تدرج (رياضيات)

مواضيع في التفاضل والتكامل
حساب التفاضل
	اشتقاق; حساب المتغيرات; تفاضل ضمني ; مبرهنة تايلور ; معدلات مرتبطة ; متطابِقات; قواعد: ; قاعدة القوة، قاعدة الضرب،; قاعدة ناتج القسمة، قاعدة التسلسل
حسبان تكاملي
	تكامل; قائمة التكاملات ; تكاملات معتلة ; تكامل ريمان; تكامل متعدد; التكامل بواسطة: ; التجزئة، الأقراص، الأسطوانية، التعويض،; التعويضات المثلثية،; الكسور الجزئية، تغيير الرتب
حساب المتجهات
	تدرج ; تباعد ; تدور (إلتواء) ; لابلاسي ; مبرهنة التدرج ; مبرهنة غرين ; مبرهنة ستوكس ; مبرهنة التباعد
حساب متعدد المتغيرات
	حسبان المصفوفات ; اشتقاق جزئي ; تكامل متعدد ; تكامل خطي ; تكامل سطحي ; تكامل حجمي ; جاكوبي

في الصورتين أعلاه، الحقل القياسي باللونين الأسود والأبيض والحقل المتجهي باللون الأزرق. اللون الأسود يعبر عن قيم عالية. والأسهم الزرقاء تمثل التدرج اللقاء.

في حساب المتجهات ، التدرج ورمزه ${\displaystyle \nabla$

الصيغة الرياضية

يحسب تدرج حقل قياسي في الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد وفقا لما يلي:

{\displaystyle \nabla f(x,y,z)=\left({\frac {\partial f {\partial x ,{\frac {\partial f {\partial y ,{\frac {\partial f {\partial z \right)

أما في الإحداثيات القطبية فوفقا للتالي:
${\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial r {\boldsymbol {\hat {r +{1 \over r {\partial f \over \partial \theta {\boldsymbol {\hat {\theta +{1 \over r\sin \theta {\partial f \over \partial \phi {\boldsymbol {\hat {\phi$

وفي الإحداثيات الإسطوانية
${\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial \rho {\boldsymbol {\hat {\rho +{1 \over \rho {\partial f \over \partial \phi {\boldsymbol {\hat {\phi +{\partial f \over \partial z {\boldsymbol {\hat {z$

أما في الإحداثيات الكروية
${\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial r {\boldsymbol {\hat {r +{1 \over r {\partial f \over \partial \theta {\boldsymbol {\hat {\theta +{1 \over r\sin \theta {\partial f \over \partial \phi {\boldsymbol {\hat {\phi$

العمليات على المتجهات

يدرس التفاضل الشعاعي الكثير من العمليات التفاضلية فهم في الحقل الشعاعي أوالسلمي، والتي يعبر عنها غالباً على شكل معامل نابلا ( ${\displaystyle \nabla$ ). العمليات الرئيسية الأربعة في التفاضل الشعاعي هي:

العملية	الترميز	الوصف	المجال
تدرجGradient	${\displaystyle \operatorname {grad (f)=\nabla f$	تقيس معدل وجهة التغير في الحقل السلمي.	تسقط الحقل السلمي على الحقل الشعاعي.
تدورCurl	${\displaystyle \operatorname {curl (\mathbf {F )=\nabla \times \mathbf {F$	يقيس قابلية الدوران حول نقطة في الحقل الشعاعي.	يسقط الحقل الشعاعي على الحقل الشعاعي.
تباعدDivergence	${\displaystyle \operatorname {div (\mathbf {F )=\nabla \cdot \mathbf {F$	يقيس ميل المصدر أوالمصرف عند نقطة معينة في الحقل الشعاعي.	يسقط الحقل الشعاعي على الحقل السلمي.
لابلاسيLaplacian	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2 f=\nabla \cdot \nabla f$	مركب من عمليتي التشعب والتغير.	يسقط الحقل السلمي على الحقل السلمي.

مراجع

^ "معلومات عن تدرج (رياضيات) على مسقط mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 12 يوليو2019.
^ "معلومات عن تدرج (رياضيات) على مسقط britannica.com". britannica.com. مؤرشف من الأصل فيثمانية سبتمبر 2015.
^ "معلومات عن تدرج (رياضيات) على مسقط wikiskripta.eu". wikiskripta.eu. مؤرشف من الأصل في 14 ديسمبر 2019.