Engineering (Edinburgh University Press, 1994).
• Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, and Borin Van Loon, Introducing Mathematics (Totem Books, 1999).
• George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Penguin Books, 2000).
• John J O'Connor and Edmund F Robertson, MacTutor History of Mathematics archive (University of St Andrews, 2005).
• I.N. Herstein: Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X
• R.B.J.T. Allenby: Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6
• L. Euler: Elements of Algebra, ISBN 978-1-89961-873-6
• Isaac Asimov Realm of Algebra (Houghton Mifflin), 1961

وصلات خارجية

• مراجعات سباركنوت في الجبر I وII
• ExampleProblems.com : أمثلة مسائل وحلولها حول أساسيات الجبر وجبر خطي .
• Purplemath.com "مصادرك لدراسة الجبر"
• 4000 Years of Algebra, lecture by Robin Wilson, at Gresham College, October 17, 2007 (available for MP3 and MP4 download, as well as a text file).
• Algebra entry in the Stanford Encyclopedia of Philosophy by Vaughan Pratt

ru-sib:Алгебра