المرشحات وتمثيل بود

يعد تمثيل بود أساسيا في فهم العلاقة بين ولج الدارة وخرجها من أجل التواترات المتنوعة للتيار. سنحاول بداية دراسة العلاقة بين ولج دارة وخرجها من خلال تابع النقل، ثم سننتقل بعدها لدراسة تفصيلية لمخططات بود.

استجابة دارة RC تسلسلية

لتكن لدينا دارة RC المبينة في الشكل. نطبق على مدخل هذه الدارة فلطية جيبية نبضها وسعتها العظمى Vi بحيث:

وبشكل عقدي:

سنحاول الآن إيجاد استجابة الدارة أي الفلطية بين طرفي المكثفة vc، بدلالة الدخل vi.

نفهم حتى الاستجابة ستكون أيضا تابعا جيبيا من الشكل:

وبشكل عقدي:

يمكننا الحصول على vo بسهولة من خلال تطبيق قانون مجزئ الفلطية:

الآن لنتحدث عما يسمى بتابع النقل. هوفي الحقيقة التابع الموضوع بين قوسين أعلاه، فهويعبر عن نسبة إشارة الخرج العقدية إلى إشارة الدخل العقدية.

إذا في دارة RC المدروسة، سيكون تابع النقل: وهوتابع للنبض المطبق، لذلك فهويمكننا من دراسة نسبة الدخل إلى الخرج من أجل التواترات المتنوعة المطبقة على الدارة.

نلاحظ حتى طويلة تابع التحويل هي نسبة سعة الخرج إلى سعة الدخل، أي:

أما طور تابع التحويل فهوطور إشارة الخرج بعد طرح طور إشارة الدخل. وبما حتى طور الدخل يساوي الصفر، فطور تابع التحويل هونفسه طور إشارة الخرج .

نلاحظ وجود المقدار في علاقة تابع النقل، لذلك ومن أجل التبسيط، سنفرض أن: فيكون:

سنقوم الآن بدراسة جميع من طويلة وطور تابع النقل للدارة RC.

أولا: طويلة تابع نقل الدارة RC

طويلة تابع النقل في هذه الحالة: 

نقوم برسم المخطط البياني لتابع الطويلة. نلاحظ أنه من أجل قيم صغيرة فإن قيمة H قريبة جدا من الواحد، أي حتى سعة فلطية جميع من الدخل والخرج متقاربتان جدا. وهذا تماما ما يحصل عندماقد يكون لدينا تيار مستمر (حيث ) فتلعب المكثفة دور القاطعة، فتكون الفلطية على طرفيها مساوية لفلطية الدخل.

نلاحظ من المخطط أيضا حتى قيم H تتناهى إلى الصفر من أجل تردداتكبيرة جدا. ففي هذه الحالة ستلعب المكثفة دور قاطعة مغلقة لا مقاومة لها (كونها مثالية)، وبالتالي فإن الفلطية بين طرفيها ستكون معدومة، وبالتالي فإن نسبة فلطية الخرج إلى فلطية الدخل هي الصفر.

لهذه الأسباب تسمى الدارة السابقة مرشح تمرير منخفض Low-Pass Filter لأنها تسمح بمرور التيار فقط من أجل التواترات المنخفضة. نسمي الترددتردد البتر، وهوتردد مميز للدارة.

ثانيا: طور تابع نقل الدارة RC

يعطى الطور بالعلاقة:

من الشكل نلاحظ حتى الطور سالب دوما، وهذا يعني حتى إشارة الخرج متأخرة دوما عن إشارة الدخل، ويزداد هذا التأخر بازدياد التردد المطبق على الدارة.

الآن وقد استعرضنا كلا من طويلة وطور تابع النقل فإننا سنتحدث الآن عن تمثيل بود.

تمثيل بود

يُعبر عن طويلة وطور تابع نقل دارة ما بدلالة التردد بالاستجابة الترددية للدارة. يقوم تمثيل بود بتسهيل المقارنة بين الاستجابة الترددية لدارات مختلفة، ومن أجل مجال واسع من الترددات.

ما يميز منحني بود لطويلة طور تابع النقل أي Hdb هوحتى المحور الشاقولي بدلا من حتى يمثل أوفإنه يقوم بتمثيل اللوغاريتم العشري لهما، أي: أو. أما المحور الشاقولي فإنه يقوم بتمثيل قيمة الديسيبل للطويلة، أي اللوغاريتم العشري لها مضروبة بالقيمة 20:

مخطط بود في الحقيقة هومخطط لوغاريتمي. لذلك سنتناول بعض المعلومات السريعة عن المخططات اللوغاريتمية قبل متابعة الحديث عن مخطط بود.

المخطط اللوغاريتمي

هو، كما أشرنا من قبل، المخطط الذي يشير فيه المحور الشاقولي إلى لوغاريتم القيمة بدلا من القيمة ذاتها. ليكن لدينا محورا لمخطط خطي تقليدي يمثل مدى زمني لألف سنة. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 |_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____| لواعتمدنا المخطط اللوغاريتمي لأصبح المحور على الشكل التالي: 1 10 100 1000 |_____________|_____________|______________| 100 101 102 103 ستكون تقسيمات المخطط اللوغاريتمي قوى العدد عشرة (في حال اللوغاريتم العشري)، أي الصفر والواحد والاثنان والثلاثة، هذا سيتيح تمثيلا لعدد أكبر من السنين بتقسيمات أقل. وبالتأكيد فإن أمورا عدة يفترض أن تتغير.

الشيء الأول الذي سيتغير هومواضع التقسيمات، فمن أجل فهم موضع الرقم 2 علينا حتى نقوم بحساب log10 20 فسنجد أنها تقريبا 0.3 أما بالنسبة للرقم أربعة فسنجد حتى قيمة اللوغاريتم هي 0.6. فالقيم كلها تتقارب نحوالعشرة على النحوالمشار إليه في المخطط أدناه.

الشيء الأخير الذي يجب حتى نشير إليه هوحتى شكل المخططات البيانية للتوابع المألوفة لدينا سيكون مختلفا أيضا. وهذا أمر بدهي. فالخط المستقيم في مخطط لوغاريتمي هوالخط البياني لتابع . فكل نقطة من المحور الأفقي ولتكن x، يقابلها قيمة اللوغاريتم لها على المحور الشاقولي. لكن بما حتى النقطة x هي في الحقيقة ، فأصبحت جميع قيمة من المحور الأفقي تقابل نفسها على المحور الشاقولي. يبين الشكل مخططات لبعض التوابع المألوفة.

أما الآن، وقد تحدثنا عن جميع من المخططات اللوغاريتيمية وطويلة تابع النقل وطوره، فسننتقل للحديث عن مخطط بود لتابع النقل.

مخطط بود لطويلة تابع النقل

لقد كان تابع النقل في دارة RC التي تعاملنا معها:

وقمنا بحساب طويلة تابع النقل فوجدناها:

الآن من أجل إيجاد مخطط بود، علينا أولا حتى نحسب طويلة تابع النقل H بالديسيبيل، فنجد:

وبالتالي:

سنقوم باستعراض طريقة لرسم هذا المخطط بشكل تقريبي. حيث سندرس المخطط Hdb من أجل الترددات العالية والترددات المنخفضة.

عند الترددات المنخفضة أي من أجل قيم يمكننا إهمال فيكونHdb بالشكل الآتي:

لذلك نرسم خطا مستقيما Hdb = 0 من 0 وحتى .

عند الترددات المرتفعة أي من أجل قيم يصبح الحد كبيرا بحيث يمكن إهمال الواحد فيمكن عندئذ كتابةHdb بالشكل الآتي:

وبالتالي لدينا الخط البياني:

في الحقيقة هذه المعادلة هي معادلة مستقيم مائل. لاحظ أنه تقدر حتى تنظر إلى حتى تقابل x في معادلة المستقيم ، وبالتالي فإننا نرسم Hdb كمستقيم ميله . الواحدة هنا هي ديسيبيل/ديكيد، والمقصود بالديكيد decade تقسيمة المخطط اللوغاريتيمي أي المسافة بين و، فهذا يعني أنه لوازداد التردد بعشرة أضعاف، فإن التغير في مخطط Hdb سيكون .

للتحقق من ذلك، نقوم بالتعويض في المعادلة بـ فنجد:

من أجل رسم المستقيم، نعوّضHdb = 0 في معادلة المستقيم فنجد حتى وبالتالي فإن . فالمستقيم يبتر المحور الأفقي في النقطة .

لدى مقارنة المستقيمين اللذين قمنا برسمهما مع مخطط بود العملي للدارة Hdb فإنناسنلاحظ أنهما مقارباه. وغالبا ما تستخدم المقاربات بدل التمثيل الحقيقي لمخططات بود.

أشرنا سابقا إلى الميل ذوالواحدة ديسيبيل/ديكيد، والذي يعبر عن مقدار التغير في Hdb عند تغير التردد إلى عشرة أضعافه. لوحاولنا تتبع تغير Hdb عند تغير التردد إلى ضعفه فقط، فإن هذا الميل يقدر بواحدة تسمى ديسيبيل/أوكتاف. ففي مثالنا هذا يمكننا الحصول عليها من خلال التعويض، فنجد:

دراسة خرج الدارة عند المقاومة

سنقوم الآن بدراسة مماثلة لإشارة الخرج الملتقطة بين طرفي المقاومة R.

بتطبيق قانون مجزئ الفلطية، نجد أن

وبالتاليقد يكون تابع النقل للدارة:

فتكون الطويلة: ويكون الطور:

الآن يمكننا حتى نخط تابع النقل بالديسيبيل:

عند الترددات المنخفضة يمكننا إهمال 1 أمامفيكون Hdb بالشكل الآتي:

أي

إذا لدينا مستقيم ميله يبتر المحور الأفقي في النقطة .

عند الترددات المرتفعة نلاحظ أنه يمكننا إهمال النسبة أمام الواحد، فيمكن عندئذ كتابةHdb بالشكل الآتي:

ندعوهذه الدارة مرشح تمرير عالي. وها هوتمثيل بود للدارة.

ومن أجل رسم طور تابع النقل، نلاحظ حتى من أجل الترددات المنخفضة، ومن أجل الترددات العالية، لذلك يتم تمثيل التابع وفق الشكل التالي:

بعد استعراض هذين المثالين، أصبح في مقدورك الحصول على تمثيل بود لأي دارة، بمجرد فهم تابع النقل لها. وهذه بعض النماذج نهجرك لتتحقق من صحتها بنفسك!

ملف:Bode1.png

ملف:Bode2.png

ملف:Bode3.png

ملف:Bode4.png

ملف:Bode5.png

المرشح الكهربائي المطاوع

هوتعبير عن دارة كهربائية مكونة من عناصر كهربائية مطاوعة فقط (لا تولد الطاقة)، مصممة لتمرير إشارة معينة مرغوبة من بين خليط من الإشارات المرغوبة وغير المرغوبة.

تستخدم كثيرا في مجال الاتصالات حيث غالبا ما نرغب باستقبال أنواع محددة من الإشارات، لذلك يتم تصميم دارات تقوم بتمرير إشارات ترددات ذات تواتر معين، وترفض التواترات الأخرى، قد تكون دارات معقدة كما في التلفاز والمذياع والهاتف الننطق، أودارات بسيطة مثل دارة RC التي استعرضناها في المحاضرة السابقة. لهذا السبب فإن أجهزة الراديوالعادية لا تستطيع حتى تستقبل إشارات الراديوالتي تستخدمها الشرطة.

هذه مخطط لطويلة تابع النقل لمرشح تمرير منخفض، فهويقوم بتمرير الإشارات ذات التواتر المنخفض فقط.

بينما يقوم مرشح التمرير العالي بتمرير الإشارات ذات التواتر العالي فقط.

هنا يقوم مرشح تمرير حزمة بتمرير الإشارات التي ينتمي تواترها إلى مجال معين بينما يستبعد سائر الحزمة الأخرى.

أما مرشح رفض حزمة يقوم يمنع الإشارات التي ينتمي تواترها إلى مجال معين من المرور بينما يسمح لسائر الإشارات الأخرى.

دراسة استجابة RC واقعية

في المحاضرة السابقة قمنا بدراسة استجابة دارة RC مثالية، حيث لا توجد مقاومة للمكثفة. الآن سندرس استجابة المقاومة طالما وجود مكثفة لها مقاومة. وهذا يكافئ وجود مقاومة موصولة على التسلسل مع المكثفة.

نفهم حتى استجابة الدارة من الشكل: أوعقديا:

بتطبيق مجزئ الفلطية نجد حتى فرق الكمون بين طرفي المقاومة هو:

وبالتالي وإذا فرضنا حتى فسيكون تابع النقل على الشكل الآتي:

الآن نستطيع حتى نحصل على جميع من طويلة تابع النقل وطوره:

و

إذا سيكون Hdb على الشكل الآتي:

لورجعنا إلى Hdb لدارة RC المثالية في المحاضرة المادية، لوجدنا حتى الفرق هووجود الحد الإضافي الذي لا يتعلق بالنبض فهومقدار ثابت، وبالتالي فإن مخطط بود الجديد سينتج عن القديم بانسحاب على المحور الشاقولي.

بما حتى المقدار مقدار أصغر من الواحد، فإن لوغاريتم هذا المقدار سيكون سالبا، وبالتالي فإن انسحاب مخطط بود سيكون نحوالأسفل.

وهذا هوالمخطط الجديد الذي ينتج عن مجموع الحدين المشكلين لـ Hdb :

ملف:Real rc bode.png