دالة محدبة
تدعى دالة رياضية (بمتغير واحد) دالة محدّبة في مبتر ما إذا كان الخط المستقيم الذي يصل بين أي نقطتين على الرسم البياني للدالة في هذا المبتر يقع فوق الرسم البياني للدالة نفسها. على سبيل المثال فإنّ الدالّة
بالإمكان تطوير تعريف الدالة المحدبة ليضم دوال بأكثر من متغير واحد، بل وأي دالة ذات قيم حقيقية معرّفة في نطاق يشكل مجموعة محدبة في فضاء اتجاهي ما.
للدوال المحدّبة استعمالات عديدة وهامّة، خاصة في مجالات التحليل الدالي والاستمثال المحدب، وتظهر في عدة متراجحات مهمّة، منها متراجحة ينسن.
تعريف
إنّ الدالة ذات القيم الحقيقية
هذا وتدعى الدالة محدبة تمامًا إذا تحقّق:
لكل في المجال (0,1) ولكل .
أمّا إذا كانت الدالة
ويظهر تفسير كون الدالة أحادية المتغير محدّبة إذا كان الخط المستقيم الذي يصل بين أي نقطتين على رسمها البياني يقع فوق الرسم البياني، يظهر من المتراجحة أعلاه، إذ أنّه إذا كانت هي نقطة تقع بين x وy (تذكير: )، فإنّ:
![{\displaystyle \lambda \in \left[0,1\right]](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b44c60a9ec791c9a67aa73deb58451cbca39655)
- ،
حيث أنّ هي معادلة الخط المستقيم (أي و).
خواص تحليلية
- إذا كانت f وg دالتين محدّبتين، فإنّ الدالتين: و هما محدبتان كذلك؛
- إذا كانت f وg دالتين محدّبتين، وكانت دالة غير تنازلية، فإنّ ؛
- تحدّب الدالة لا يتغير إثر تحويلات أفينيّة على المتغيّر، أي أنّه إذا كانت f هي دالة محدبة وكان ، فإنّ هي دالة محدبة، حيث ، ، ؛
أمثلة
- الدالة هي دالة محدبة تمامًا إذ أنّ المشتق الثاني للدالة موجب لكل x: .
- إنّ المشتق الثاني للدالة
- دالة القيمة المطلقة محدبة، بالرغم من حتى ليس لديها مشتقة عند النقطة x = 0. لذا فهي ليست محدبة دوماً.
- الدالة حينقد يكون 1 ≤ p هي محدبة.
- الدالة الأسية
- الدالة ƒ في النطاق [0,1] فهم كالتالي: ƒ(0) = ƒ(1) = 1, ƒ(x) = 0 for 0 < x < 1 is convex; it is continuous on the open interval (0, 1), but not continuous at 0 and 1.
- The function x3 has second derivative 6x; thus it is convex on the set where x ≥ 0 and concave on the set where x ≤ 0.
- Every linear transformation taking values in is convex but not strictly convex, since if f is linear, then This statement also holds if we replace "convex" by "concave".
- Every affine function taking values in , i.e., each function of the form , is simultaneously convex and concave.
- Every norm is a convex function, by the triangle inequality and positive homogeneity.
- If ƒ is convex, the perspective function is convex for t > 0.
- Examples of functions that are monotonically increasing but not convex include and g(x) = log(x).
- Examples of functions that are convex but not monotonically increasing include and .
- The function ƒ(x) = 1/x2, with f(0) = +∞, is convex on the interval (0, +∞) and convex on the interval (-∞,0), but not convex on the interval (-∞, +∞), because of the singularity at x = 0.
انظر أيضًا
- دالة مقعرة
- استمثال محدب Convex optimization
- مبرهنة كاتشوروڤسكي، التي تربط التحدب إلى رتابة مشتقة
- دالة محدبة لوغاريتمياً
- دالة تحدب كاذب
- دالة شبه محدبة
- تحدب جيوديسي
- مجموعة محدبة
- متراجحة ينسن
- متراجحة هرميت-هدمار
