التحليل التوليفي

التحليل التوليفي combinatorial analysis هوذلك الفهم الذي يفهم المسائل التي تنجم عن السؤال: بكم طريقة يمكن إنجاز عملية ما، خاضعة لشروط محدّدة،يا ترى؟ ففي مجال الكيمياءقد يكون السؤال مثلاً: بكم طريقة يمكن حتى يتّحد عدد معين من ذرّات الهدروجين مع عدد آخر من ذرات الفحم ضمن شروط مُحَدَّدة؟ وفي مجال الفيزياءقد يكون السؤال: بكم طريقة يمكن إجراء توصيلات كهربائية بين مجموعة من المفاتيح ومجموعة من المصابيح؟ وغالباً ما يؤول كثير من هذه المسائل إلى بعض النماذج الرياضية التي تُسَهِّل الإجابة عن هذه الأسئلة المعقّدة. ويمكن البدء بسؤال بسيط: كم عدد الحدثات المتنوعة التي يمكن تشكيلها من مجموعة الحروف (ح، ل، م)؟ يمكن الإجابة بسهولة عن هذا السؤال، وكتابة الحدثات التي يمكن تشكيلها وهي ست حدثات مختلفة: حلم، حمل، لحم، لمح، ملح، محل

ولكن لوتمّ إنعام النظر والتدقيق في هذا السؤال لَمَا تمّ التوقف عند هذه الإجابة ولتطلّب الأمر صياغة أكثر دقة لهذا السؤال، ولإيضاح ذلك يُنظر في التساؤلات الآتية: 1ـ هل تدخل الحدثات حل، لم، مل في عداد الحدثات التي يمكن تشكيلها من مجموعة الحروف المحددة؟ 2ـ هل تدخل الحدثات حلل، لملم، حمم، في عداد الحدثات التي يمكن تشكيلها من مجموعة الحروف المحددة؟ 3ـ هل تدخل الحدثات محلل، محلحل، محمل في عداد الحدثات التي يمكن تشكيلها من مجموعة الحروف المحددة؟ 4ـ هل تدخل الحدثات حَمَلْ، حِمْلْ، حَمَّلَ، حَمَلَ، حُمِّلَ، في عداد الحدثات التي يمكن تشكيلها من مجموعة الحروف المحددة؟

تبين جميع هذه التساؤلات أنه يجب حتى تكون هناك قاعدة أوعدّة قواعد واضحة تماماً يجرب على أساسها الإجابة الدقيقة عن جميع هذه التساؤلات على نحولا يحتمل اللَّبس أوالتأويل. فلوكانت القاعدة هي عدم الاقتصار على حرفين من مجموعة الحروف عند تكوين الحدثات، لوجب صياغة السؤال المطروح على النحوالآتي: كم عدد الحدثات المتنوعة التي يمكن تشكيلها من جميع حروف المجموعة (ل، ح، م)،يا ترى؟ هذا يعني حتى حل، لم، مل، حلل، لملم، حمم لا تدخل في عداد الحدثات المقصودة بالسؤال. وإذا كانت القاعدة عدم السماح بتكرار حرف من حروف المجموعة (ل، ح، م)، وَجَبَ ذكر ذلك في نص السؤال المطروح، وعندئذٍ لا تدخل الحدثات محلل، محلحل، محمل، في عداد الحدثات المقصودة بالسؤال. ولكن ماذا عن الحدثات حَمَلْ، حِمْلْ، . ......،يا ترى؟ هل هذه الحدثات مختلفة أصلاً،يا ترى؟ بمعنى هل تعد الحدثة مختلفة عن حدثة أخرى إذا اختلفت حركات حروفها،يا ترى؟ أم حتى الشكل لا يؤخذ في الحسبان؟

لابد إذن من اعتماد قاعدة يجري في ضوئها تحديد كون الحدثة مختلفة عن الأخرى، فإذا لم يؤخذ التشكيل هنا في الحسبان فإن الحدثات حَمَلْ، حِمْلْ، حَمَّلَ،....... غير مختلفة وتمثلها حدثة واحدة بدون شَكْل هي (حمل). ويجري أحياناً تحديد الاختلاف أوعدمه بين حدثتين بحسب الحروف الداخلة في تكوين الحدثتين، إذ يمكن حتى لا تعدّ الحدثتان مختلفتين إلا إذا اختلف حرف أوأكثر من الحروف الداخلة في تكوينهما، إلى غير ذلك، ووفقاً لهذه القاعدة، فإن الحدثات حلم، ملح، لحم، محل، لمح، محلل، ملمح، مملح،..... ليست مختلفة وتمثلها حدثة واحدة هي مثلاً: ملح، ويكون عدد الحدثات المتنوعة التي يمكن تشكيلها من الحروف [ح، ل، م] يساوي الواحد. أما إذا كان السؤال: ما عدد الحدثات المتنوعة التي يمكن تشكيلها من حرفين فقط من المجموعة {ح، ل، م ،يا ترى؟ فإنه في هذه الحالة أيضاً لابد من تحديد قاعدة تمكننا من الحكم على حدثتين بأنهما مختلفتان أومتشابهتان، كما لابد من التصريح بالسماح بتكرار الحرف أوعدمه.

وخلاصة القول فإن أحد أبرز مهام التحليل التوليفي، هوالبحث عن حل للمشكلة الآتية: لتكن مجموعة مؤلفة من ن عنصراً مختلفاً، ما عدد الحدثات التي يمكن توليفها من ر عنصراً منها، بفرض ر ≤ ن. عند الإجابة عن هذا السؤال تظهر حالات متعدِّدة تنتج عن السماح بتكرار العنصر أوعدمه، وبالتعريف الدقيق لاختلاف حدثة عن أخرى.

ملاحظة: مع حتى العناصر المتنوعة التي يراد استخدامها ليست بالضرورة حروفاً، فقد جرت المحافظة على الحدثة (حدثة) للدلالة على المجموعة التي يجري تأليفها من هذه العناصر. إلى غير ذلك لوكانت العناصر المستخدمة هي المجموعة {أزرق، أحمر، أصفر، أبيض فإن التشكيل (أزرق، أحمر، أصفر) حدثة، كما يسمى التشكيل (أصفر، أحمر، أبيض) حدثة...

التجميع دون تكرار grouping without repitition

لتكن لدينا مجموعة عناصر مختلفة عددها ن، والمطلوب فهم عدد الحدثات التي يمكن تشكيلها من ر عنصراً مع عدم السماح بتكرار أي عنصر.

<nowiki> مثال: كم حدثة مكونة من ثلاثة رموز يمكن حتى تُؤلِّف من مجموعة الرموز على ألا يتكرر أي رمز في الحدثة الواحدة،يا ترى؟ يبقى هنا التباس وحيد: هل يُعدّ حدثة مختلفة عن ،يا ترى؟ لابد هنا حتى نحدد تماماً معنى حدثة (مختلف)، الأمر الذي يؤدي إلى دقة الإجابة عن السؤال المطروح، كما أنه يؤدي إلى نوعين من تشكيل الحدثات.

1ـ الترتيب البسيط simple arrangement: وهوالحدثة التي تؤلف من عناصر مختلفة عددها ر، على حتى يؤخذ الترتيب في الحسبان، ويُعبَّر عن ذلك بطريقة أدق كما يلي: الترتيب البسيط هوحدثة مؤلفة من عناصر مختلفة عددها ر بحيث تتحقق الخاصتان التاليتان:

(آ) تختلف الحدثتان المؤلفتان من ر عنصراً إذا اختلف عنصر واحد على الأقل في إحداهما عن جميع العناصر المؤلفة للحدثة الثانية.

(ب) تختلف الحدثتان المؤلفتان من ر عنصراً إذا اختلف ترتيب العناصر التي تحويها جميع من الحدثتين. مثال: الحدثة مختلفة عن ، كما حتى جميع الحدثات مختلفة على الرغم من احتوائها العناصر نفسها، وذلك بسبب اختلاف ترتيب العناصر الداخلة فيها. والسؤال ما عدد التراتيب البسيطة التي يمكن تأليفها من ثلاثة رموز من مجموعة الرموز الخمسة المعطاة؟ للإجابة عن هذا السؤال، إذا فُرض وجود ثلاثة صناديق مرصوفة بوضع أفقي، فإنه يمكن ملء الصندوق الأول برمز من هذه الرموز بخمس طرائق، إذ يوضع فيه أي واحد من مجموعة الرموز المعطاة، بعد ملء الصندوق بواحد من العناصر الخمسةقد يكون عدد العناصر المتبقية أربعة عناصر تعطي أربعة إمكانات لملء الصندوق الثاني، وأخيراً يبقى ثلاثة رموز، تعطي ثلاثة إمكانات لملء الصندوق الثالث والأخير. إلى غير ذلك فإن ملء الصندوق الأول يجري بخمس طرائق، وكل كيفية تقابل أربع طرائق لملء الصندوق الثاني، وكل طريقة من الطرائق الأربع تقابل ثلاث طرائق لملء الصندوق الثالث، ويكون عدد الطرائق المتنوعة لملء الصناديق الثلاثة هو5×4×3=60 هوفي الواقع عدد التراتيب البسيطة التي يمكن تأليفها من ثلاثة رموز من مجموعة الرموز الخمسة المعطاة. وفيما يلي بعضٌ من هذه التراتيب البسيطة:

يُبرهن على حتى عدد التراتيب البسيطة التي يمكن تأليفها من ر من العناصر المتنوعة المأخوذة من مجموعة عناصر مختلفة عددها ن هو ت (ن، ر) = ن (ن - 1) (ن - 2) ... (ن - ر+ 1) حيث ت (ن، ر) هورمز لعدد التراتيب البسيطة. إلى غير ذلك فإن ت (5، 3) =خمسة ×4 × ثلاثة =60

2ـ التبديل البسيط simple sermutation: إذا كان عدد العناصر التي تؤلف منها الحدثة في الترتيب البسيط يساوي عدد الرموز المعطاة، فإن الحدثة في هذه الحالة تسمى «تبديلاً بسيطاً». إلى غير ذلك فإن التشكيل oΔ* في المثال السابق ليس تبديلاً بسيطاً وإنما هوترتيب بسيط. أما التشكيل * o Δ ^ T مثلاً فهوتبديل بسيط، ويختلف التبديلان البسيطان إذا اختلف ترتيب عناصرهما.

ويبرهن حتى عدد التباديل البسيطة التي يمكن تشكيلها من ن من العناصر المتنوعة هو:

ت (ن، ن) = ن (ن - 1) (ن - 2) ...3 × 2 × 1

مثال: إذا عدد التباديل البسيطة التي يمكن تكوينها من العناصر الخمسة. هـو:

ت (5، 5) =خمسة × أربعة × ثلاثة × 2 × 1 = 120
3ـ التوليف البسيط simple  combination: وهوالاسم الدال على الحدثة التي تؤلف من ر من العناصر المتنوعة المأخوذة من مجموعة عناصر عددها ن، على ألا يُدْخِل الترتيب في الحسبان. إلى غير ذلك يختلف التوليفان البسيطان إذا اختلف عنصر أوأكثر من العناصر الداخلة في التوليفين.

مثال: إذا هوتوليف سهل من ثلاثة عناصر مأخوذة من المجموعة وهذا التوليف لايختلف عن في حين يختلف عن ويبرهن على حتى عدد التوليفات البسيطة التي يمكن تشكيلها من ر من العناصر المتنوعة المأخوذة من مجموعة عناصر مختلفة عددها ن هو:

حيث ق (ن، ر) هورمز لعدد التوليفات البسيطة. مثال: إذا عدد التوليفات البسيطة التي يمكن تأليفها من ثلاثة عناصر مأخوذة من المجموعة هو

وبالعمل يمكن استعراض هذه التوليفات جميعها فيما يأتي:

ملاحظة: من الواضح حتى عدد التوليفات البسيطة التي يمكن تأليفها من ن من العناصر المتنوعة المأخوذة من مجموعة عناصر عددها ن يساوي الواحد أي

ـ التابع العاملي factorial function من المناسب إدخال رمز مهم يساعد في كتابة التعدادات المتنوعة للحدثات التي يمكن تأليفها من ن من العناصر المتنوعة. يُرمز لحاصل الضرب ن(ن-1) (ن-2)...3×2×1 بالرمز ن! ونسميه دالة العاملي ويُقرأ (ن عاملي) ويُخط:

ويمكن التحقق من أن

وأن

1ـ مفكوك ثنائي الحد (الحدانية) هوالعلاقة:

ويُنْسَب هذا المفكوك عادة إلى نيوتن Newton في حين تفيد المخطوطات حتى العالم العربي محمد بن ابي بكر الكرخي (ت 1020م) قد أوجد طريقة بسيطة للحصول على أمثال مفكوك ثنائي الحد، وهي في حالة التربيع 1 2 1 وفي حالة التكعيب 1 ثلاثة 3 1 وفي حالة الدرجة ن

1، ق (ن، 1)، ق (ن، 2)، ...، ق (ن، ر)، ...، ق (ن، ن)

وقد صممَّ الكرخي للحصول على أمثال المفكوك ما يسمى مثلث الكرخي مع حتى هذا المثلث ينسب خطأ إلى العالم الفرنسي باسكال[ر] Pascal (1623 - 1662) وهوكما يأتي: القوة الأمثال 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 + 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 حيث يجري الحصول على جميع عنصر فيه وفق القاعدة التالية: إذا جمعنا عنصرين متتالين آ وب ( آ يسبق ب) في سطر نحصل على العنصر من السطر التالي الواقع تحت ب مباشرة.

2ـ قانونا الكرخي: ق (ن+1،ر)= ق(ن،ر) + (ن،ر-1) ق(ن،0) + ق(ن،1) + ق(ن،2) +...+ق(ن،ن) =2ن

التجميع مع تكرار

في هذه الحالةقد يكون هناك مجموعة عناصر مختلفة عددها ن والمطلوب فهم عدد الحدثات التي يمكن تأليفها من ر من العناصر مع السماح بتكرار عنصر واحد أوأكثر أي عدد من المرات. إلى غير ذلك لوكانت العناصر المعطاة هي وكان طول الحدثة المطلوب تأليفها من هذه العناصر مساوياً ثلاثة فإن هي حدثة و هي حدثة أيضاً، ولكنها تختلف عن إذا أُخذ الترتيب في الحسبان ولا تختلف عنها إذا أُهمل الترتيب.

1ـ الترتيب مع تكرار: إذا عدد التراتيب التي يمكن تشكيلها من ر عنصراً مأخوذاً من مجموعة عناصر مختلفة عددها ن وبحيث يُسمح بتكرار عنصر أوأكثر يساوي نر مثال: إذا عدد التراتيب التي يمكن تأليفها من المجموعة {1، 2، 3 بحيث يحتوي الترتيب على عنصرين يساوي23=9، وهذه التراتيب في الواقع هي:

11  12  13  21  22  23  31  32  33

2ـ التبديل مع تكرار: عندماقد يكون الترتيب مع تكرار مكوناً من ن من العناصر فإنه يسمى «تبديلاً مع تكرار». مثال: لدينا مجموعة العناصر {1، 2، 3 فإن 331 و121 و222 هي تباديل مع تكرار. يلاحظ هنا حتى عدد عناصر التبديل مع تكرار يساوي عدد عناصر المجموعة التي يؤلف منها التبديل، على حتى يُعدّ التكرارات، إلى غير ذلك يتكوّن التبديل 331 من ثلاثة عناصر مع حتى عدد العناصر المتنوعة الواردة فيه هواثنان، وبسبب حتى ثلاثة تُعدّ مرتين،قد يكون عدد العناصر في 331 مساوياً 3. يبرهن على حتى عدد التباديل مع تكرار التي تُؤلَّف من مجموعة عناصر مختلفة عددها ن يساوي مثال: إذا عدد التباديل مع تكرار التي يمكن تأليفها من المجموعة {1، 2، 3 يساوي 33=27 ونورد فيما يلي بعضاً من هذه التباديل: 111 211 112 122 121 221 122 222

3ـ التوليف مع تكرار: ليكن هناك مجموعة عناصر مختلفة عددها ن، فإن التوليف مع تكرار هوحدثة مؤلفة من ر من العناصر التي لا تختلف بالضرورة بعضها عن بعض، ويختلف التوليفان مع تكرار إذا اختلف واحد أوأكثر من العناصر الداخلة في أحدهما عن الآخر. مثال: في المجموعة لدينا توليفات مع تكرار يتكون جميع منها من ثلاثة عناصر، كما حتى * * Δ لا يختلف عن *Δ* ولذلك يُعدّان توليفاً واحداً. يبرهن حتى عدد التوليفات مع تكرار التي تتألف من ر من العناصر المأخوذة من العناصر المأخوذة من مجموعة عناصر مختلفة عددها ن يساوي ق (ن + ر - 1، ر) مثال: إذا عدد التوليفات مع تكرار والمشكلّة من ثلاثة عناصر مأخوذة من المجموعة يساوي