مجموعة بورل
في الرياضيات، مجموعة بوريل (الإنكليزية: Borel set)هي أي فضاء طوبولوجي يمكن تشكيله من المجموعات المفتوحة (أوبشكل مكافئ، من المجموعات المغلقة) من خلال عمليات الاجتماع المعدود، والتقاطع المعدود، والإتمام النسبي. تسمى مجموعات بوريل نسبة لإيميل بورل Émile Borel.
من أجل فضاء طوبولوجي ما X، تشكل مجموعة جميع مجموعات بورل في X جبر سيگما، التي تسمى أحياناً جبر بورل أوجبر بورل سيگما. إذا جبر بورل على X هوأصغر جبر سيگما يضم جميع المجموعات المفتوحة (أوبشكل مكافئ، جميع المجموعات المغلقة).
لمجموعات بورل أهمية كبيرة في نظرية القياس، لأن جميع قياس معهد على مجموعات مفتوحة (أومغلقة) من فضاء ما، يجب حتى يعهد جميع مجموعات بورل من ذلك الفضاء. وكل قياس معهد على مجموعات بورل يسمى قياس بورل. كما يلعب مفهوم تراتب بورل ذوالصلة دوراً أساسياً في نظرية المجموعات الوصفية descriptive set theory.
في بعض السياقات، تعهد مجموعات بورل باستخدام المجموعات المضغوطة ومتمماتها بدلاً من المجموعات المفتوحة والمغلقة. يعد جميع من هذين التعريفين متكافئين في معظم الفضاءات.
In some contexts, the Borel sets are defined using compact sets and their complements rather than closed and open sets. These two definitions are equivalent for most typical spaces, including any locally compact, separable metric space (or more generally any σ-compact space), but are different for certain pathological spaces.
انظر أيضاً
- Baire set
- Cylindrical σ-algebra
- Polish space
- Descriptive set theory
References
An excellent exposition of the machinery of Polish topology is given in Chapter ثلاثة of the following reference:
- William Arveson, An Invitation to C*-algebras, Springer-Verlag, 1981
- Richard Dudley, Real Analysis and Probability. Wadsworth, Brooks and Cole, 1989
- Paul Halmos, Measure Theory, D.van Nostrand Co., 1950
- Halsey Royden, Real Analysis, Prentice Hall, 1988
- Alexander S. Kechris, Classical Descriptive Set Theory, Springer-Verlag, 1995 (Graduate texts in Math., vol. 156)
