نهاية (رياضيات)

مواضيع في التفاضل والتكامل
حساب التفاضل
	اشتقاق; حساب المتغيرات; تفاضل ضمني ; مبرهنة تايلور ; معدلات مرتبطة ; متطابِقات; قواعد: ; قاعدة القوة، قاعدة الضرب،; قاعدة ناتج القسمة، قاعدة التسلسل
حسبان تكاملي
	تكامل; قائمة التكاملات ; تكاملات معتلة ; تكامل ريمان; تكامل متعدد; التكامل بواسطة: ; التجزئة، الأقراص، الأسطوانية، التعويض،; التعويضات المثلثية،; الكسور الجزئية، تغيير الرتب
حساب المتجهات
	تدرج ; تباعد ; تدور (إلتواء) ; لابلاسي ; مبرهنة التدرج ; مبرهنة غرين ; مبرهنة ستوكس ; مبرهنة التباعد
حساب متعدد المتغيرات
	حسبان المصفوفات ; اشتقاق جزئي ; تكامل متعدد ; تكامل خطي ; تكامل سطحي ; تكامل حجمي ; جاكوبي

النهاية (بالإنجليزية: Limit)‏ أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات ، وبشكل خاص في التفاضل والتكامل والتحليل الرياضي , ويقصد بها حتى متغير ما تابع لمتغير آخر تقترب قيمته اعتباطيا من ثابت ما لأن المتغير الآخر يتغير بطريقة محددة.

تكمن أهمية النهاية في أنها تستعمل لتعريف مفاهيم أساسية أخرى في الرياضيات مثل: الاستمرارية والاشتقاقية والتكامل .

التاريخ

نشأ مفهوم النهاية في إطار الحاجة لحساب الأطوال والمساحات والأحجام لأشكال مثل الدائرة والكرة، ويعد مفهوم النهاية تطويرا لطريقة الاستنفاذ التي عهدها اليونانيون القدماء والتي استخدمها أرخميدس لحساب مساحة الدائرة.

نهاية دالة

تعريف: نقول ان لدالة ${\displaystyle L$

ونخط هذا على الشكل: ${\displaystyle \lim _{x\to a f(x)=L$ .

ويجدر الذكر هنا حتى المساوة في الشكل اعلاه غير حقيقة وتخط اصطلاحا فقط لسهولتها والاًصل هو: ${\displaystyle \lim _{x\to a f(x)\rightarrow L$

في عام 1821م قدم العالم أوغستين لوي كوشي متبوعا كارل ويرستراس تعريفا رسميا وأكثر دقة لنهاية وهوما يعهد الان لنهاية .

نهاية متتالية

نقول حتى المتتالية ${\displaystyle u_{n$ العددية تقبل العدد الحقيقي ${\displaystyle L$ كنهاية إذا وفقط إذا كان جميع مجال مفتوح يضم ${\displaystyle L$ يضم أيضا جميع حدود المتتالية ابتداء من رتبة معينة ونخط : ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty u_{n =L$ أونخط : ${\displaystyle \lim u_{n =L$ ( حيث حتى النهاية لا تحسب إلا عند ${\displaystyle +\infty$ ) .

ويتلخص مفهوم النهاية في أنه طريقة لإيجاد القيمة التي يجب حتى يأخذها متغير تابع عندما يؤول المتغير المستقل إلى قيمة معينة، وذلك حتى عندما يتعذر حساب المتغير التابع مباشرة من قواعد الحساب والجبر.

كمثال: ما القيمة التي يصل إليها المقدار ${\displaystyle \sin(x)/x$ عندما تؤول ${\displaystyle x$ إلى الصفر؟

من الواضح حتى التعويض المباشر في هذه الصيغة يعطي خارج قسمة صفر على صفر، وهي كمية غير معينة، لذلك نلاحظ حتى المقدار ${\displaystyle \sin(x)/x$ أقل من الواحد السليم وأكبر من ${\displaystyle \cos x$ لأي قيمة للمتغير ${\displaystyle x$ قريبة من الصفر، وحيث حتى ${\displaystyle \cos(0)=1$ فإننا نستنتج حتى نهاية المقدار ${\displaystyle \sin(x)/x$ هي الواحد.

مثال آخر: فإذا افترضنا حتى المتغير المستقل س معهد على المجال المفتوح ]+1,+2[ واقتربت س من منتصف المجال +1.5 دون حتى تصل لها، ورافق ذلك حتى الدالة تا(س)= س - 1.5 تقترب نتيجة ذلك من القيمة ولنقل (0) فهذا يعني حتى نهاية التابع تا(س) هي 0 عندما تقترب س من القيمة +1.5.

إذا افترضنا حتى الدالة ${\displaystyle f$ فهم على المجال المفتوح الذي يحتوي العدد ${\displaystyle c$ وكان ${\displaystyle L$ من مجموعة الأعداد الحقيقية:

وكان من أجل أي عدد ${\displaystyle \varepsilon >0$ يوجد عدد ${\displaystyle \delta >0$ بحيث يتحقق الشرط:

مهما كانت ${\displaystyle x$ ضمن المجال فإن:

${\displaystyle 0<|x-c|<\delta \$ فإن هذا يقتضي حتى ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon \$ .

لنفترض حتى الدالة (f(x هي دالة حقيقية وأن c عدد حقيقي أيضا:

عندئذ نقول:

{\displaystyle \lim _{x\to c f(x)=L

مما يعني حتى الدالة ${\displaystyle f(x)$ تكون قريبة جدا حسبما نريد من ${\displaystyle L$ عندما تقترب ${\displaystyle x$ من العدد ${\displaystyle c$ ونعبر عن ذلك لغة (أن نهاية ${\displaystyle f(x)$ , عندما تقترب ${\displaystyle x$ من ${\displaystyle c$ , هي ${\displaystyle L$ ).

مراجع

↑ "Encyclopedia of Mathematics". ISBN . مؤرشف من الأصل في 18 أبريل 2019.
^ محمد, سويقات; حسن, خليفة (2016). محاضرات من مقرر الرياضيات. http://au.edu.sy/images/courses/biomedical/1-2/77_math-2.pdf. سوريا: جامعة الأندلس الخاصة للعلوم الطبية. صفحة 1. روابط خارجية في |عمل= (مساعدة)
^ JAMES; STEWART. CALCULUS EARLY TRANSCENDENTALS (باللغة الإنجليزية). Thomson Brooks/Cole. صفحة 88. ISBN تأكد من صحة |isbn= القيمة: length (مساعدة).
^ Judith V; Grabiner. "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus". Mathematical Association of America: 185–194. مؤرشف من الأصل في 24 يوليو2019.
^ مراد, محمد فاتح (2007). . الثاني. الجزائر: الديوان الوطني للمطبوعات المدرسية. ISBN . مؤرشف من الأصل في 04 سبتمبر 2019.