الموجة الجيبية والاستطاعة

الموجة المتناوبة: هي تعبير عن فلطية أوتيار متغيرة بشكل متكرر بتغير الزمن، بحيث تكون قيمتها موجبة تارة، وسالبة تارة أخرى. لها أنواع مختلفة، مثل الموجات المستطيلة، الموجات الجيبية، والموجات المثلثية.

يستخدم الرمز AC للدلالة على التيار المتناوب Alternate Current بينما يستخدم الرمز DC للدلالة على التيار المستمر Direct Current.

ما الذي يمتاز به التيار المتناوب عن التيار المستمر،يا ترى؟ في الحقيقة قد لا توجد له ميزات في التطبيقات التي تستخدم فيها الكهرباء لتبديد الطاقة على شكل حرارة. لكن هذا الأمر يختلف عند التحدث عن التطبيقات الأعقد. فمن أجل نقل الطاقة على مسافات بعيدة، يمكننا التحكم بمطال التيار، فنحمل مطال الفلطية إلى قيمة عالية بحيث تصبح قيمة مطال التيار منخفضة، وهذا ما يخفف بشكل كبير من الاستطاعة التي تستهلكها مقاومة الأسلاك، إذا ما قارناها بالاستطاعة المستهلكة عندماقد يكون التيار مستمرا.

الموجة الجيبية

الموجة الجيبية هي فلطية أوتيار تتغير بشكل جيبي مع الزمن ، يمكن تمثيل أية موجة بعلاقة من الشكل:

${\displaystyle a(t)=A\sin(\omega t+\theta )\,\,$

بما حتى القيمة العظمى التي يصلها التابع الجيبي هي الواحد، فسيكون المعامل المضروب به A هوالقيمة العظمى التي تأخذها الموجة، أي مطال أوسعة الموجة، ويكون مقدرا بالفولط أوبالآمبير.

المقدار${\displaystyle (\omega t+\theta )\,\,$ هوصفحة الموجة، ويقدّر بالراديان.

أما بالنسبة لـ ${\displaystyle \omega \,\,$ فهونبض الموجة. ويقدر بالراديان/ثا. والمقدار خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): {\displaystyle θ\,\, يسمى الطور (الصفحة الابتدائية للموجة) ويقدر بالراديان. سنتناول الآن بالشرح هذه المفاهيم.

نبض الموجة

حتى نستطيع استيعاب المدلول الفيزيائي لهذا المفهوم علينا حتى ننتظر حتى نتعهد على كيفية تمثيل الموجة الجيبية. وسنكتفي الآن حتى نشير إلى هذا المقدار يرتبط بكل من دور وتواتر الموجة الجيبية وفق العلاقة:

${\displaystyle \omega =2\pi f={\frac {2\pi {T \,\,$

دور الموجة T هوالمدة الزمنية التي تفصل بين مرورين متعاقبين للموجة من الصفر (أوأية قيمة أخرى)، ويقدر بالثانية.

تواتر (تردد) الموجة f هومقلوب الدور، ويقدر بالهرتز، ويعبر عن عدد المرات التي تتكرر فيها الموجة في الثانية واحدة.

الموجة الجيبية التي تستخدم في التغذية الكهربائية للمدينة ذات تردد 50Hz ومطال 220V.

الطور

في اللحظة الزمنية t = 0 تكون صفحة التابع الجيبي: ${\displaystyle \omega t+\theta =0+\theta =\theta \,$ . فالطور يعبر عن الصفحة الابتدائية للموجة الجيبية.

لنحاول حتى نفهم الطور بطريقة مختلفة. لتكن لدينا موجة جيبية أخرى هي${\displaystyle a_{0 (t)=A\sin(\omega t)\,$. يعبر الطور هنا عن فرق الصفحة بين الموجة المدروسة ${\displaystyle a\,$ والموجة الأخرى${\displaystyle a_{0 \,$ والتي غالبا ما تسمى بالموجة المرجعية. لهذافالطور مقدار نسبي وليس مقدارا مطلقا خاصا بالموجة، وفي حال كانت موجبة، نقول أن${\displaystyle a\,$ متقدمة بالطور${\displaystyle a_{0 \,$ على (كما هوالحال في الشكل)، وفي حال كانت خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): {\displaystyle θ\, سالبة، نقول حتى ${\displaystyle a\,$ متأخرة بالطور عن ${\displaystyle a_{0 \,$.

تمثيل الموجة الجيبية

يمكن تمثيل الموجة الجيبية بشعاع طويلته هومطال الموجة A، يدور بعكس اتجاه عقارب الساعة بسرعة زاوية هي نبض الموجة. في الشكل أدناه قمنا بتمثيل الموجتين السابقتين: و.

يمثل الشكل الأول وضع الموجتين الجيبيتين في اللحظة ${\displaystyle t=0\,$. عندها تكون صفحة التابع ${\displaystyle A_{0 \,$ مساوية للصفر، لذلك فإنهقد يكون منطبقا على المحور الأفقي. أما بالنسبة للتابع ${\displaystyle a\,$ فإن صفحته ستكون وهي نفسها الزاوية التي يصنعها الشعاع مع المحور الأفقي. وبما حتى الشعاعان يدوران بنفس السرعة الزاوية ، فإنهما بعد فترة زمنية ما ${\displaystyle t\,$ سيأخذان الوضع المبين في الشكل الثاني، حيث نجد حتى الزاوية التي يصنعها جميع من الشعاعان السابقان ازدادت بالمقدار نفسه${\displaystyle \omega t\,$ فيما حافظ جميع من الشعاعين على الوضع النسبي بينهما (لاحظ حتى الفرق الزاوي بينهما بقي ). ولهذا السبب فإن تمثيل الموجات الجيبية في اللحظة الزمنية${\displaystyle t=0\,$.قد يكون كافيا تماما من أجل توصيف الدارة.

من الشكل أيضا يتبين لنا وضوح معنى تقدم أوتأخر موجة جيبية على أخرى، فعندما تكون موجة ما متقدمة على موجة أخرى، فإن الشعاع الممثل للموجة الأولى "سيسبق" الشعاع الممثل للثانية.

المطاور

بما حتى دور التيارات المتناوبة غالبا ما تكون قصيرة جدا (1/50 ثا مثلا) فإننا غالبا ما لا نكترث بالتمثيل الزمني الآني للموجة المتناوبة، بل نقصر اهتمامنا على مطال (سعة) الموجة A وطورها ، ولهذا يمكن حتى نصف موجة ما باستخدام هذين المقدارين الذين يخطان ككتلة واحدة تسمى المطاور بالشكل التالي: ${\displaystyle A{\angle \theta \,$ .

مثال: لتكن لدينا الموجة التالية:${\displaystyle a(t)=1.273\sin(\omega t+30^{o )\,$، فيكون المطاور في هذه الحالة${\displaystyle 1.273{\angle 30^{o \,$ وبما أنه من الشائع استخدام القيمة المنتجة (وهي السعة مقسومة على${\displaystyle {\sqrt {2 \,$ وسنشرحها بعد قليل إذا شاء الله)، فإن المطاور يصبح بالشكل: ${\displaystyle 0.9{\angle 30^{o \,$.

القيمة الوسطى لمقدار جيبي

لتكن لدينا الموجة الجيبية التالية: ${\displaystyle a(t)=A\sin(\omega t)\,$.

نلاحظ حتى القيمة المتوسطة لهذه الموجة على دور واحد ${\displaystyle T\,$ ستكون صفرا. لأن الموجة في نصف الدور الثاني ستكرر نفسها ولكن بقيم سالبة. (حاول حتى تتأكد من ذلك بنفسك!).

لهذا السبب، نعهد القيمة الوسطية ${\displaystyle A_{a v\,$ للمقدار الجيبي ${\displaystyle a\,$ على أنها القيمة الوسطية للموجة المقومة على دور كامل. وبالتالي نجد أنها:

${\displaystyle A_{\mathit {av ={\frac {2 {T \int _{0 ^{t {A\sin(\omega t) {\mathit {dt ={\frac {2A {\pi \,$

القيمة المنتجة لموجة جيبية

تعهد القيمة المنتجة (أوقيمة الجذر المتوسط التربيعي rms) لتيار متناوب على أنها قيمة التيار المستمر الذي لومر في المقاومة لقدم إليها ذات الاستطاعة التي يقدمها التيار المتناوب. أولنقل بشكل أبسط أنها قيمة التيار المستمر الذي لومر في المقاومة نفسها لقام بتوليد كمية حرارة مماثلة خلال الزمن ذاته.

نفهم حتى الاستطاعة التي تستهلكها مقاومة ${\displaystyle R\,$ إذا مر فيها تيار متناوب ${\displaystyle i\,$ هي: ${\displaystyle p={\mathit {Ri ^{2 \,$

وبالتالي تكون الاستطاعة الوسطية المستهلكة خلال دور واحد:

${\displaystyle P={\frac {1 {T \int _{0 ^{T {{\mathit {Ri ^{2 {\mathit {dt ={\frac {R {T \int _{0 ^{T {i^{2 {\mathit {dt \,$

أما الاستطاعة التي يقدمها تيار مستمر ${\displaystyle I_{e ff\,$ لهذه المقاومة: ${\displaystyle P={\mathit {RI _{\mathit {eff ^{2 \,$

وبالتالي نجد حتى قيمة التيار المنتجة: ${\displaystyle I_{\mathit {eff ={\sqrt {{\frac {1 {T \int _{0 ^{T {i(t) ^{2 {\mathit {dt \,$

وبالطريقة ذاتها نجد حتى القيمة المنتجة للفلطية هي: ${\displaystyle V_{\mathit {eff ={\sqrt {{\frac {1 {T \int _{0 ^{T {v(t) ^{2 {\mathit {dt .\,$

ومن أجل ${\displaystyle i(t)=I_{m \sin(\omega t)\,$ نجد أن: ${\displaystyle I_{\mathit {eff ={\frac {I_{m {\sqrt {2 \,$ وبطريقة مماثلة نجد حتى ${\displaystyle V_{\mathit {eff ={\frac {V_{m {\sqrt {2 \,$

ملاحظة: سنحصل على النتائج نفسها من أجل: ${\displaystyle i(t)=I_{m \sin(\omega t+\theta )\,$

تمثيل مقدار جيبي بقيمة عقدية

لواضطررت للتعبير عن المسافة بين مدينتين، لكان بإمكاني حتى أقدّم جوابا مؤلفا من رقم واحد، مرفقا بواحدة الميل أوالكيلومتر أوأية واحدة طول أخرى. أما لواضطررت حتى أعبر تعليمات السفر من مدينة لأخرى فلن يكفي عندها ما ذكرته آنفا: ففضلا عن مسافة السفر، يجب حتى أذكر شيئا عن الاتجاه.

يسمى نوع المعلومات الذي يعبّر عن مقدار أحادي البعد (المسافة الخطية في مثالنا) بالمقدار السلمي. والأعداد السلمية هي ذلك النوع من الأعداد الذي استخدمناه في معظم التطبيقات الرياضية التي تفهمناها حتى الآن. فالفلطية التي تولّدها البطارية في دارة تيار مستمر مقدار سلمي، ومثلها مقاومة سلك نحاسي (أوم)، والتيار المار به (آمبير).

لكننا نجد أننا وعند تحليل دارات التيار المتناوب، فإن مقادير الفلطية والتيار والممانعة كلها لم تعد مقاديرا أحادية البعد كما اعتدناها حتى تكون في دارات التيار المستمر، فبما أنها مقادير "ديناميكية" (أي متناوبة الجهة والطويلة) فإنها تمتلك أبعادا أخرى يجب مراعاتها: والتواتر والطور هما من المقادير التي يجب مراعاتها،

لهذه الأسباب سنتعامل مع تقانات وكائنات رياضية تستطيع تمثيل هذه المقادير متعددة الأبعاد، وسنستخدم لهذا الأمر الأعداد العقدية بدلا عن الأعداد السلمية الحقيقية. تماما كما في إعطاء تعليمات السفر بين مدينتين، فكما مر معنا لكل مقدار في التيار المتناوب سعة (تشابه المسافة)، وطور (تشابه الجهة)، والعدد العقدي يستطيع التعبير هذين البعدين، أي السعة والطور، في الوقت ذاته. سنقوم الآن ببعض العمليات الرياضية وبالاعتماد على علاقة أويلر للتوصل إلى التمثيل العقدي للتيار المتناوب.

ليكن لدينا التيار التالي: ${\displaystyle i(t)=I_{m \sin(\omega t+\theta )\,$

نفهم حتى أي عدد عقدي يخط بالشكل التالي: ${\displaystyle z=[r,\theta ]=r(\cos \theta +j\sin \theta )\,$

وحسب علاقة أويلر يمكننا أيضا حتى نخط: ${\displaystyle e^{j\theta =\cos \theta +j\sin \theta \,$

وبالتالي فمعادلة التيار المعطاة بدلالة التابع تمثل الجزء التخيلي من عدد عقدي. يمكننا حتى نعبر عن كلامنا هذا بالتالي:

${\displaystyle I_{m \sin(\omega t+\theta )={\mathit {Ima (I_{m (\cos(\omega t+\theta )+j\sin(\omega t+\theta )))={\mathit {Ima (I_{m e^{j(\omega t+\theta ) )\,$

سنستخدم العدد العقدي ${\displaystyle I_{m e^{j\theta \,$ للتعبير عن التيار. لاحظ حتى صيغة التمثيل هذه هي ذاتها صيغة تمثيل المطاور. فعند تمثيل هذا العدد العقدي بيانيا في المستوي العقدي، سنحصل على العدد العقدي الممثل بالشعاع ذي الطويلة${\displaystyle I_{m \,$ وذي الزاوية ${\displaystyle \theta \,$ .

نلاحظ أننا أسقطنا الزمن في التمثيل العقدي للتيار المتناوب، وهذا سليم. فالتمثيل ${\displaystyle i(t)\,$ هوالتمثيل الزمني، أما التمثيل العقدي ${\displaystyle I\,$ المطاور فهوالتمثيل في الحقل الترددي (رغم عدم ظهور التردد فيه).

ومن خلال الطريقة ذاتها، نجد أنه بإمكاننا تمثيل الفلطية ${\displaystyle i(t)=I_{m \sin(\omega t+\theta )\,$ بالعدد العقدي ${\displaystyle V_{m e^{j{\phi \,$.

مفهوم الممانعة Z

تعبر ممانعة عنصر ما ${\displaystyle Z\,$ عن مدى إعاقة هذا العنصر لمرور التيار فيه. فإذا تسببت فلطية عقدية ${\displaystyle V\,$ بمرور تيار عقدي ${\displaystyle I\,$ في عنصر ما، فإن ممانعة العنصر هي بالتعريف:

${\displaystyle Z={\frac {V {I =R+jX\,$ حيث ${\displaystyle j^{2 =-1\,$

${\displaystyle R\,$ و${\displaystyle X\,$ قيمتان حقيقيتان: فأما ${\displaystyle R\,$ فهي مقاومة العنصر، وأما ${\displaystyle X\,$ فتدعى تفاعلية العنصر.

1. ممانعة المقاومة الأومية: بما حتى المقاومة لا تقوم بتخزين الطاقة، فإن تغيرا في الفلطية بين طرفيها يعطي تغيرا آنيا للتيار المار فيها، ومن ثمقد يكون جميع من التيار والفلطية على توافق في الطور، أي:

${\displaystyle Z_{R ={\frac {V {I ={\frac {\left|V\right|{\angle \theta {\left|I\right|{\angle \theta =R{\angle 0=R+0j\,$

ملاحظة: لا تتعلق ممانعة المقاومة بالنبض ${\displaystyle \omega \,$

1. ممانعة الوشيعة المثالية: تخزن الوشيعة طاقة في حقلها المغناطيسي، وإن تغير التيار (وهذا ما يحصل باستمرار في التيار المتناوب) يتسبب تغيرا في الطاقة المخزنة، وبالتالي ينتج عن ذلك تغير في الفلطية على طرفي الوشيعة، وبالتالي فإن الفلطية والتيار ليسا على توافق في الوشيعة.

سنحاول استنتاج ممانعة الوشيعة المثالية. لنفرض حتى التيار المار في وشيعة يعطى بالعلاقة: ${\displaystyle i(t)=I_{m \sin \omega t\,$

وبما حتى الفلطية بين طرفي الوشيعة تعطى بالعلاقة: ${\displaystyle v_{L =L{\frac {\mathit {di {\mathit {dt \,$ فتكون الفلطية إذا:

${\displaystyle v_{L =\omega LI_{m \cos \omega t=\omega LI_{m {\sin(\omega t+90^{o ) =V_{m \sin(\omega t+90^{o )\,$

حيث : ${\displaystyle V_{m =(\omega L)I_{m =X_{L I_{m \,$ الفلطية العظمى بين طرفي الوشيعة. نسمي ${\displaystyle X_{L \,$ تفاعلية الوشيعة.

نلاحظ من معادلتي التيار والفلطية حتى فرق الصفحة بين التابعين الجيبيين في علاقة الفلطية والتيار هو90 درجة. وبالتالي الفلطية متقدمة على التيار بهذا المقدار، والتيار متأخر عن الفلطية بالمقدار نفسه.

الآن يمكننا حساب الممانعة:

${\displaystyle Z_{L ={\frac {V_{L {I ={\frac {V_{m {\angle 90^{o {I_{m {\angle 0 =({\frac {V_{m {I_{m ){\angle (90^{o -0)=j\omega L\,$

ملاحظة: تتناسب ممانعة الوشيعة طردا مع النبض لذلك تكون ممانعة الوشيعة كبيرة في الترددات العالية، وتكون صفرا عندماقد يكون النبض معدوما (فتقوم بإغلاق الدارة عند مرور تيار مستمر).

1. ممانعة المكثفة المثالية: تقوم المكثفة باختزان طاقة في حقلها الكهربائي، وبالتالي فإن التغير في الفلطية بين طرفيها يؤدي إلى تغير في الطاقة المختزنة، وبذلك يتغير التيار الذي يتدفق عبرها. وبالتالي لا تكون المكثفة والتيار على توافق في الطور.

سنحاول استنتاج ممانعة المكثفة المثالية. لنفرض حتى الفلطية المطبقة على طرفيها تعطى بالعلاقة: ${\displaystyle v_{c (t)=V_{m \sin \omega t\,$

وبما حتى التيار المار في المكثفة يعطى بالعلاقة: ${\displaystyle i=C{\frac {{\mathit {dv _{c {\mathit {dt \,$ فيكون التيار إذا:

${\displaystyle v_{L =\omega CV_{m \cos \omega t=\omega LV_{m {\sin(\omega t+90^{o ) =I_{m \sin(\omega t+90^{o )\,$

حيث:${\displaystyle I_{m =(\omega C)V_{m ={\frac {V_{m {X_{c \,$ قيمة التيار العظمى التي تمر في الدارة. نسمي ${\displaystyle X_{c ={\frac {1 {\mathit {wC \,$ تفاعلية المكثفة.

نلاحظ من معادلتي التيار والفلطية حتى فرق الصفحة بين التابعين الجيبيين في علاقة الفلطية والتيار هو90 درجة. وبالتالي التيار متقدم على الفلطية بمقدار 90 درجة ، والفلطية متأخرة عن التيار بالمقدار نفسه.

الآن يمكننا حساب الممانعة:

${\displaystyle Z_{L ={\frac {V_{L {I ={\frac {V_{m {\angle 0 {I_{m {\angle 90^{o =({\frac {V_{m {I_{m ){\angle (0-90^{o )=-j{\frac {1 {\omega C ={\frac {1 {j\omega C \,$

ملاحظة: تتناسب ممانعة المكثفة عكسا مع النبض لذلك تكون ممانعة الوشيعة عالية في الترددات المنخفضة، وتكون ممانعتها لانهائية في التيار المستمر حيثقد يكون النبض معدوما.

وفي المحاضرة القادمة إذا شاء الله سندرس بالتفصيل تمثيل هذه الممانعات بالإضافة إلى التيارات والفلطيات في المستوي العقدي وحسب إنشاء فرينيل، مما قد يسهل من استيعاب المفهوم بشكل كبير.

التأثرية B

هي مقلوب التفاعلية ${\displaystyle X\,$، أي أنها مقلوب القسم التخيلي من الممانعة العقدية: ${\displaystyle B={\frac {1 {X \,$

وبالتالي تأثرية الوشيعة:${\displaystyle B_{L ={\frac {1 {j\omega L \,$، وتأثرية المكثفة: ${\displaystyle B_{c =j\omega C\,$

القبولية Y

هي مقلوب الممانعة العقدية ${\displaystyle Z\,$، وتعطى بالعلاقة: ${\displaystyle Y={\frac {1 {Z \,$

وبالتالي قبولية المقاومة:${\displaystyle Y_{R ={\frac {1 {R \,$، قبولية الوشيعة:${\displaystyle Y_{L ={\frac {1 {j\omega L \,$، قبولية المكثفة: ${\displaystyle Y_{C ={\frac {1 {\frac {1 {j\omega C =j\omega C\,$

وصل الممانعات والممانعات المكافئة

1. من أجل n ممانعة موصولة على التسلسل، تكون قيمة الممانعة المكافئة مجموع قيم الممانعات:

${\displaystyle Z_{E =\sum _{i=1 ^{n Z_{i \,$

1. أما من أجل n ممانعة موصولة على التفرع، تكون مقلوب قيمة الممانعة المكافئة مجموع الموضوعيب:

${\displaystyle {\frac {1 {Z_{E =\sum _{i=1 ^{n {\frac {1 {Z_{i$ أو${\displaystyle Y_{E =\sum _{i=1 ^{n Y_{i \,$

ومن أجل ممانعتين فقط موصولتين على التفرع يمكننا حتى نخط العلاقة بالشكل: ${\displaystyle Z_{E ={\frac {Z_{1 Z_{2 {Z_{1 +Z_{2 \,$

الاستطاعة

نفهم حتى الاستطاعة الآنية لعنصر تعطى بالعلاقة: ${\displaystyle p(t)=v(t)i(t)\,$، وفي حال عنصر يخضع لتيار متناوب، تأخذ علاقة جميع من الفلطية والتيار الشكلين التاليين:

${\displaystyle v(t)=V_{m \sin(\omega t+{\theta _{1 )\,$

${\displaystyle i(t)=I_{m \sin(\omega t+\theta _{2 )\,$

وبالتالي يمكننا حتى نحسب الاستطاعة الآنية لهذا العنصر، فتكون (وباستخدام بعض التحويلات المثلثية!):

${\displaystyle p(t)=I_{m V_{m \sin(\omega t+\theta _{1 )\sin(\omega t+\theta _{2 )={\frac {-1 {2 I_{m V_{m [\cos(2\omega t+\theta _{1 +\theta _{2 )-\cos(\theta _{1 -\theta _{2 )]\,$

أي${\displaystyle p(t)={\frac {1 {2 I_{m V_{m [\cos(\theta _{1 -\theta _{2 )-\cos(2\omega t+\theta _{1 +\theta _{2 )]\,$

الآن يمكننا حساب الاستطاعة الوسطية المستهلكة خلال دور واحد من خلال العلاقة التالية: خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): {\displaystyle P=\frac{1 {T-0 \int _{0 ^{T {p(t)\mathit{dt \,

وبالتالي:${\displaystyle P={\frac {1 {T V_{m I_{m [\int _{0 ^{T \cos(\theta _{1 -\theta _{2 ){\mathit {dt -\int _{0 ^{T {\cos(2\omega t+\theta _{1 +\theta _{2 ){\mathit {dt ]\,$ التكامل الأول هوتكامل لمقدار ثابت لا يتعلق بالزمن. أما الثاني فهوتكامل لتابع جيبي نبضه ${\displaystyle 2\omega \,$ فهومعدوم، ومنه:

${\displaystyle P={\frac {1 {2T V_{m I_{m [T\times \cos(\theta _{1 -\theta _{2 )-0]={\frac {1 {2 V_{m I_{m \cos(\theta _{1 -\theta _{2 )={\frac {1 {\sqrt {2 {\frac {1 {\sqrt {2 V_{m I_{m \cos(\theta _{1 -\theta _{2 )\,$

ومنه:${\displaystyle {P=V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff \cos(\theta _{1 -\theta _{2 )=V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff \cos \phi \,$

يسمى المقدار${\displaystyle \phi =\theta _{1 -\theta _{2 \,$ بعامل استطاعة الدارة. ويسمى المقدار ${\displaystyle S=V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff \,$ بالاستطاعة الظاهرية وتقاس بواحدة الفولط آمبير VA.

أما المقدار${\displaystyle Q=V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff \sin \phi \,$ فهوالاستطاعة التفاعلية، وتقاس بواحدة الفولط آمبير التفاعلية VAR (اختصارا لـ Volt-Ampère-Reactive). ويمكن تمثيل المقادير الثلاث السابقة في مثلث الاستطاعة القائم.

ونلاحظ حتى ${\displaystyle S={\sqrt {P^{2 +Q^{2 \,$

مثال محلول

لتكن لدينا الدارة المبينة بالشكل، وبفرض حتى النبض ${\displaystyle \omega =400{\mathit {rad /s\,$ والقيمة المنتجة للمنبع هي 20V:

1. احسب التيار العقدي ${\displaystyle I_{1 \,$ ثم التيارين العقديين ${\displaystyle I_{2 \,$ و${\displaystyle I_{3 \,$.
2. احسب الاستطاعة المستهلكة في المقاومة ${\displaystyle 2\omega \,$، وفي المقاومة ${\displaystyle 5\omega \,$.
3. احسب الاستطاعة التفاعلية الكلية في الدارة ${\displaystyle Q\,$.
4. احسب عامل الاستطاعة لهذه الدارة، ثم الاستطاعة الكلية المستهلكة فيها.

الحل:

الطلب الأول:. نفهم حتى التيار العقدي ${\displaystyle I_{1 \,$ يعطى بالعلاقة:${\displaystyle I_{1 ={\frac {V {Z_{E \,$ لذلك فإننا سنقوم بحساب الممانعة الكلية للدارة.

لنقم أولا بحساب الممانعة المكافئة لكل من المكثفة والمقاومة ${\displaystyle 5\omega \,$.

${\displaystyle Z_{C =-jX_{C =-j{\frac {1 {\omega C =-j{\frac {1 {400\times 0.2510^{-3 =-j10\Omega \,$

و${\displaystyle Z_{5\Omega =5\Omega \,$

فالممانعة المكافئة هي: ${\displaystyle Z_{1 ={\frac {Z_{5\Omega Z_{C {Z_{5\Omega +Z_{c ={\frac {-50j {5-10j \,$

عندما نضطر إلى تقسيم (أوضرب) عددين عقديين فإننا غالبا لا نلجأ إلى ضرب البسط والمقام بمرافق المقام، بل نقوم بتحويل العددين إلى الشكل المطاور الأسهل نسبيا حيث سنقوم بتقسيم الطويلتين، وطرح الزاويتين فقط.

من أجل تحويل عدد عقدي ${\displaystyle x+jy\,$ إلى الشكل المطاور${\displaystyle A{\angle \theta \,$ نستخدم العلاقات التالية:

للتحويل إلى شكل المطاور:${\displaystyle A={\sqrt {x^{2 +y^{2 \,$ و${\displaystyle \theta =\arctan({\frac {y {x )\,$

للعودة إلى الشكل العقدي التقليدي: ${\displaystyle x=A\cos \theta \,$ و${\displaystyle y=A\sin \theta \,$

إذاً يمكننا الآن حتى نقوم بإعادة كتابة ${\displaystyle Z_{1 \,$ بالشكل:

${\displaystyle Z_{1 ={\frac {50{\angle -90^{o {11.18{\angle -63.43^{o =4.473{\angle -26.57^{o =4-2j\,$

الآن نحسب ممانعة الوشيعة فنجدها: ${\displaystyle Z_{L =jX_{L =j\omega L=(400\times 10\times 10^{-3 )=4j\,$

وبالتالي يمكننا الآن حساب الممانعة الكلية: ${\displaystyle Z_{E =Z_{2\Omega +Z_{L +Z_{1 =2+(4j)+(4-2j)=6+2j=6.32{\angle 18.43^{o \,$

فيكون التيار العقدي ${\displaystyle I_{1 :I_{1 ={\frac {V {Z_{E ={\frac {20{\angle 0^{o {6.32{\angle 18.43^{o =3.165{\angle -18.43^{o =3-j\,$

من أجل حساب التيارين ${\displaystyle I_{2 \,$ و${\displaystyle I_{3 \,$ نستخدم قانون مقسم التيار، فنجد:

${\displaystyle I_{3 =I_{1 {\frac {Z_{2 {Z_{2 +Z_{3 =3.165{\angle -18.43^{o {\frac {5{\angle 0^{o {11.18{\angle -63.43^{o =1.415{\angle 45^{o =1+j\,$

ومن أجل الحصول على التيار ${\displaystyle I_{2 \,$ نطبق قانون كرشوف للتيارات فنجد:

${\displaystyle I_{2 =I_{1 -I_{3 =(3-j)-(1+j)=2-2j=2.828{\angle 45^{o \,$

الطلب الثاني: بما حتى التيار والفلطية متوافقان في مقاومة، ففرق الصفحة بينهما معدوم (راجع علاقة الاستطاعة التي مرت معنا)، فالاستطاعة المستهلكة هي جداء المقاومة في مربع طويلة التيار المنتج:

${\displaystyle P=V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff \cos(0^{o )=R{I_{\mathit {eff ^{2 \,$

في المقاومة ${\displaystyle 2\omega \,$: ${\displaystyle 2{I_{1 ^{2 =2\times 3.165^{2 \simeq 20W\,$

في المقاومة ${\displaystyle 5\omega \,$: ${\displaystyle 5{I_{3 ^{2 =5\times 2.828^{2 \simeq 40W\,$

الطلب الثالث:

الاستطاعة التفاعلية للمكثفة:${\displaystyle Q_{c =V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff \sin -90^{o =X_{c {I_{\mathit {eff ^{2 \sin -90^{o =-10\times 1.415^{2 \simeq -20{\mathit {VAR \,$

الاستطاعة التفاعلية للوشيعة:${\displaystyle Q_{L =X_{L {I_{1 ^{2 \sin(90^{o )=4\times 3.165^{2 \simeq 40{\mathit {VAR \,$

وبالتالي الاستطاعة التفاعلية للدارة: ${\displaystyle Q=Q_{c +Q_{L =20{\mathit {VAR \,$

الطلب الرابع: عامل استطاعة الدارة هو${\displaystyle \cos \phi =\cos(\theta _{1 -\theta _{2 )\,$، أي هوجيب التمام لفرق الطور بين التيار والفلطية الكليين، وبما أن

${\displaystyle Z_{E ={\frac {V {I ={\frac {V{\angle \theta _{1 {I{\angle \theta _{2 =(V/I){\angle (\theta _{1 -\theta _{2 )=6.32{\angle 18.43\,$

فيكون عامل استطاعة الدارة: ${\displaystyle \cos \phi =\cos(18.43^{o )\simeq 0.95\,$

الاستطاعة الكلية المستهلكة في الدارة: ${\displaystyle P=V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff \cos \phi =20\times 3.165\times 0.95\simeq 60W\,$

وهي تماما مجموع الاستطاعتين المستهلكتين في المقاومتين فقط. فالمكثفة والوشيعة المثاليتان عنصران لا يستهلكان الطاقة.

انتهت المسألة!

الاستطاعة العقدية

ليكن لدينا عنصر فيه تيار متناوب${\displaystyle I=I_{\mathit {eff {\angle \beta \,$ ، والفلطية المطبقة هي${\displaystyle V=V_{\mathit {eff {\angle \alpha \,$ ، فتكون الاستطاعة المستهلكة:

${\displaystyle P=V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff \cos(\alpha -\beta )\,$ وحسب علاقة أويلر :${\displaystyle re^{\mathit {jx =r(\cos x+j\sin x)\,$، فإن الاستطاعة هي القسم الحقيقي للعدد العقدي: ${\displaystyle V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff e^{j(\alpha -\beta ) \,$ أي

${\displaystyle P={\mathit {Real [V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff e^{j(\alpha -\beta ) ]={\mathit {Real [(V_{\mathit {eff e^{j\alpha )(I_{\mathit {eff e^{-j\beta )]\,$

ولكن${\displaystyle I_{\mathit {eff e^{-j\beta =I_{\mathit {eff {\angle -\beta \,$ ما إلا المرافق العقدي للتيار I أي: ${\displaystyle I^{M =I_{\mathit {eff e^{-j\beta \,$، لأن مرافق أي عدد عقدي كما نفهم يعطى بالعلاقة: ${\displaystyle (re^{j\theta )^{M =re^{-j\theta \,$. وبالتالي فالاستطاعة المستهلكة هي القسم الحقيقي لجداء الفلطية بالمرافق العقدي للتيار: ${\displaystyle P={\mathit {Real [VI^{M ]\,$