مثلث پاسكال

في مثلث پاسكال، جميع عدد هوحاصل جمع العددين فوقه مباشرة.

في الرياضيات مثلث باسكال هومنظومة هندسية لمكافئ ثنائي في المثلث. سميت على اسم بليز باسكال على الرغم من قيام الكثير من الفهماء بدراسته قبل باسكال في الهند، بلاد فارس، الصين، وإيطاليا. يتم ترقيم الصفوف في مثلث باسكال بدءًا من الصفر، وغالبًا ما تتوسط الأعداد في الصفوف ذات الأرقام الأعداد الموجودة في الصفوف الزوجية في المكان. يتم إنشاء المثلث ببساطة على النحوالتالي:

في الصف ذوالرقم صفر، اخط فقط الرقم 1
من أجل إنشاء عناصر الصف الثاني، اجمع العدد الموجود في أعلى ويمين العدد إلى العدد الموجود في أعلى ويسار العدد فينتج قيمة العنصر الجديد
إذا لم يوجد عنصر في أعلى ويمين (أوأعلى أويسار العدد) اجمع صفر إلى العدد الآخر.

مميزات مثلث باسكال:

الأرقام التي على حافة المثلث هي كلها 1.
الرقم الذي بجانب الحافة في السطر n (الترقيم يبدأ من 0) هوn
مجموع الأرقام في السطر رقم n (الترقيم يبدأ من 0) هو ${\displaystyle 2^{n$
مجموع الارقام في الأماكن الزوجية في السطر مساولمجموع الأرقام في الأماكن الفردية في نفس السطر.
الأرقام الموجودة في جميع سطر هي تعبير عن: ${\displaystyle 11^{n$ حيث n هوتعبير عن ترتيب (رقم) السطر، فهماً حتى السطر الأول ترتيبه (الصفر)، أي أن: ${\displaystyle 11^{0 =1$ .
مجموع الأرقام بشكل مائل حتى الخط المنصف، يساوي إلى الرقم المحاذي لها بشكل مائل (الشكل ((*)) يوضح ذلك).

الشكل ((*))
في الصورة على اليمين (1+3=4)
وفي الصورة على اليسار (1+2=3)

التاريخ

Yang Hui's triangle, as depicted by the Chinese using rod numerals, appears in a mathematical work by Zhu Shijie, dated 1303. The title reads "The Old Method Chart of the Seven Multiplying Squares" (Chinese: 古法七乘方圖; the fourth character 椉 in the image title is archaic).

Blaise Pascal's version of the triangle

امتدادات

مثلث پاسكال يمكن مده إلى صف الأعداد السالبة.

First write the triangle in the following form:

	m = 0	m = 1	m = 2	m = 3	m = 4	m = 5	...
n = 0	1	0	0	0	0	0	...
n = 1	1	1	0	0	0	0	...
n = 2	1	2	1	0	0	0	...
n = 3	1	3	3	1	0	0	...
n = 4	1	4	6	4	1	0	...

Next, extend the column of 1s upwards:

	m = 0	m = 1	m = 2	m = 3	m = 4	m = 5	...
n = −4	1						...
n = −3	1						...
n = −2	1						...
n = −1	1						...
n = 0	1	0	0	0	0	0	...
n = 1	1	1	0	0	0	0	...
n = 2	1	2	1	0	0	0	...
n = 3	1	3	3	1	0	0	...
n = 4	1	4	6	4	1	0	...

Now the rule:

{\displaystyle {n \choose m ={n-1 \choose m-1 +{n-1 \choose m

can be rearranged to:

{\displaystyle {n-1 \choose m ={n \choose m -{n-1 \choose m-1

which allows calculation of the other entries for negative rows:

	m = 0	m = 1	m = 2	m = 3	m = 4	m = 5	...
n = −4	1	−4	10	−20	35	−56	...
n = −3	1	−3	6	−10	15	−21	...
n = −2	1	−2	3	−4	5	−6	...
n = −1	1	−1	1	−1	1	−1	...
n = 0	1	0	0	0	0	0	...
n = 1	1	1	0	0	0	0	...
n = 2	1	2	1	0	0	0	...
n = 3	1	3	3	1	0	0	...
n = 4	1	4	6	4	1	0	...

This extension preserves the property that the values in the mth column viewed as a function of n are fit by an order m polynomial, namely

{\displaystyle {n \choose m ={\frac {1 {m! \prod _{k=0 ^{m-1 (n-k)={\frac {1 {m! \prod _{k=1 ^{m (n-k+1)

.

This extension also preserves the property that the values in the nth row correspond to the coefficients of (1 + x)ⁿ:

{\displaystyle (1+x)^{n =\sum _{k=0 ^{\infty {n \choose k x^{k \quad |x|<1

For example:

{\displaystyle (1+x)^{-2 =1-2x+3x^{2 -4x^{3 +\cdots \quad |x|<1

When viewed as a series, the rows of negative n diverge. However, they are still Abel summable, which summation gives the standard values of 2ⁿ. (In fact, the n = -1 row results in Grandi's series which "sums" to 1/2, and the n = -2 row results in another well-known series which has an Abel sum of 1/4.)

Another option for extending Pascal's triangle to negative rows comes from extending the other line of 1s:

	m = −4	m = −3	m = −2	m = −1	m = 0	m = 1	m = 2	m = 3	m = 4	m = 5	...
n = −4	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	...
n = −3		1	0	0	0	0	0	0	0	0	...
n = −2			1	0	0	0	0	0	0	0	...
n = −1				1	0	0	0	0	0	0	...
n = 0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	...
n = 1	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	...
n = 2	0	0	0	0	1	2	1	0	0	0	...
n = 3	0	0	0	0	1	3	3	1	0	0	...
n = 4	0	0	0	0	1	4	6	4	1	0	...

Applying the same rule as before leads to

	m = −4	m = −3	m = −2	m = −1	m = 0	m = 1	m = 2	m = 3	m = 4	m = 5	...
n = −4	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	...
n = −3	−3	1	0	0	0	0	0	0	0	0	...
n = −2	3	−2	1	0	0	0	0	0	0	0	...
n = −1	−1	1	−1	1	0	0	0	0	0	0	..
n = 0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	...
n = 1	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	...
n = 2	0	0	0	0	1	2	1	0	0	0	...
n = 3	0	0	0	0	1	3	3	1	0	0	...
n = 4	0	0	0	0	1	4	6	4	1	0	...

Note that this extension also has the properties that just as

{\displaystyle \exp {\begin{pmatrix .&.&.&.&.\\1&.&.&.&.\\.&2&.&.&.\\.&.&3&.&.\\.&.&.&4&.\end{pmatrix ={\begin{pmatrix 1&.&.&.&.\\1&1&.&.&.\\1&2&1&.&.\\1&3&3&1&.\\1&4&6&4&1\end{pmatrix ,

we have

{\displaystyle \exp {\begin{pmatrix .&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-4&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&-3&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&-2&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&-1&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&0&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&1&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&2&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&3&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&4&.\end{pmatrix ={\begin{pmatrix 1&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-4&1&.&.&.&.&.&.&.&.\\6&-3&1&.&.&.&.&.&.&.\\-4&3&-2&1&.&.&.&.&.&.\\1&-1&1&-1&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&1&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&1&1&.&.&.\\.&.&.&.&.&1&2&1&.&.\\.&.&.&.&.&1&3&3&1&.\\.&.&.&.&.&1&4&6&4&1\end{pmatrix

Also, just as summing along the lower-left to upper-right diagonals of the Pascal matrix yields the Fibonacci numbers, this second type of extension still sums to the Fibonacci numbers for negative index.

Either of these extensions can be reached if we define

{\displaystyle {n \choose k ={\frac {n! {(n-k)!k! \equiv {\frac {\Gamma (n+1) {\Gamma (n-k+1)\Gamma (k+1)

and take certain limits of the gamma function, ${\displaystyle \Gamma (z)$ .

انظر أيضاً

Bean machine, Francis Galton's "quincunx"
Bell triangle
Bernoulli's triangle
Binomial expansion
Euler triangle
Floyd's triangle
Gaussian binomial coefficient
Leibniz harmonic triangle
Multiplicities of entries in Pascal's triangle (Singmaster's conjecture)
Pascal matrix
Pascal's pyramid
Pascal's simplex
Proton NMR, one application of Pascal's triangle
(2,1)-Pascal triangle
Star of David theorem
Trinomial expansion
Trinomial triangle

الهامش

وصلات خارجية

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Pascal triangle", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
Eric W. Weisstein, Pascal's triangle at MathWorld.
The Old Method Chart of the Seven Multiplying Squares (from the Ssu Yuan Yü Chien of Chu Shi-Chieh, 1303, depicting the first nine rows of Pascal's triangle)
Pascal's Treatise on the Arithmetic Triangle (page images of Pascal's treatise, 1655; summary)
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (P)
Leibniz and Pascal triangles
Dot Patterns, Pascal's triangle, and Lucas' Theorem