عاملي

في الرياضيات، المضروب أوالعاملي لعدد سليم طبيعي n ، والذي يخط n!، والذي يقرأ "عاملي n"، هوجذاء الأعداد السليمة الموجبة بترا والأصغر أوتساوي n. ويخط :

{\displaystyle n!=\prod _{i=1 ^{n i=1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1)\times n

أمثلة :

1! = 1
2! = 1 x 2 = 2
3! = 1 x 2 x ثلاثة = 6
10! = 1 x 2 x ثلاثة x أربعة xخمسة xستة xسبعة xثمانية xتسعة xعشرة = 3628800

وتعريف العاملي على شكل جذاء يترتب عنه كون 0! = 1 ذلك حتى 0! جذاء مفرغ، وبمعنى آخر مقتصر على العنصر المحايد في عملية الضرب.

ويلعب العاملي دورا أساسيا في فهم الإحتمالات والتراتيب بما أنه يوجد n! طريقة مختلفة لتوزيع n شيئا. ويظهر العاملي في عدة معادلات رياضية، مثل سيغة الثنائي لنيوتن وصيغة تايلور.

وتعطينا صيغة ستيرلينع مساويا لـ n! عندما تكون n كبيرة :

{\displaystyle \lim _{n\to +\infty {\frac {n! {{\sqrt {2\pi n (n/e)^{n =1.

عاملي عدد غير سليم

لكل عدد سليم n، لدينا ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!$ حيث Γ هي دالة أولير (دالة غاما) وxcxzczxccعها ليونارد أولير. وتمكننا دالة أولير من تعميم العاملي على مجموعة الأعداد المركّبة باستثناء الأعداد السالبة بترا. وفي النهاية نجد :

{\displaystyle \Gamma (z+1)=\int _{0 ^{\infty t^{z e^{-t \,\mathrm {d t=z!\ \forall z>-1

البرمجة

يمكن حساب عاملي عدد ما باستعمال خوارزميات الرجوع. فلنخط باستعمال لغة Scheme، القريبة من لغة Lisp، برنامجا رجعيّا يعطينا عاملي عدد سليم :

(define fact
  (lambda (x)
    (if (= x 0) 1
      (* x (fact (- x 1))))))

وهذا البرنامج السابق غير مفيد في حالة الاعداد الكبيرة.

وبنفس الطريقة في Caml :

let rec fact n = 
  match n with
    | 0 -> 1
    | _ -> n * fact(n-1)
;;

وبطريقة أخرى:

let fact n =
  let rec aux n r =
    match n with
      | 0 -> r
      | _ -> aux (n-1) (n*r)
  in
  aux n 1
;;

وفي لغة سي:

int factorielle_recursive(int n)
{
  if (n == 0)
    return 1;
  else
    return n * factorielle_recursive(n-1);

وبطريقة أخرى:

int factorielle_iterative(int n)
{
  int res;
   
  for (res = 1; n > 1; n--)
    res *= n;
   
  return res;

وفي لغة Python:

fact = lambda x : x>0 and x*fact(x-1) or 1

----------------------------------------------------

الاستعمال :
for i in range(10):
    print "fact %d = %d" %(i, fact(i))

ويظهر على الشاشة :
fact 0 = 1
fact 1 = 1
fact 2 = 2
fact ثلاثة = 6
fact أربعة = 24
factخمسة = 120
factستة = 720
factسبعة = 5040
factثمانية = 40320
factتسعة = 362880

هذه الدوال (البرامج) لا تمكننا من حساب عملي أعداد أكبر من 12 إذا كانت الاعداد السليمة محدودة بـ 32 بت، لأن النتيجة تتعدى المساحة المتوفرة.