تابع الكثافة الاحتمالية

توقيع صندوقي ودالة الكثافة الاحتمالية (pdf) لتوزيع احتمالي گاوسي N(0, σ²)

في نظرية الاحتمالات، دالة الكثافة الاحتمالية (د.ك.ا) probability density function أو(pdf) هي الدالة الممثلة لأي توزيع احتمالي عن طريق التكامل. وتكون دالة الكثافة الاحتمالية موجبة دائمًا، كما ويكون تكاملها من ∞- إلى ∞+ مساويًا لواحد:

{\displaystyle \int _{-\infty ^{+\infty f\left(x\right)dx=1

يمكن وصف دالة الكثافة الاحتمالية بأنها تعبير عن تقويم لاستمرارية منسّج(أي Histogram) الذي يمثل التكرارات النسبية ضمن مجالات النتائج البيانية.

توزيعات مستمرة بمتغير واحد

تكون للمتغير العشوائي ${\displaystyle X$

{\displaystyle P\left[a\leq X\leq b\right]=\int _{a ^{b f\left(x\right)dx

أي أنّ الاحتمال بأن يتخذ المتغير ${\displaystyle X$

{\displaystyle ,F\left(x\right)=\int _{-\infty ^{x f\left(u\right)du

وكذلك، فإنّ:

{\displaystyle f\left(x\right)={\frac {d {dx F\left(x\right)

من هنا، فإذا كان لدينا توزريعًا احتماليًا له كثافة ${\displaystyle f\left(x\right)$ , عندئذقد يكون الاحتمال للحصول على قيم في المجال اللامتناهي ${\displaystyle \left[x,x+dx\right]$ هو ${\displaystyle f\left(x\right)dx$ .

دوال كثافة احتمالية مهمة

التوزيع المنتظم هوأحد أكثر التوزيعات أهمية واستعمالاً. في صيغته المستمرة نقول أنّ للمتغير العشوائي X توزيعًا منتظمًا في الفترة ${\displaystyle \left[a,b\right]$ إذا كان احتمال حصول X على قيمة ما في فترة جزئية محتواة في الفترة ${\displaystyle \left[a,b\right]$ مساويًا لاحتمال حصوله على قيمة ما في فترة جزئية أخرى محتواة في الفترة ${\displaystyle \left[a,b\right]$ ، بشرط حتى تكون الفترتان بنفس الطول. هذا يقضي بأنقد يكون لـX نفس الكثافة الاحتمالية على طول الفترة ${\displaystyle \left[a,b\right]$ ، أي:

{\displaystyle f\left(x\right)={\begin{cases {\frac {1 {b-a \quad a\leq x\leq b\\0\quad \quad x<a,x>b\end{cases

بالنسبة للتوزيع الاحتمالي الطبيعي أوالغاوسي، فإنّ دالة الكثافة الاحتمالية هي:

{\displaystyle f\left(x\right)={\frac {1 {\sqrt {2\pi e^{-{\frac {x^{2 {2

هذا في حالة كون المتغير العشوائي تابع لتوزيع طبيعي معياري، أي أنّه ذوقيمة متوقّعة مساوية لصفر، وتباين مساوٍ لواحد. أمّا إذا كانت القيمة المتوقّعة مساوية لـ-