الألعاب (نظرية ـ)

نظرية الألعاب Game theory هي نظرية تحاول بمساعدة الاحتمالات ومفاهيم رياضية أخرى حتى تبني نموذجاً رياضياً يمثل نشاطاً بشرياً: اقتصادياً أوعسكرياً أوسياسياً أوترفيهياً أوما ماثل ذلك، ويتيح حل هذا النموذج اتخاذ أفضل قرار أوموقف تجاه ما يمثله.

واللعبة هنا هي مسألة تنافس أوصراع بين شخصين على الأقل أوبين فئتين، تتعلق بمجال من مجالات النشاط الإنساني. يُدعى جميع إنسان يدخل في اللعبة لاعباً، ويفترض في اللاعب الفطنة والذكاء وفهم قواعد اللعبة وقوانينها، وقد يحدث بحوزته معلومات كافية عن خطط خصمه كما في لعبة الشطرنج، وقد لا يمتلك مثل هذه المعلومات كما في لعبة الورق (الشدة). وهدف جميع لاعب الوصول إلى أفضل كسب ممكن أو، على الأقل، أقل خسارة ممكنة. وقد يضطر اللاعب إلى القيام بتخمينات وتقديرات ومراوغات أحياناً، أواللجوء إلى حيل توصله إلى تحقيق ما يريد إذا أحسن الاختيار. ومن أبرز فروع نظرية الألعاب، نظرية المباراة ونظرية الحيل.

نظرية المباراة

المباراة لعبة تقوم بين خصمين متنافسين (أ) و(ب) يفترض في رغبات أحدهما واهتماماته حتى تعاكس رغبات الثاني واهتماماته، كما يفترض في كسب الأول حتى يساوي خسارة الثاني، وينطق عن ذلك بإيجاز إنها لعبة ذات مجموع معدوم. ولقد اصطلح على حتى تمثل هذه اللعبة بمصفوفة تدعى «مصفوفة اللعبة»، أومصفوفة كسب اللاعب أ. (أومصفوفة خسارة اللاعب ب). إذا عدد أسطر هذه المصفوفة يساوي عدد خطط أحد اللاعبين، الذي يمكن حتى يُدعى لاعب الأسطر، وعدد أعمدتها يساوي عدد خطط اللاعب الآخر الذي يدعى لاعب الأعمدة.

أما عناصر هذه المصفوفة فهي أعداد حقيقية يمثل جميع منها ص س ع ما يربحه اللاعب الأول أوما يخسره (حسب إشارةالعدد ص س ع) إذا قام باختيار الخطة الموافقة للسطر س ثم قام الآخر باختيار الخطة الموافقة للعمود «ع» أوالعكس. فإذا كانت مجموعة خطط اللاعب أ هي: خ(أ)={أ1،أ2،...،أن ومجموعة خطط خصمه ب هي: خ(ب)= {ب1،ب2،...بم وكان أ هولاعب الأعمدة وكان ب هولاعب الأسطر أمكن كتابة مصفوفة اللعبة على النحو: <nowiki>

إلى غير ذلك فإن جميع لعبة تمثل بمصفوفة، ويمكن النظر إلى أي مصفوفة على أنها تمثل لعبة من هذا النمط. وعلى سبيل المثال فان المصفوفة: <nowiki>

تمثل لعبة فيها ن=4، م=3. ولفهم كيف من الممكن أن تجري اللعبة، يفترض حتى أ هوالذي بدأ باللعب ساعياً إلى الحصول على أعلى كسب ممكن، تجدر ملاحظة ما يلي: لواختار أ العمود الأول لاختار ب السطر الأول ولربح أ خمس ليرات (مثلاً) ولواختار أ العمود الثاني لاختار ب السطر الثالث ولخسر أ 12 ليرة، أما لواختار أ العمود الثالث لاختار ب السطر الثاني ولخسر أ ست ليرات، وأخيراً لواختار أ العمود الرابع لاختار ب السطر الثاني ولربح أ ليرة واحدة. ومن هذا يتضح حتى أفضل ما يعمله أ هوحتى يلعب وفق الخطة الموافقة للعمود الأول، أوكما ينطق عادة: إذا أحسن ما يعمله أ هواختيار العمود الأول، وعندئذ يضمن ربحا حقيقياً قدره خمس ليرات على الأقل مهما كانت الخطة التي سيجابهه بها خصمه. وما على أ كي يصل إلى هذا القرار سوى حتى يستبدل بكل عمود أصغر عدد فيه فيحصل على الأعداد 5،-12،-6، 1، ثم يختار أكبرها ص س1 ع1 وهوالعددخمسة ثم يختار العمود الذي يبلغه هذا الهدف ع1=1. أما لواضطر ب إلى بدء اللعب فهوسيسعى إلى الوصول إلى أقل خسارة ممكنة، وعليه في سبيل ذلك حتى يستبدل بكل سطر أكبر عدد فيه فيحصل على الأعداد 12،11،9 ثم يختار أصغرها ص س2 ع2 وهوالعددتسعة ثم يختار السطر الذي يبلغه هذا الهدف س2=3.

مما تجاوز ينتج أنه إذا بدأ أ اللعبة فان أعلى كسب يحصل عليه في جولة اللعب هذه هو: 5=صس1ع1=نع1 ³ ع ³ ن (نص1 ³ س ³ م(صس ع)) أما إذا بدأ ب اللعبة فإن أقل خسارة تصيبه في هذه الجولة هي:

9=صس2ع2=نص1  ³ س ³ م (نع1 ³ ع ³ ن(صس ع))

ويبرهن في المصفوفة (1) حتى ص س1ع1 ³ ص س2ع2 دائماً وهنا يلاحظ حتى ص س1ع1< ص س2ع2 في المصفوفة (2)، أما في المصفوفة <nowiki>

فإن ص س1ع1= ص س2ع2=7، وقد وضعت هذه القيمة ضمن مربع صغير. تدعى القيمةسبعة قيمة اللعبة ويدعى المربع الذي تشغله هذه القيمة في مصفوفة اللعبة نقطة استقرار اللعبة أونقطة توازنها. وهنا يتضح أنه لوبدأ أي من اللاعبين اللعب فسيختار السطر (العمود) الذي يوصله إلى نقطة التوازن. وينطق هنا إذا اللاعبين كليهما يسعيان إلى الاستقرار فيها، ويحاول جميع خصم إخراج خصمه منها مستخدماً الحيلة والحزر. وتبرز صعوبة الاختيار لدى الخصمين عندما تكون المعلومات المتوافرة لدى جميع منهما عن الآخر ناسيرة. ويلاحظ أنه إذا كان لمصفوفة اللعبة نقطة توازن وحيدة فإن شوطاً واحداً (فترة واحدة) يمكن حتى ينهيها. وتكرار الشوط (إعادته) يقود إلى النتيجة نفسها، وهي كسب لـِ أ قيمته تساوي قيمة اللعبة، وخسارة لـ ِ ب تساوي نظير قيمة اللعبة.

أما إذا لم يكن لمصفوفة اللعب نقطة توازن وحيدة (أي ليس لها أي نقطة توازن أولها أكثر من نقطة)، وإذا فُرض حتى أ يريد حتى يزيد ربحه الذي تضمنه له طريقة اللعب السابق ذكرها، وأن ب يريد كذلك حتى يخفف من خسارته، وأن اللعبة تتضمن أشواطاً عدة وأن جميع لاعب يتصرف كما يحلوله معتمداً على الحظ والمصادفة إلى جانب الحيلة والحيطة والحزر فيختار أ مثلاً العمود د باحتمال قيمته ق د ويختار ب السطر ر باحتمال قيمته ك ر، عندئذ يدعى

استراتيجية لـِ أ ويدعى ك=[ك1،...كم] إستراتيجية لـِ ب، ويكون احتمال حتى يربح أ المقدار صرد هوك ر× ق د(بحسب قواعد الاحتمال). تدعى الدالة (التابع):

معدل كسب اللاعب أ، أومعدل خسارة اللاعب ب. وتؤكد نظرية فون نيومان Von Neuman حتى ثمة إستراتيجية ق لـِ أ، وأخرى ك لـ ِ ب، تدعى جميع منها إستراتيجية مثلى، بحيث يتحقق ما يلي: ت(ق،ك*) ³ ت(ق*،ك*) ³ ت(ق*،ك) أياً كانت الاستراتيجيتان ق، ك وتدعى القيمة ت(ق، ك)=هـ قيمة اللعبة. وينطق عن استراتيجية ق للاعب أ إنها "رائية" صرفة إذا كان

ق=[\، \ ،...،1،...، \]=[ق1، ق2،...،قر،...،قن] أي إذا كان ق ر=1، وكان ق رَ=\ عندماقد يكون ر رَ. كذلك ينطق عن إستراتيجية ك للاعب ب إنها «دالية» صرفة إذا كان ك د=1، ك دَ=\ عندماقد يكون دَ د. أما إذا كان\ >ق> 1 فإنه ينطق: إذا ق استراتيجية غير صرفة أوأنها استراتيجية مزيجة. ويبرهن أنه إذا كانت مصفوفة اللعبة هي

وإذا لم يكن لهذه المصفوفة أي نقطة توازن فإن الإستراتيجية المثلى ق للاعب أ هي:

وإن الإستراتيجية المثلى ك للاعب ب هي:

وتكون قيمة اللعبة هي:

فإذا أرادت وزارة الصحة، مثلاً، حتى تقوم بتلقيح مواطنيها لوقايتهم من فيروس معين، وإذا فرض حتى لهذا الفيروس سلالتين، وأنه لا يُعهد شيء عن النسب التي تظهر فيها هاتان السلالتان في الفيروس. وإذا فُرض أنه تم الوصول إلى تلقيحين بتأثيرين مختلفين على السلالتين، وأن التلقيح الأول فعّال بنسبة 85% للوقاية من السلالة الأولى و70% للوقاية من السلالة الثانية، وأن التلقيح الثاني فعّال بنسبة 60% للوقاية من السلالة الأولى و90% للوقاية من السلالة الثانية، فما هي سياسة التلقيح المثلى التي ينبغي على وزارة الصحة الأخذ بها. تمثل هذه المسألة مباراة، اللاعب أ فيها هووزارة الصحة واللاعب ب هوالفيروس. يرغب اللاعب أ في الحصول على أفضل كسب (أعلى نسبة من المواطنين الممنعين للوقاية من الفيروس) ويرغب اللاعب ب حتى يخفف من هذا الربح إلى أقل ما يمكن. إذا مصفوفة اللعب هي:

وليس لهذه المصفوفة أي نقطة توازن. لذا فإن الاستراتيجية المثلى ق للاعب أ هي:

وأن الاستراتيجية المثلى للاعب ب هي:

وتكون قمة اللعبة هي

وهنا نلاحظ حتى الاستراتيجية المثلى لوزارة الصحة هي حتى تلقح ثلثي المواطنين باللقاح الأول وأن تلقح الثلث الباقي باللقاح الثاني. عندئذ يحصل 76.7% من المواطنين على مناعة للوقاية من الفيروس بغض النظر عن توزع السلالتين فيه.

ومن جهة أخرى فإن الفيروس بنسبة من السلالة الأولى و من السلالة الثانية بجعل نسبة المواطنين المقاومين له لا تتجاوز 76.7% بغض النظر عن استراتيجية التلقيح التي تبنتها وزارة الصحة.

نظرية الحيل

يستخدم جميع لاعب في المباراة الحيلة والحذر عندما لا تكون لديه معلومات كافية عن خطط خصمه، ويسعى للتستر على نواياه، ولكشف نوايا خصمه آملاً بالفوز. وهنا يشار إلى أنه يجب حتى لا تستخدم الحيلة نفسها عدة مرات إذ تصبح خطته مكشوفة للخصم، ويعود ضررها على من استخدمها. كذلك يتعين على اللاعب حتى يغير خطته أوخطط لعبه تبعاً لردود عمل الخصم، وعليه حتى يراوغ في اختيار خطته وفق ما يراه مناسباً. ومع ذلك قد يصعب عليه الفوز. وقد أورد أوسكار مورغنشترن Oscar Morgenstern مثالاً لاختبارات عشوائية لمواقف عشوائية وذلك باستخدامه مغامرة شرلوك هولمز Sherlock Holmes التالية: يهرب هولمز من إنسان يتعقبه ليقتله هوموريارتي Moriarty، فيأخذ الأول قطاراً من لندن إلى مدينة "دوفر" على الساحل اللقاء لفرنسة، ويمر القطار، في طريقه بمدينة كانتربري، ويلمح هولمز، لسوء حظه، حين صعوده إلى القطار حتى متعقبه يسافر معه في الرحلة ذاتها فلونزلا من القطار معاً لعرض نفسه للهلاك. أما لوهبط هولمز في دوفر ونزل الآخر في كانتربري، فإن هولمز ينجو، ويستقل بعدئذ باخرة إلى فرنسة. لكن إذا وقع حتى هبط هوفي كانتربري ونزل خصمه في دوفر فإن هولمز سيخفق في الهرب. وينتج من هذا صعوبة الاختيار لدى الخصمين لنقص المعلومات المتوافرة لدى جميع منهما، ولذا فإن خطة جميع منهما دفاعية ويرتبط حلها بالمصادفة والحظ وواضح كذلك حتى كلاً منهما يترقب صدور أقل هفوة من صاحبه ليفاجئه بخطة هجومية قد تحقق له ما يريد. ويمكن حتى تعطى هذه اللعبة الصيغة الرياضية التالية، وذلك بإدخال احتمال الخيارات الممكنة لكل خصم. فلوفرضنا حتى احتمال نزول هولمز في دوفر هو ق واحتمال نزول خصمه في كانتربري هوك فيكون، وفقاً لقواعد الاحتمال، احتمال نجاح هولمز في الهرب يساوي ق×ك واحتمال إخفاقه في الهرب دون حتى يتعرض للقتل هو(1- ق) (1- ك) واحتمال تعرضه للقتل هو (1- ق) ك+ ق (1- ك) = ق + ك -2ق ك.

ولكن هذه الاحتمالات غير معروفة بدقة، بل هي ظنّية. فلوعهد هولمز نفسه احتمال نزول خصمه في كانتربري لما كان اختياره عشوائياً. وهنا يتصرف جميع لاعب تبعاً لأفكاره التي يحملها عن خصمه ويلجأ إلى التخمين والتقدير. فلوقدر هولمز حتى ك صغيرة من الممكن اختار النزول في كانتربري وآثر الاخفاق مع السلامة على ما سوى ذلك، أما لوقدر هولمز استناداً إلى معلومات وصلت إليه بطريقة ما أنه إذا هبط في كانتربري، فالإخفاق محقق ومؤكد له. وإذا هبط في دوفر فقد ينجح باحتمال قدره 90%، أويفضل (وهذا راجع لتقديراته) حتى يعرض نفسه للموت بنسبة 10% لقاء تسع مرات نجاح في العشرة.

تطبيقات نظرية الألعاب في الاقتصاد

ظهرت أولى التطبيقات الاقتصادية لنظرية الألعاب عام 1944 في كتاب عنوانه: نظرية الألعاب والسلوك الاقتصادي ألّفه مورغنشترن O.Horgenstern، وفون نيومان J.Von Neuman. وفي الواقع فإن مبدأ تطبيق نظرية الألعاب في الاقتصاد سهل نسبياً. فإذا أخذنا بالنظرية التقليدية في الاقتصاد فإن جميع اقتصادي يسعى إلى بلوغ النهاية العظمى أوالنهاية الصغرى لتابع يدعى تابعاً اقتصادياً أوتابع الربح أوتابع الكلفة أوما ماثل ذلك. فمدير أي مشروع مثلاً يسعى للوصول إلى أكبر كسب لمشروعه. فينظر في تابع الربح ويسعى إلى بلوغ نهايته العظمى، في حين يسعى أي مستهلك لبلوغ النهاية الصغرى لتابع الكلفة. وتظهر أهمية نظرية الألعاب عند دراسة المنافسات بين المؤسسات الاقتصادية التي يحاول جميع منها اختيار القرار الأمثل. ويمكن لتوضيح الفكرة إيراد المثال التالي: تتنافس مؤسستان اقتصاديتان على اقتسام جمهور المستهلكين في سوق محلية فتقوم جميع منهما بين الحين والآخر بحملة نادىية عن طريق الصحف أوبالملصقات الجدارية. فإذا افترض حتى مدير أولى المؤسستين توصل إلى ما يلي: إذا قام بحملة النادىية في الصحف (الاختيار أ1) فإنه يحقق ربحا حقيقياً لمؤسسته قدره مئة ألف ليرة فيما لواختار منافسه النادىية في الصحف (الاختيار ب1)، ولكن ربحه سيكون صفراً لواختار منافسه النادىية بالملصقات الجدارية (الاختيار أ2).أما إذا قام بحملة النادىية بالملصقات الجدارية (الاختيار ) فانه يخسر مئة ألف ليرة سورية فيما لواختار منافسه النادىية في الصحف (الاختيار ب1)، ولكن ربحه سيكون مئتي ألف ليرة لواختار منافسه النادىية بالملصقات الجدارية (الاختيار ب2). فما هوالقرار الأمثل لكل منهما: يمكن تمثيل هذه المنافسة بمصفوفة كسب المؤسسة الأولى (اللاعب الأول أ)

واستناداً إلى ما تجاوز تكون قيمة اللعبة هـ =50 ألفاً، وتكون الاستراتيجية المثلى لـِ أ هي

وتعني هذه النتيجة حتى القرار الأمثل للمؤسسة الأولى هوحتى تصرف ثلاثة أرباع المبلغ المخصص لحملة النادىية للنادىية بالصحف والربع الباقي للنادىية بالملصقات. عندئذ تضمن ربحا حقيقياً لا يقل عن خمسين ألفاً مهما كانت الخطة التي ستتبناها المؤسسة الثانية (اللاعب ب). أما الاستراتيجية المثلى لـِ ب

فهي والقرار الأمثل لها هوحتى تصرف نصف المبلغ للنادىية في الصحف، والنصف الآخر للنادىية بالملصقات الجدارية. عندئذ لن تتجاوز خسارة هذه المؤسسة خمسين ألفاً مهما كانت الخطة التي ستنتهجها المؤسسة الأولى والدالة الاقتصادية التي تمثل كسب أ هي: ت(ق،ك)=ت(ق1،ق2، ك1،ك2)=تا(س،ع)=400س ع -300 ع-200س+200 بفرض حتى ق1=س، ق2=1-س، ك1=ع، ك2=1-ع. والنقطة الحرجة لهذا التابع هي