في الرياضيات، يسمى عددا متساميا Transcendental number جميع عدد حقيقي أوعقدي لاقد يكون حلا لأية معادلة حدودية:

${\displaystyle a_{n ~x^{n +a_{n-1 ~x^{n-1 +\cdots +a_{1 ~x^{1 +a_{0 =0\,$

بحيث ${\displaystyle n\ge <!--\; \ge \; -->1}$

لا يمكن حتى تكون الأعداد المتسامية أعدادا جذرية. ومع ذلك، ليست جميع الأعداد اللاجذرية متسامية: جذر مربع العدد 2 هوعدد لاجذري، ولكنه حل للمعادلة ${\displaystyle x^{2 -2=0\,$.

مجموعة الأعداد المتسامية هي مجموعة غير قابلة للعد. والبرهان بسيط: بما أننا نستطيع عد الحدوديات ذات معاملات سليمة، وبما حتى جميع حدودية تقبل عددا منتهيا من الحلول، فإن مجموعة الأعداد الجبرية هي مجموعة قابلة للعد. في حين، ينص برهان القطر لكانتور على حتى مجموعة الأعداد الحقيقية (وبالتالي حتى العقدية) هي مجموعة غير قابلة للعد. وبالتالي مجموعة الأعداد المتسامية هي أيضا مجموعة غير قابلة للعد. بتعبير آخر، الأعداد الجبرية أقل بكثير من الأعداد المتسامية. ولكن عددا قليلا فقط من فئات الأعداد المتسامية معروف، ويبقى من الصعب البرهان على حتى عددا ما عدد متسام.

نتائج: لتكن A مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية، إذن:

A جسم جزئي من ${\displaystyle \mathbb {R \,$. وبشكل خاص، المجموعة A مستقرة بالنسبة للجمع والضرب.

A هي مجموعة قابلة للعد، مما يشير على حتى A مختلفة عن المجموعة ${\displaystyle \mathbb {R \,$. (الأعداد المتسامية موجودة).

تاريخ

من المرجح حتىقد يكون لايبنتز أول إنسان خمن وجود أعداد لا تحقق معادلات حدودية بمعاملات جذرية. وأتت التسمية متسام في البحث الذي نشره سنة 1682 والذي برهن فيه على حتى ${\displaystyle sin(x)\,$ ليست دالة جبرية ل ${\displaystyle x\,$.

أما أول برهان على وجود أعداد متسامية فقد خطه جوزيف ليوفيل سنة 1844، والذي تضمن بعض الأمثلة، مثل ثابتة ليوفيل:

حيثقد يكون العدد النوني بعد الفاصلة 1 إذا كان n عامليا (أحد الأعداد 1، 2، 6، 24، 120، 720،...) ويكون 0 في الحالات الأخرى. ويمكن تقريب هذا العدد بشكل خاص بأعداد جذرية. برهن ليوفيل على حتى الأعداد التي تحقق هذه الخاصية (والتي تعهد باسم أعداد ليوفيل) هي أعداد متسامية.

تظنن يوهان هنريك لامبرت، في منطقه الذي برهن فيه حتى العدد ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$${\displaystyle e}$

في سنة 1882، نشر فيردينوند فون ليندمان برهانا على حتى العدد ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$

في سنة 1900، طرح ديفيد هيلبرت سؤالا مهما بخصوص الأعداد المتسامية، يعهد باسم مسألة هيلبرت السابعة: « إذا كان a عددا جبريا غير منعدم ويخالف 1، وكان b عددا جبريا لاجذريا، فهل سيكون العدد ${\displaystyle a^b}$${\displaystyle 2^{\sqrt {2 \,$، و${\displaystyle e^{\pi \,$.

توسع آلان بيكر في هذا المجال في الستينيات.

أعداد متسامية معروفة

• العدد ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$
• العدد e أساس اللوغاريتم الطبيعي.
• ${\displaystyle e^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$
• ${\displaystyle 2^{\sqrt{2}}}$${\displaystyle a^{b \,$ حيث ${\displaystyle a\neq 0\,$ و${\displaystyle a\neq 1\,$ عدد جبري، وb جبري وليس جذريا. الحالة العامة لمسألة هيلبرت السابعة، أي تحديد هل العدد ${\displaystyle a^{b \,$ متسام أم لا عندماقد يكون ${\displaystyle a\neq 0\,$ و${\displaystyle a\neq 1\,$ عددا جبريا وb لاجذريا، لم تحل إلى الآن.
• ${\displaystyle (-1)^{-i \,$ وهوالعدد ${\displaystyle e^{\pi$ للسبب المذكور أعلاه.
• ${\displaystyle i^{i \,$ وهوالعدد ${\displaystyle e^{-\pi /2$.
• قيمة الدالة المثلثية ${\displaystyle \sin(1)\,$.
• ${\displaystyle \ln(a)\,$ إذا كان a عدد جذريا موجبا بترا ويخالف 1.
• ${\displaystyle \mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(\frac{1}{3}\right)}$
• ${\displaystyle C_{10}=0,12345678910111213141516\dots <!--\; \dots \; -->}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0 ^{+\infty 10^{-\lfloor \beta ^{k \rfloor ;\qquad \beta >1\;,$

حيث ${\displaystyle \lfloor <!--\; \lfloor \; -->x\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}$${\displaystyle \ x\in \mathbb {R$. مثلا: من أجل ${\displaystyle \beta =2\,$ يساوي هذا العدد:

• ${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$

كل دالة جبرية غير ثابتة لمتغير عددي تعطي قيما متسامية إذا طبقنا عليها عددا متساميا. مثلا: بفهم حتى العدد ${\displaystyle \pi \,$ متسام، نستنتج مباشرة حتى ${\displaystyle 5\pi \,$، ${\displaystyle {\frac {\pi -3 {\sqrt {2 \,$، ${\displaystyle ({\sqrt {\pi -{\sqrt {3 )^{8 \,$ و${\displaystyle (\pi ^{5 +7)^{\frac {1 {7 \,$ هي أعداد متسامية كذلك.

في اللقاء، يمكن لدالة جبرية لعدة متغيرات حتى تعطي قيمة جبرية إذا طبقنا عليها أعدادا متسامية، عندما لا تكون تلك الأعداد مستقلة جبريا. مثلا، العددان ${\displaystyle \pi \,$ و${\displaystyle 1-\pi \,$ متساميان، ولكن ${\displaystyle \pi ~+~(1-\pi )~=~1\,$ ليس متساميا. لا نعهد طبيعة ${\displaystyle \pi ~+~e\,$، ولكن نحن متأكدون من حتى أحد العددين ${\displaystyle \pi ~+~e\,$ و${\displaystyle \pi e\,$ متسام بالضرورة. بشكل عام: من أجل عددين متسامين a وb، فسيكون على الأقل أحد العددين ab وa+b متساميا. للتأكد من ذلك، نعتبر الحدودية ${\displaystyle (x~-~a)(x~-~b)=x^{2 -(a+b)x+ab\,$. إذا كان ab وa+b جبريين معا، فستكون هذه الحدودية بمعاملات جبرية، وبما حتى الأعداد الجبرية تكون جسما جبريا مغلقا، فهذا يستلزم حتى a وb حلي المعادلة عددان جبريان، وهذا تناقض. وبالتالي أحد العددين ab وa+b على الأقل متسام.

مسائل مفتوحة

من بين الأعداد التي لا نعهد ما إذا كانت متسامية أم لا:

• ${\displaystyle (\pi ~+~e)\,$, ${\displaystyle (\pi ~-~e)\,$, ${\displaystyle (\pi e)\,$, ${\displaystyle \left({\frac {e {\pi \right)\,$, ${\displaystyle (\pi ^{\pi )\,$, ${\displaystyle (e^{e )\,$, ${\displaystyle (\pi ^{e )\,$
• ثابتة أويلر-ماسكروني ${\displaystyle \gamma \,$ والتي لا نعهد ما إذا كانت لاجذرية.
• ثابتة كاتالان والتي لا نعهد ما إذا كانت لاجذرية.
• ثابتة أبيري ${\displaystyle \zeta (3)\,$ والتي نعهد بأنها لاجذرية.

جميع أعداد ليوفيل هي أعداد متسامية، ولكن ليست جميع الأعداد المتسامية هي أعداد ليوفيل. يجب على حدود جميع عدد لليوفيل، عند تفكيكه إلى كسور مستمرة، ألا تكون قابلة للحصر. إذن باستعمال برهان التعداد، يمكن حتى نبين وجود أعداد متسامية أخرى غير أعداد ليوفيل. باستعمال التفكيك إلى كسور مستمرة للعدد e سنجد أنه ليس عددا لليوفيل. برهن كرت مالر سنة 1953 حتى العدد e ليس عددا لليوفيل. وتظنن كذلك حتى جميع الكسور المستمرة والتي حدودها محصورة وليست دورية ابتداء من رتبة معينة، هي أعداد متسامية.

جزء من برهان على تسامي العدد e

ظهر أول برهان على تسامي العدد e سنة 1873. سنتبع هنا طريقة ديفيد هيلبرت (1862 - 1943) والذي بسط البرهان الأصلي لتشارلز هيرمت. الفكرة هي كالتالي:

نفترض حتى العدد e هوعدد جبري، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات السليمة ${\displaystyle c_{0 ,c_{1 ,\ldots ,c_{n \,$ التي تحقق المعادلة:

${\displaystyle c_{0 +c_{1 e+c_{2 e^{2 +\cdots +c_{n e^{n =0\,$

بحيثقد يكون كلا العددان ${\displaystyle c_{0$ و${\displaystyle c_{n$ مخالفين للصفر.

نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n.

نضرب طرفي المعادلة بـ ${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$

${\displaystyle \int _{a ^{b =\int _{a ^{b x^{k [(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1 e^{-x \,dx\,$.

سنصل إلى المعادلة:

${\displaystyle c_{0 \int _{0 ^{\infty +c_{1 e\int _{0 ^{\infty +\cdots +c_{n e^{n \int _{0 ^{\infty =0\,$

والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:

${\displaystyle P_{1 +P_{2 =0\,$

حيث

${\displaystyle P_{1 =c_{0 \int _{0 ^{\infty +c_{1 e\int _{1 ^{\infty +c_{2 e^{2 \int _{2 ^{\infty +\cdots +c_{n e^{n \int _{n ^{\infty \,$

${\displaystyle P_{2 =c_{1 e\int _{0 ^{1 +c_{2 e^{2 \int _{0 ^{2 +\cdots +c_{n e^{n \int _{0 ^{n \,$

الهدف الآن هوحتى نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :${\displaystyle {\frac {P_{1 {k! \,$ هوعدد سليم يخالف الصفر، في حين العدد ${\displaystyle {\frac {P_{2 {k! \,$ ليس كذلك.

والسبب في حتى ${\displaystyle {\frac {P_{1 {k! \,$ عدد سليم يخالف الصفر يأتي من العلاقة:

${\displaystyle \int _{0 ^{\infty x^{j e^{-x \,dx=j!\,$

وهي سليمة لكل عدد سليم موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق مكاملة بالأجزاء.

ولكي نبرهن على أن:

${\displaystyle \left|{\frac {P_{2 {k! \right|<1\,$ من أجل k كبير بما يكفي

نشير أولا إلى حتى ${\displaystyle x^{k [(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1 e^{-x \,$ هوجداء الدوال ${\displaystyle [x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k \,$ و${\displaystyle (x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x \,$. وباستعمال المحد العلوي لـ ${\displaystyle |x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)|\,$ و${\displaystyle |(x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x |\,$ على المجال ${\displaystyle [n,0]$ وبما أن:

${\displaystyle \underset{k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{G^k}{k!}=0}$

وهذا كاف لإكمال البرهان.

يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على حتى e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.

الهامش

وصلات خارجية

• (إنگليزية) is transcendental
• (إنگليزية) Proof that the Liouville Constant is transcendental
• (بالألمانية) is transcendental (PDF)
• (بالألمانية) is transcendental (PDF)