فضاء شعاعي
الفضاء الشعاعي ( الفضاء الخطي ) هوكائن أساسي في دراسة الجبر الخطي.
فعندما نعتبر المتجهات مع العمليات المطبقة عليها من جمع متجهات وضرب قياسي وبعض العمليات الأخرى مثل الانغلاق لهذه العمليات ، تجميعية هذه العمليات فإننا نصل لوصف كائن رياضي ندعوه (فضاءا شعاعيا) .
المتجهات في الفضاء السعاعي لا تمثل تحديدا متجهات هندسية بل يمكن ان تكون أي كائن رياضي يحقق بدهيات الفضاء الشعاعي . فكثيرات الحدود من الرتبة ≤n مع معاملات حقيقية تشكل فضاءا شعاعيا على سبيل المثال.
يشكل الفضاء الشعاعي كائنا رياضيا تجريديا عظيم الفائدة في فروع الرياضيات الحديثة .
التعريف
افتضر حتى Ｆ هوحقل (مثل الأعداد الحقيقية، الأعداد العقدية) والذي عناصره تدعى كمية عددية. يعهد الفضاء الشعاعي في الحقل Ｆ على أنه مجموعة V هي مع عمليتين ثنائيتين
- جمع الأشعة.
v + w حيث v, w ∈ V
- ضرب قياسي (بعدد سلمي حقيقي).
av حيث a ∈ F وv ∈ V
- جمع الأشعة هوعملية تجميعية:
من أجل u, v, w ∈ V لدينا u + (v + w) = (u + v) + w
- جمع الأشعة هوعملية تبديلية:
من أجل v, w ∈ V لدينا v + w = w + v.
- لعملية جمع الأشعة يوجد عنصر حيادي:
يوجد عنصر 0 ∈ V يدعى الشعاع الصفري بحيث v + 0 = v من أجل جميع الأشعة v ∈ V.
- لعملية جمع الأشعة عنصر مقلوب:
من أجل جميع الأشعة v ∈ V يوجد عنصر w ∈ V يدعى الشعاع العكسي بحيث v + w = 0.
- من الممكن تطبيق عملية توزيع جداء القيم السلمية (العددية) على جمع الأشعة:
من أجل a ∈ F وv, w ∈ V لدينا a (v + w) = a v + a w.
- من الممكن تطبيق عملية توزيع جداء القيم السلمية على جمع الحقول:
من أجل a, b ∈ F وv ∈ V لدينا (a + b) v = a v + b v.
- هناك عنصر حيادي لعملية الجداء السلمي:
من أجل v ∈ V لدينا 1 v = v حيث 1 هوالعنصر الحيادي لعملية الجداء في الحقل الشعاعي F.
