تفاضل

مواضيع في التفاضل والتكامل
حساب التفاضل
	اشتقاق; حساب المتغيرات; تفاضل ضمني ; مبرهنة تايلور ; معدلات مرتبطة ; متطابِقات; قواعد: ; قاعدة القوة، قاعدة الضرب،; قاعدة ناتج القسمة، قاعدة التسلسل
حسبان تكاملي
	تكامل; قائمة التكاملات ; تكاملات معتلة ; تكامل ريمان; تكامل متعدد; التكامل بواسطة: ; التجزئة، الأقراص، الأسطوانية، التعويض،; التعويضات المثلثية،; الكسور الجزئية، تغيير الرتب
حساب المتجهات
	تدرج ; تباعد ; تدور (إلتواء) ; لابلاسي ; مبرهنة التدرج ; مبرهنة غرين ; مبرهنة ستوكس ; مبرهنة التباعد
حساب متعدد المتغيرات
	حسبان المصفوفات ; اشتقاق جزئي ; تكامل متعدد ; تكامل خطي ; تكامل سطحي ; تكامل حجمي ; جاكوبي

حساب التفاضل (بالإنجليزية: Differential calculus)‏ هوفرع من فروع الرياضيات يندرج تحت حساب التفاضل والتكامل (Calculus)، يختص بدراسة معدل تغير دالة ما (y = ƒ(x بالنسبة للمتغير المستقل (x). أول المسائل التي يعني هذا الفرع الرياضي بدراستها هوالاشتقاق. مشتقة الدالة (y = ƒ(x عند نقطة ما تصف السلوك الرياضي والهندسي للدالة عند هذه النقطة أوعند النقاط القريبة جدًا منها، والمشتقة الأولى للدالة عند نقطة معينة تساوي قيمة ميل المماس للدالة عند هذه النقطة، وبصفة عامة فإن المشتقة الأولى للدالة عند نقطة معينة تمثل أفضل "تقريب خطي" للدالة عند هذه النقطة.

عملية إيجاد المشتقات تسمى "التفاضل"، والنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل تنص على حتى التفاضل هوالعملية العكسية للتكامل، تماماً كما تعد عمليتا القسمة والطرح عمليتين عكسيتين للضرب والجمع على التوالي.

للتفاضل تطبيقات متعددة، ففي الفيزياء مثلا: المعدل الزمني للتغير في إزاحة جسيم متحرك هي سرعة الجسيم والمعدل الزمني للتغير في الإزاحة هوتفاضلها بالنسبة للزمن، أما تفاضل السرعة بالنسبة للزمن فيعطي العجلة، وللتفاضل أهمية أيضًا في قوانين نيوتن فالقانون الثاني ينص على حتى القوة هي المعدل الزمني للتغير في كمية التحرك (أي تفاضل كمية التحرك بالنسبة للزمن)، كذلك من تطبيقاته إيجاد معدل التفاعل لتفاعل كيميائي، وفي بحوث العمليات تحدد المشتقات أوالتفاضلات الطرق المثلى لتصميم المصانع ونقل المواد أوالخامات أوالمنتجات.

تستخدم المشتقات في إيجاد القيم العظمى والصغرى للدالة. المعادلات التي تتضمن تفاضلات (مشتقات) تسمى المعادلات التفاضلية، وهي من المعادلات الأساسية والهامة في توصيف الظواهر الطبيعية. تظهر المشتقات في الكثير من مجالات الرياضيات كالتحليل العقدي، والتحليل الدالي، والهندسة التفاضلية، ونظرية القياس، والجبر المجرد.

المبدأ

يعتمد التفاضل على إيجاد معادلة لإيجاد الميل عند نقطة معينة عن طريق تقليل الفرق بين التغير في قيم س إلى صفر تقريبا وهذا هوالاشتقاق

إذ حتى قاعدة الميل هي: Δص\Δس ( ${\displaystyle m={\Delta y \over \Delta x$ )

إذن Δس تؤول إلى صفر ( ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0$ )

أي حتى س₂-س₁---->صفر ( ${\displaystyle x_{2 -x_{1 \rightarrow 0$ ) أي حتى س2---->س1 ( ${\displaystyle x_{2 \rightarrow x_{1$ )

وبما حتى Δس لا تساوي صفر ولكن تقترب منها فإن القيمة لا تصبح غير فهم ( ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0$ )

أي حتى Δ ص/Δ س: Δس---->صفر ( ${\displaystyle {\Delta y \over \Delta x \Longrightarrow \Delta x\rightarrow 0$ )

= ص₂ - ص₁/س₂ - س₁ : س₂---->س₁ ( ${\displaystyle \Longrightarrow {y_{2 -y_{1 \over x_{2 -x_{1 \Longrightarrow x_{2 \rightarrow x_{1$ )

= ق(س₂) - ق(س₁)/س₂ - س₁ : س₂---->س₁ ( ${\displaystyle \Longrightarrow {f(x_{2 )-f(x_{1 ) \over x_{2 -x_{1 \Longrightarrow x_{2 \rightarrow x_{1$ )

ومن هنا نستنتج حتى الاشتقاق هوميل مماس نقطة معينة في المنحنى، ونستنتج أيضا حتى المماس ليس مارا

بنقطة واحدة، وإنما بنقطتين البعد السيني بينهما قريب جدا من الصفر أي أنه يؤول إلى الصفر وتخط صيغة الإشتقاق كالآتي:

{\displaystyle f'(x)={\frac {dy {dx =\lim _{\Delta \mathbf {x \to 0 {\frac {f(x+\Delta \mathbf {x )-f(x) {\Delta \mathbf {x .

طريقة الحل

نقوم بالاشتقاق معتمدين على حساب النهايات وفرض متغيرات مختلفة، فمثلًا:

كمتغيرات:

Δس = س₂ - س₁

س₁ = س₂ - Δس

س₂ = Δس + س₁

ونفرض Δس = هـ

أويمكننا فرض س₂ = ج

ونقوم بدلًا من كتابة ص بكتابة ق(س)

أي حتى المعادلة النهائية هي:

ق(س₂) - ق(س₁)\س₂ - س₁ : س₂---->س₁ = ق(س + هـ) - ق(س)\هـ : هـ----> صفر = ق(ج) - ق(س)\ج - س : ج----> س₁

مثال

أوجد مشتقة س²

وحسب القانون : ق(س+هـ)-ق(س)\هـ : هـ ----> صفر

ونعوض في المعادلة

س²+2س هـ+هـ²-س²\هـ : هـ---->صفر

نحل المعادلة

س²-س²+هـ(2س+هـ)\هـ : هـ---->صفر

= هـ(2س+هـ)\هـ : هـ---->صفر

= 2س+هـ : هـ---->صفر

= 2س

وعملا مشتقة س² = 2س

وكقاعدة عامة، فإن مشتقة أي كثير حدود درجته أكبر من صفر هي:

ق(س) = أس^ع+ب س^(ع-1)+...+ج

قَ(س) = (أ×ع)س^(ع-1)+(ب(ع-1))س^(ع-2)+...+0

الاشتقاق الضمني

هذا الاشتقاق يعمد إلى إيجاد ميول المماسات في الاقترانات التي ليست اقترانات، حيث يعجز الاشتقاق العادي عنها.

فتمثيل الاشتقاققد يكون ب (دص\دس) تمثيلا لكتابة ص بواسطة س، أي حتى ص = أس^ع+وس^ك+...

أي حتى قيمة ص تحدد بقيمة س

وإذا أخذنا الاشتقاق (دس\دص) فإننا وقتها نعتبر قيمة س تتغير وفقا ل ص

أي حتى س = أص^ع+وص^ك+...

إذن دص\دس تعبر عن ق(س) وكذلك دس\دص يعبر عن د(ص)

ودائما يتغير المتغير الذي في الأعلى ويبقى الذي في الأسفل ثابتا.

..

مثال

إذا أردنا إيجاد دص\دس ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d y {\mathrm {d x \right)$ في الاقتران

ق(س) = س³+3س²-2س+4 ( ${\displaystyle f(x)=x^{3 +3x^{2 -2x+4$ )

قَ(س) = 3س²+6س-2 ( ${\displaystyle f'(x)=3x^{2 +6x-2$ )

وهذا وفقا لتعميم

والحل بالطريقة الجديدة

قَ(س) = 3س²(دس\دص)+6س(دس\دص)-2(دس\دص)

وبما حتى دس\دص= 1 فإنها لا تؤثر على النتيجة ويكون الجواب النهائي : قَ(س) = 3س²+6س-2

النهايات

إن المبدأ الأساسي لحساب التفاضل وكذلك لحساب التكامل المحدد يعتمد اعتمادا كبيرا على فكرة النهايات ولقد ابتدع جميع من إسحاق نيوتن وجوتفريد ليبنتز العلاقة بين التفاضل والتكامل ومن ثم فإليهما يرجع الأساس في اكتشاف فهم التفاضل والتكامل وتجدر الإشارة إلى حتى جهودهما كانتا منفصلتان جميع عن الآخر لذلك فقد ساهم جميع منهما مساهمة كبيرة في اكتشاف وتطور هذا الفهم.

مراجع

^ Sabra, A I. (1981). Theories of Light: From Descartes to Newton. Cambridge University Press. صفحة 144. ISBN .
^ Bhaskaracharya II. نسخة محفوظة 01 سبتمبر 2016 على مسقط واي باك مشين.
^ Broadbent, T. A. A.; Kline, M. (October 1968). "Reviewed work(s): The History of Ancient Indian Mathematics by C. N. Srinivasiengar". The Mathematical Gazette. 52 (381): 307–8. doi:10.2307/3614212. JSTOR 3614212